מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1 עד 3), גאומטרייה (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש (שאלות 6 עד 8). עונים על חמש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 20 נקודות, וחמש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מחמש, נבדקות לו רק חמש התשובות הראשונות שבמחברת, ולכן כדאי להחליט מראש על אילו שאלות מוותרים. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה ארבע שעות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות

שאלה 1, התפלגות נורמלית (20 נקודות)

הנתונים. נסמן ב-X את מרחק הקפיצה לרוחק, במטרים. X מתפלג נורמלית, והממוצע הוא μ = 4.6. נתון גם ש-69.2% מן המשתתפים קפצו פחות מ-4.8 מטרים, כלומר P(X < 4.8) = 0.692.

בכל השאלה נעבור בין תוצאה לציון תקן בנוסחה שבדפי הנוסחאות:

ונקרא את ההסתברויות בטבלת ההתפלגות הנורמלית שבדפי הנוסחאות. הטבלה נותנת את P(Z < z₀): השורה היא ציון התקן עד הספרה הראשונה אחרי הנקודה, והעמודה היא הספרה השנייה.

סעיף א: סטיית התקן

כאן ההסתברות ידועה וציון התקן לא. מחפשים את 0.692 בגוף הטבלה, ומוצאים 0.6920 בשורה 0.5, בעמודה 0. לכן ציון התקן של 4.8 מטרים הוא z = 0.5:

סטיית התקן היא 0.4 מטר.

סעיף ב: אחוז הזוכים במדליה

נחשב את ציון התקן של 5.24 מטרים:

בטבלה, בשורה 1.6 ובעמודה 0, רשום 0.9450. זה החלק של המשתתפים שקפצו פחות מ-5.24 מטרים. במדליה זכו מי שקפצו יותר, ולכן לוקחים את המשלים:

5.5% מן המשתתפים זכו במדליה.

סעיף ג: כמה התחרו

נסמן ב-N את מספר המשתתפים. 11 הזוכים הם 5.5% מהם:

בקפיצה לרוחק התחרו 200 משתתפים.

סעיף ד: באיזו תחרות אלון מדורג גבוה יותר

אי אפשר להשוות 5 מטרים ל-1.75 מטרים: אלה שתי התפלגויות שונות, ולכל אחת ממוצע וסטיית תקן משלה. מה שמשווים הוא ציון התקן, כלומר כמה סטיות תקן התוצאה רחוקה מן הממוצע של התחרות שלה.

ציון התקן בקפיצה לגובה גדול יותר. אפשר לראות את זה גם בטבלה: P(Z < 1) = 0.8410 ו-P(Z < 1.25) = 0.8940. בקפיצה לרוחק אלון עבר כ-84.1% מן המשתתפים, ובקפיצה לגובה כ-89.4%.

התוצאה של אלון מדורגת גבוה יותר בקפיצה לגובה, כי ציון התקן שלו שם, 1.25, גבוה מציון התקן שלו בקפיצה לרוחק, 1.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב עונים 94.5%, כלומר לוקחים את הערך שבטבלה בלי להחסיר אותו מ-1. הטבלה נותנת תמיד את החלק שמתחת לנקודה, והמדליה היא למי שמעליה. בסעיף ד משווים את ההפרשים מן הממוצע, 0.4 מטר מול 0.25 מטר, ומסיקים שהקפיצה לרוחק טובה יותר. בלי חלוקה בסטיית התקן ההשוואה חסרת משמעות.

שאלה 2, מתאם ורגרסיה ליניארית (20 נקודות)

הנתונים. חמש דירות. x הוא שטח הדירה במ"ר, ו-y הוא המחיר שבו נמכרה, במיליוני שקלים. מדפי הנוסחאות נשתמש בהגדרות האלה, כאשר N = 5:

נרכז את כל החישובים בטבלה אחת. את ȳ = 2.7 נותן השאלון, ואפשר לבדוק: (1 + 1.8 + 2.7 + 3.4 + 4.6) : 5 = 13.5 : 5 = 2.7.

