התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35471 · חורף · תשפ״ה · 2025
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות
שאלה 1 20 נקודות
התפלגות נורמלית: ממוצע וסטיית תקן מן הגרף, אחוזון, ניבוי מספר והכפלה של כל הערכים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הממוצע 21 חודשים, סטיית התקן 4 חודשים |
| ב | 13.76 חודשים |
| ג | 212 טלפונים הערך 0.8940 הוא הרשום בטבלה שבדפי הנוסחאות ל-4 יחידות, ולכן 212. בטבלה מפורטת יותר רשום 0.8944, ואז מתקבל 211.2, כלומר כ-211. |
| ד(1) | הממוצע החדש 31.5 חודשים, סטיית התקן החדשה 6 חודשים |
| ד(2) | 1.22% |
שאלה 2 20 נקודות
מתאם ורגרסיה לינארית: ממוצע, סטיית תקן, בחירת מקדם מתאם, ישר רגרסיה והזזה של y
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x̄ = 12 ימים, Sₓ = √22.4 ≈ 4.73 ימים |
| ב | r = 0.959. הנקודות עולות משמאל לימין, ולכן המתאם חיובי, והן אינן על ישר אחד (בשני חודשים היו 10 ימי גשם והכנסות שונות), ולכן r אינו 1 |
| ג(1) | השיפוע ≈ 1.714 |
| ג(2) | y = 1.714x + 50.43 |
| ד | כ-76.14 אלף שקלים (כ-76,140 שקלים) |
| ה | y = 1.714x + 30.43 |
שאלה 3 20 נקודות
הסתברות: טבלה דו-ממדית, הסתברות מותנית והוצאה ללא החזרה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 37.5% |
| ב | ⅓ |
| ג | 184 תלמידים |
| ד | 7 בנים |
פרק שני: גאומטרייה
שאלה 4 20 נקודות
דמיון משולשים וגאומטריה אנליטית: אורך קטע, ישר מאונך ושטח מרובע
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | ∢AEP = ∢CBP = 90° ו-∢APE = ∢CPB (זוויות קודקודיות), ולכן △AEP ∼ △CBP לפי ז.ז. |
| ב | AP = 7.5 |
| ג | P(0 , 9.5) , C(12.5 , 9.5) |
| ד(1) | y = −0.75x + 9.5 |
| ד(2) | B(8 , 3.5) |
| ד(3) | 97.125 יחידות שטח |
שאלה 5 20 נקודות
מעגל ומשולש חסום: משוואת מעגל, חיתוך עם ישר, זוויות, שטח ויחס שטחים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | (x + 5)² + y² = 100 |
| ב | A(3 , 6) , B(−5 , −10) |
| ג | ∢ACO ≈ 18.43° , ∢AOC ≈ 116.57° |
| ד | 120 יחידות שטח |
| ה | AE = 3.2√10 ≈ 10.12 |
פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 20 נקודות
פונקציה רציונלית עם פרמטר: תחום, אסימפטוטות, קיצון, סקיצה וגרף הנגזרת
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≠ 0 |
| א(2) | אסימפטוטה אנכית x = 0. אין אסימפטוטה אופקית |
| ב | a = 9 |
| ג | (−3 , −5) מקסימום , (3 , 7) מינימום |
| ד | שני ענפים משני צדי x = 0, בלי חיתוך עם הצירים. הענף השמאלי עולה מלמטה עד המקסימום (−3 , −5) ויורד למינוס אינסוף ליד x = 0. הענף הימני יורד מפלוס אינסוף ליד x = 0 עד המינימום (3 , 7) ועולה משם |
| ה(1) | גרף f מוזז 11 יחידות למטה: מקסימום (−3 , −16), מינימום (3 , −4), חיתוך עם ציר ה-x ב-(1 , 0) וב-(9 , 0), אסימפטוטה אנכית x = 0 |
| ה(2) | x = 1 מקסימום , x = 9 מינימום |
שאלה 7 20 נקודות
פונקציית שורש: זיהוי גרף הנגזרת, קיצון כולל קצה, חיתוך, סקיצה ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | גרף I. במקסימום הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, וזה מה שגרף I עושה. גרף II עובר משלילי לחיובי, וזה מתאים למינימום |
| ב | (1.75 , 9) מקסימום , (2 , 8) מינימום בקצה התחום |
| ג | (−2 , 0) |
| ד | הגרף קיים רק עבור x ≤ 2. הוא עולה מלמטה משמאל, חותך את ציר ה-x ב-(−2 , 0) ואת ציר ה-y ב-(0 , 4√2), מגיע למקסימום (1.75 , 9), ויורד אל נקודת הקצה (2 , 8) |
| ה | 27 − 12√2 ≈ 10.03 יחידות שטח |
שאלה 8 20 נקודות
פונקציה רציונלית: תחום, אסימפטוטות, חיתוך ובעיית קיצון של שטח משולש
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≠ 4 |
| א(2) | x = 4 , y = 1 |
| ב | B(−2 , 0) |
| ג(1) | A(10 , 2) |
| ג(2) | 12 יחידות שטח |