בדיקה מהירה: סכום הסטיות מן הממוצע הוא תמיד 0, וכך יצא בשתי העמודות.

סעיף א: הממוצע וסטיית התקן של השטח

(1)

הממוצע של שטח הדירות הוא 98 מ"ר.

(2) סכום ריבועי הסטיות הוא 896 (העמודה החמישית בטבלה):

סטיית התקן של שטח הדירות היא כ-13.39 מ"ר.

סעיף ב: מקדם המתאם

סכום מכפלות הסטיות הוא 82.2 (העמודה האחרונה בטבלה):

r ≈ 0.983. זה קשר ליניארי חיובי וחזק מאוד: ככל שהדירה גדולה יותר, היא נמכרה ביותר כסף, והנקודות קרובות מאוד לישר.

סעיף ג: ישר הרגרסיה

השיפוע:

(בדיקה בדרך אחרת: m הוא גם סכום מכפלות הסטיות חלקי סכום ריבועי הסטיות של x, 82.2 : 896 ≈ 0.0917.)

הישר עובר בנקודת הממוצעים (98 , 2.7):

משוואת ישר הרגרסיה היא y = 0.0917x − 6.29.

מי שמעגל קודם את השיפוע ל-0.092 ורק אחר כך מחשב את החותך מקבל 2.7 − 0.092 × 98 = −6.316, כלומר y = 0.092x − 6.316. זה אותו ישר בעיגול אחר, והניבוי בסעיף ד יוצא כמעט אותו מספר, 2.884.

סעיף ד: ניבוי לדירה של 100 מ"ר

הניבוי למחיר הדירה הוא כ-2.88 מיליון שקלים.

בדיקת היגיון: 100 מ"ר גדול במעט מן הממוצע, 98 מ"ר, ולכן גם הניבוי גדול במעט מן המחיר הממוצע, 2.7 מיליון.

סעיף ה: עליית מחירים של 0.2 מיליון לכל דירה

כל ערך של y גדל ב-0.2. לכן גם הממוצע גדל ב-0.2, מ-2.7 ל-2.9. מה שחשוב הוא מה קורה לסטיות מן הממוצע: גם הערך וגם הממוצע עלו באותו סכום, ולכן ההפרש ביניהם נשאר כשהיה.

(1) סטיית התקן בנויה רק מן הסטיות מן הממוצע. הן לא השתנו, ולכן סטיית התקן של y לא השתנתה, והיא עדיין 1.249.

(2) מקדם המתאם בנוי מן הסטיות של x, מן הסטיות של y ומשתי סטיות התקן. אף אחד מהם לא השתנה, ולכן מקדם המתאם לא השתנה, והוא עדיין כ-0.983. בתמונה: כל הנקודות בדיאגרמת הפיזור עלו יחד 0.2 למעלה, והצורה של הענן נשארה אותה צורה.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א(2) מחשבים במחשבון את סטיית התקן "של מדגם", בחילוק ב-4, ומקבלים כ-14.97. בדפי הנוסחאות מחלקים ב-N, כלומר ב-5. בסעיף ה עונים "סטיית התקן גדלה ב-0.2", כי הממוצע גדל. הזזה של כל הנתונים באותו סכום משנה את המיקום, לא את הפיזור.

שאלה 3, הסתברות: טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית (20 נקודות)

הנתונים. בשכבה יש בנים ובנות, מתנדבים ושאינם מתנדבים.

• 75% מן השכבה מתנדבים.
• 35 מן המתנדבים הם בנות.
• מספר הבנות שמתנדבות גדול פי 3 ממספר הבנות שאינן מתנדבות.

נבנה טבלה דו-ממדית ונמלא אותה באחוזים מכלל השכבה. כל משבצת היא ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה תלמיד מן הסוג הזה.

הסעיפים מסבירים איך כל משבצת התמלאה.

סעיף א: בת שמתנדבת

הבנות הן 35 מתוך המתנדבים, והמתנדבים הם 0.75 מן השכבה:

ההסתברות היא 0.45.

סעיף ב: אחוז הבנים

מספר הבנות המתנדבות גדול פי 3 ממספר הבנות שאינן מתנדבות. לכן הבנות שאינן מתנדבות הן שליש מן הבנות המתנדבות:

הבנים הם 40% מן השכבה.

סעיף ג: ידוע שנבחר בן, מה הסיכוי שהוא מתנדב

קודם נמצא את הבנים המתנדבים. מכל המתנדבים, 0.75, נוריד את הבנות המתנדבות:

עכשיו זו הסתברות מותנית. המידע "נבחר בן" מצמצם את מרחב האפשרויות לבנים בלבד:

ההסתברות היא 0.75.

סעיף ד: המשפט של דנה

דנה משווה שני אחוזים, וכל אחד מהם הוא הסתברות מותנית: אחוז המתנדבות מבין הבנות, ואחוז המתנדבים מבין הבנים.

המשפט אינו נכון. בשתי הקבוצות האחוז הוא 75%, כלומר האחוזים שווים, ואף אחד מהם אינו גדול מן השני.

(אגב, זה בדיוק אחוז המתנדבים בכל השכבה. ההתנדבות אינה תלויה כאן במין התלמיד.)

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א עונים 35, אבל 35 הוא החלק של הבנות מבין המתנדבים, ולא מכל השכבה. בסעיף ד משווים 45% ל-30%, כלומר את הבנות המתנדבות ואת הבנים המתנדבים מתוך כל השכבה, ומגיעים ל"נכון". אלא שיש בשכבה יותר בנות, ולכן צריך לחלק כל קבוצה בגודל שלה.

פרק שני: גאומטרייה

שאלה 4, משולש ישר זווית במערכת צירים (20 נקודות)

הנתונים. במשולש ABC הזווית ACB ישרה. A(−16 , 0), הקודקוד B על ציר ה-y, ומשוואת הצלע CB היא y = −(25)x + 11, כלומר y = −0.4x + 11.

נתחיל מ-B, כי נצטרך אותו כמעט בכל סעיף. B נמצא על ציר ה-y, ולכן x = 0, והוא נמצא על CB:

סעיף א: משוואת הצלע AC

הזווית ACB ישרה, ולכן AC מאונכת ל-CB. מכפלת השיפועים של שני ישרים מאונכים היא מינוס 1:

הישר AC עובר דרך A(−16 , 0):

משוואת הצלע AC היא y = 2.5x + 40.

סעיף ב: הקודקוד C

C הוא נקודת החיתוך של AC ושל CB. נשווה:

בדיקה במשוואת CB: −0.4 × (−10) + 11 = 4 + 11 = 15. מתאים.

C(−10 , 15).

סעיף ג: התיכון BE

(1) BE תיכון לצלע AC, ולכן E היא אמצע AC:

ולפי נוסחת המרחק:

EC = √65.25 ≈ 8.08 (בצורה מדויקת, 1.5√29).

(2) E נמצאת על הצלע AC, ולכן הזווית ECB היא הזווית ACB עצמה, זווית ישרה. המשולש ECB ישר זווית ב-C, ו-EC ו-CB הם הניצבים שלו. נחשב את CB:

מול הזווית CEB נמצא הניצב CB, וליד הזווית נמצא הניצב EC:

∢CEB ≈ 53.13°.

סעיף ד: אורך הקטע EK

הנקודות A, E ו-C נמצאות על ישר אחד, ו-K על הקטע EB. לכן הזווית AEK במשולש AEK היא הזווית הצמודה לזווית CEB:

ובדפי הנוסחאות: sin(180° − α) = sin α. מן הסעיף הקודם tan∢CEB = 43, כלומר במשולש ECB הניצבים EC ו-CB הם ביחס 3 : 4, ולפי פיתגורס היתר EB הוא 5 באותו יחס. לכן:

במשולש AEK ידועות הזווית שבקודקוד E והצלע EA, שהיא חצי AC ולכן שווה ל-EC. נשתמש בנוסחת השטח "חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן":

EK ≈ 5.57 (בצורה מדויקת, 30√29).

בדיקה בדרך אחרת: CB הוא הגובה מ-B אל הישר AC, ולכן שטח המשולש AEB הוא ½ × 8.078 × 10.77 = 43.5. למשולשים AEK ו-AEB יש אותו גובה מ-A, והבסיסים שלהם EK ו-EB מונחים על ישר אחד. לכן EK : EB = 18 : 43.5. האורך EB הוא √65.25 + 116 = √181.25 ≈ 13.46, ומכאן EK = 13.46 × 18 : 43.5 ≈ 5.57. אותה תוצאה, והיא קטנה מ-EB, כך ש-K אכן על הקטע.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג(2) לוקחים את היחס הפוך, EC : CB, ומקבלים את הזווית האחרת של המשולש, כ-36.87°. כדאי לבדוק: מול הזווית CEB נמצא הניצב הארוך, CB, ולכן היא הגדולה מבין שתי הזוויות החדות. בסעיף ד מציבים בנוסחת השטח את 53.13° במקום את הזווית AEK, וזה עובד רק בגלל ש-sin(180° − α) = sin α. צריך לכתוב את זה במפורש, אחרת הנימוק חסר.

שאלה 5, מעגל, משיק ודמיון משולשים (20 נקודות)

הנתונים. משוואת המעגל (x − 5)² + (y − 6)² = 100, ולכן המרכז M(5 , 6) והרדיוס 10. A על החלק החיובי של ציר ה-x, AB קוטר, ו-BC משיק למעגל ב-B וחותך את ציר ה-x ב-C.

סעיף א: הנקודה A

A על ציר ה-x, ולכן y = 0:

A על החלק החיובי של ציר ה-x.

A(13 , 0).

סעיף ב: המשיק BC

הנקודה B. AB קוטר, ולכן המרכז M הוא אמצע AB:

B(−3 , 12). בדיקה: (−3 − 5)² + (12 − 6)² = 64 + 36 = 100, הנקודה על המעגל.

השיפוע. רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק. שיפוע הרדיוס MB:

ולכן שיפוע המשיק הוא 43, כי (−34) × (43) = −1. המשיק עובר דרך B(−3 , 12):

משוואת המשיק BC היא y = (43)x + 16.

סעיף ג: אורך AC

C על ציר ה-x, ולכן y = 0:

A ו-C שתיהן על ציר ה-x, ולכן המרחק ביניהן הוא ההפרש בשיעורי ה-x:

AC = 25.

סעיף ד: הזווית ADB והדמיון

(1) D נמצאת על המעגל, ולכן ∢ADB היא זווית היקפית. היא נשענת על הקשת AB, ו-AB הוא קוטר. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה, ולכן ∢ADB = 90°.

(2) נשווה את המשולשים ABC ו-ADB:

• ∢ABC = 90°. BC משיק למעגל ב-B, והרדיוס MB מונח על הקוטר AB. רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן AB מאונך ל-BC.
• ∢ADB = 90°, לפי סעיף ד(1).
• ∢BAC = ∢DAB, כי AB חוצה את הזווית DAC.

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן △ABC ∼ △ADB לפי משפט הדמיון ז.ז. ההתאמה: A מתאים ל-A, B מתאים ל-D (הזוויות הישרות), ו-C מתאים ל-B.

סעיף ה: יחס השטחים

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון. כדי למצוא את יחס הדמיון צריך זוג צלעות מתאימות שאת שתיהן אנחנו יודעים. לפי ההתאמה, הצלע AC במשולש ABC מתאימה לצלע AB במשולש ADB. שתיהן יתרים, כל אחת מול הזווית הישרה של המשולש שלה.

שטח המשולש ABC גדול פי 2516, כלומר פי 1.5625, משטח המשולש ADB.

בדיקה בחישוב ישיר: הבסיס AC של המשולש ABC מונח על ציר ה-x, והגובה אליו הוא שיעור ה-y של B, 12. לכן S_ABC = ½ × 25 × 12 = 150. במשולש ABC, cos∢BAC = AB : AC = 20 : 25 = 0.8, ואותה זווית נמצאת גם במשולש ADB. לכן AD = 20 × 0.8 = 16, ולפי פיתגורס DB = √400 − 256 = 12. S_ADB = ½ × 16 × 12 = 96, ו-150 : 96 = 1.5625. מתאים.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב מחפשים משוואת ישר דרך M ו-B, ושוכחים שהמשיק מאונך לרדיוס. בסעיף ה עונים 54, כלומר עוצרים ביחס הדמיון ושוכחים להעלות אותו בריבוע. ועוד טעות שכיחה: מתאימים בין צלעות לפי הסדר שבו נכתבו, ולא לפי הזוויות. היתר מתאים ליתר.

פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (x² − 9) : (x² + 1) + 1, מוגדרת לכל x. המכנה x² + 1 חיובי תמיד ואף פעם אינו מתאפס, ולכן אין לפונקציה אסימפטוטה אנכית.

כדאי לכתוב את f כשבר אחד, זה יעזור בסעיף ג:

סעיף א: האסימפטוטה האופקית

ב-(x² − 9) : (x² + 1) המעלות במונה ובמכנה שוות, ושני המקדמים המובילים הם 1. לכן כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, השבר שואף ל-1 : 1 = 1, ו-f שואפת ל-1 + 1 = 2.

האסימפטוטה המקבילה לציר ה-x היא y = 2.

סעיף ב: נקודת הקיצון ותחומי העלייה והירידה

(1) נגזור לפי כלל המנה. הנגזרת של הקבוע 1 היא 0:

המכנה חיובי תמיד, ולכן הנגזרת מתאפסת רק כשהמונה מתאפס: 20x = 0, כלומר x = 0.

הסימן של f′ הוא הסימן של 20x:

נקודת הקיצון היא (0 , −8), והיא נקודת מינימום.

(2) לפי הטבלה: f יורדת בתחום x < 0 ועולה בתחום x > 0.

סעיף ג: נקודות החיתוך עם ציר ה-x

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס (המכנה כאן אף פעם אינו 0):

נקודות החיתוך עם ציר ה-x: (2 , 0) ו-(−2 , 0).

סעיף ד: סקיצה

נאסוף את מה שמצאנו:

• f(−x) = f(x), כי x מופיע רק בריבוע. הגרף סימטרי לציר ה-y.
• אין אסימפטוטה אנכית. האסימפטוטה האופקית y = 2.
• f(x) = 2 − 10 : (x² + 1), כלומר תמיד מחסירים מ-2 מספר חיובי. לכן הגרף כולו מתחת לאסימפטוטה ומתקרב אליה מלמטה.
• מינימום (0 , −8), חיתוכים עם ציר ה-x ב-(−2 , 0) וב-(2 , 0).

הגרף נראה כמו עמק רחב: משמאל הוא קרוב ל-y = 2 ומתחתיו, יורד, חותך את ציר ה-x ב-(−2 , 0), מגיע לתחתית ב-(0 , −8), עולה בסימטריה, חותך ב-(2 , 0), ומתקרב שוב ל-y = 2 מלמטה.

סעיף ה: גרף הנגזרת והשטח

(1) נבדוק מה ידוע על f′(x) = 20x : (x² + 1)²:

• היא מתאפסת רק ב-x = 0, ולכן הגרף שלה חותך את ציר ה-x בראשית ורק בה.
• היא שלילית משמאל ל-0 וחיובית מימינו (סעיף ב).
• כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, המכנה גדל הרבה יותר מהר מן המונה, ולכן f′ שואפת ל-0, והגרף מתקרב לציר ה-x משני הצדדים.

נעבור על הגרפים:

• בגרפים II ו-III הנגזרת חיובית משמאל ושלילית מימין. נגזרת כזאת שייכת לפונקציה שעולה ואחר כך יורדת, עם מקסימום, ול-f יש מינימום. נפסלים.
• בגרף IV החיתוך עם ציר ה-x נמצא מימין לציר ה-y, לא בראשית. נפסל.
• בגרף I הגרף עובר בראשית, שלילי משמאל, חיובי מימין, ומתקרב לציר ה-x בשני הקצוות.

גרף I מתאר את f′(x).

(2) השטח מוגבל על ידי הגרף של f′, ציר ה-x והישרים x = −2 ו-x = 2. בתחום הזה f′ משנה סימן ב-x = 0, ולכן מחלקים את השטח לשניים.

הנקודה החשובה: אין צורך למצוא פונקציה קדומה ל-20x : (x² + 1)². הפונקציה הקדומה של f′ היא f עצמה, וכל הערכים שלה כבר ידועים: f(−2) = 0, f(0) = −8, f(2) = 0.

בין −2 ל-0 הגרף מתחת לציר ה-x, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

בין 0 ל-2 הגרף מעל לציר ה-x:

השטח הוא 16 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ה(2) מחשבים אינטגרל אחד ממינוס 2 עד 2 ומקבלים f(2) − f(−2) = 0. החלק השלילי מבטל את החיובי, ושטח של 0 הוא סימן שצריך לפצל. בסעיף ה(1) בוחרים בגרף IV כי "הוא שלילי ואחר כך חיובי", בלי לבדוק איפה הוא חותך את ציר ה-x.

שאלה 7, פונקציית שורש (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (3x − 9) × √15 − x.

סעיף א: תחום ההגדרה

הביטוי שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי:

תחום ההגדרה הוא x ≤ 15.

סעיף ב: נקודות החיתוך עם הצירים

עם ציר ה-y (x = 0):

הנקודה (0 , −9√15).

עם ציר ה-x (f(x) = 0). מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים אפס:

(0 , −9√15) ≈ (0 , −34.86), (3 , 0) ו-(15 , 0).

סעיף ג: נקודות הקיצון

נגזור לפי כלל המכפלה. הנגזרת של √15 − x היא −1 : (2√15 − x), כולל הנגזרת הפנימית, מינוס 1:

נביא למכנה משותף 2√15 − x. את האיבר הראשון נכפול ונחלק ב-2√15 − x, ונזכור ש-√a × √a = a:

הנגזרת מוגדרת ב-x < 15 (ב-x = 15 המכנה מתאפס). היא מתאפסת כשהמונה אפס:

המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′ נקבע במונה:

הערכים:

• ב-x = 11 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה: (11 , 48) מקסימום.
• ב-x = 15 התחום נגמר. הפונקציה יורדת אל הנקודה הזאת ומוגדרת בה, ולכן (15 , 0) מינימום בקצה התחום.

משמאל אין קצה לתחום, והפונקציה עולה כל הדרך עד x = 11, ולכן אין שם קיצון נוסף.

נקודות הקיצון: (11 , 48) מקסימום, (15 , 0) מינימום בקצה התחום.

סעיף ד: סקיצה

• הגרף קיים רק עבור x ≤ 15, כולל x = 15 עצמו.
• כש-x שואף למינוס אינסוף, 3x − 9 שואף למינוס אינסוף והשורש גדל, ולכן f שואפת למינוס אינסוף.

הגרף עולה מלמטה משמאל, חותך את ציר ה-y ב-(0 , −34.86), חותך את ציר ה-x ב-(3 , 0), ממשיך לעלות עד המקסימום (11 , 48), ויורד בתלילות אל נקודת הקצה (15 , 0), שבה הוא נעצר.

סעיף ה: הפונקציה g(x) = f(x + 6)

(1) הצבה של x + 6 במקום x מזיזה את הגרף של f שש יחידות שמאלה. כל נקודה (x , y) על הגרף של f עוברת ל-(x − 6 , y). התחום משתנה בהתאם: x + 6 ≤ 15, כלומר x ≤ 9, בדיוק כמו בשאלון.

ונקודת החיתוך עם ציר ה-y:

לגרף של g יש אפוא: חיתוך עם ציר ה-x משמאל לציר ה-y, חיתוך חיובי עם ציר ה-y, מקסימום מימין לציר ה-y, ונקודת קצה על ציר ה-x.

• בגרפים II ו-IV יש מינימום ולא מקסימום. הזזה אינה הופכת את הגרף. נפסלים.
• בגרף I החיתוך עם ציר ה-y שלילי והחיתוך עם ציר ה-x מימין לציר ה-y. זה הגרף של f עצמה, לפני ההזזה. נפסל.
• בגרף III כל התכונות מתאימות.

גרף III מתאר את g(x).

(2) נקודת הקיצון הפנימית של g היא המקסימום של f אחרי ההזזה:

(5 , 48), נקודת מקסימום.

איפה נופלים בשאלה 7. בגזירה של השורש שוכחים את הנגזרת הפנימית, מינוס 1, ומקבלים נגזרת שאינה מתאפסת בתחום. בסעיף ג מפספסים את נקודת הקצה (15 , 0): השאלה מבקשת את כל נקודות הקיצון. ובסעיף ה מזיזים ימינה במקום שמאלה, כי רואים "+6". בדיקה פשוטה: g(−3) = f(3) = 0.

שאלה 8, פונקציה רציונלית עם פרמטר ובעיית קיצון (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = a : (x − 2), מוגדרת ל-x ≠ 2, ו-a ≠ 0. A היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-y, והמשיק לגרף ב-A שיפועו −1.5.

סעיף א: הערך של a

הנקודה A. על ציר ה-y, x = 0:

הנגזרת. f(x) = a × (x − 2)⁻¹, ולכן:

שיפוע המשיק ב-A הוא הנגזרת ב-x = 0:

בדיקה מול הסרטוט: עם a = 6 הנקודה A היא (0 , −3), מתחת לציר ה-x, והענף שמימין ל-x = 2 נמצא מעל ציר ה-x. בדיוק כמו בסרטוט.

a = 6.

סעיף ב: משוואת המשיק

עם a = 6, A(0 , −3), והשיפוע −1.5. המשיק חותך את ציר ה-y ב-A, ולכן −3 הוא המספר החופשי:

y = −1.5x − 3.

סעיף ג: אורך הקטע BC

(1) B על הגרף של f, ושיעור ה-x שלו הוא t, כאשר t > 2. BC מקביל לציר ה-y, ולכן גם ל-C אותו שיעור x, t, ו-C על המשיק:

איזו נקודה למעלה? כש-t > 2, הערך 6t − 2 חיובי, והערך −1.5t − 3 קטן ממינוס 6, כלומר שלילי. לכן B מעל C, כמו בסרטוט, והאורך הוא הפרש שיעורי ה-y, העליון פחות התחתון:

BC = 6t − 2 + 1.5t + 3, עבור t > 2.

(2) נסמן d(t) = 6t − 2 + 1.5t + 3 ונגזור:

נשווה לאפס:

רק t = 4 נמצא בתחום t > 2. נבדוק שזה אכן מינימום:

ב-t = 4 הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, ולכן זו נקודת מינימום.

הערך הוא t = 4. האורך המינימלי עצמו: d(4) = 62 + 6 + 3 = 12.

איפה נופלים בשאלה 8. בסעיף ג(1) כותבים BC = 6t − 2 − 1.5t − 3, כלומר מחסירים בלי סוגריים, ושוכחים שמחסירים את כל הביטוי של המשיק. בסעיף ג(2) משאירים גם את t = 0, שאינו בתחום t > 2.

התשובות בקצרה