מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1 עד 3), גאומטרייה (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש (שאלות 6 עד 8). עונים על חמש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 20 נקודות, וחמש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מחמש, נבדקות לו רק חמש התשובות הראשונות שבמחברת, ולכן כדאי להחליט מראש על אילו שאלות מוותרים. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה ארבע שעות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות

שאלה 1, התפלגות נורמלית (20 נקודות)

הנתונים. נסמן ב-X את אורך החיים של טלפון, בחודשים. X מתפלג נורמלית. בגרף שבשאלה מסומנים שני שטחים אפורים: 22.7% מן הטלפונים חיים פחות מ-18 חודשים, ו-22.7% חיים יותר מ-24 חודשים.

בכל השאלה נעבור בין אורך חיים לציון תקן בנוסחה שבדפי הנוסחאות:

ונקרא את ההסתברויות בטבלת ההתפלגות הנורמלית שבדפי הנוסחאות. הטבלה נותנת את P(Z < z₀), גם לציוני תקן שליליים: השורה היא ציון התקן עד הספרה הראשונה אחרי הנקודה, והעמודה היא הספרה השנייה.

סעיף א: הממוצע וסטיית התקן

הממוצע. עקומת ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע. משמאל ל-18 יש בדיוק אותו שטח כמו מימין ל-24, ולכן שני המספרים נמצאים באותו מרחק מן הממוצע, משני צדיו. הממוצע הוא האמצע ביניהם:

סטיית התקן. נתון ש-P(X < 18) = 0.227. כאן ההסתברות ידועה וציון התקן לא, ולכן מחפשים את 0.227 בגוף הטבלה. מוצאים 0.2270 בשורה −0.7, בעמודה 5. לכן ציון התקן של 18 חודשים הוא z = −0.75:

אפשר לבדוק בצד השני: ציון התקן של 24 הוא (24 − 21) : 4 = 0.75, ומעליו 1 − 0.7730 = 0.227. מתאים לגרף.

הממוצע 21 חודשים, וסטיית התקן 4 חודשים.

סעיף ב: אורך החיים הגדול ביותר של טלפון פגום

הפגומים הם 3.5% הטלפונים הקצרים ביותר. נחפש אורך חיים x שמתחתיו נמצאים בדיוק 3.5% מן הטלפונים:

בגוף הטבלה הערך 0.0350 נמצא בשורה −1.8, בעמודה 1. לכן z = −1.81:

אורך החיים הגדול ביותר של טלפון שנחשב פגום הוא 13.76 חודשים. כל טלפון שחי פחות מזה נחשב פגום.

סעיף ג: כמה טלפונים יחיו יותר מ-26 חודשים

נחשב את ציון התקן של 26:

בטבלה, בשורה 1.2 ובעמודה 5, רשום 0.8940. זה החלק של הטלפונים שחיים פחות מ-26 חודשים. אנחנו רוצים את אלה שחיים יותר, ולכן לוקחים את המשלים:

ובחודש שבו ייוצרו 2,000 טלפונים:

212 טלפונים.

סעיף ד: הגדלה פי 1.5

(1) כשכל ערך מוכפל ב-1.5, גם הממוצע מוכפל ב-1.5. גם הפיזור מתרחב: כל מרחק מן הממוצע גדל פי 1.5, ולכן גם סטיית התקן גדלה פי 1.5:

הממוצע החדש 31.5 חודשים, וסטיית התקן החדשה 6 חודשים.

(2) ההתפלגות נשארת נורמלית, עכשיו עם μ = 31.5 ו-σ = 6:

בטבלה, בשורה −2.2 ובעמודה 5, רשום 0.0122.

אחרי ההגדלה, 1.22% מן הטלפונים חיים פחות מ-18 חודשים.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א מחפשים את 0.227 בעמודת ציוני התקן במקום בגוף הטבלה. בסעיף ג שוכחים לקחת את המשלים ומקבלים 1,788 במקום 212. בסעיף ד(1) משאירים את סטיית התקן 4 כמו שהיא, כאילו ההגדלה הזיזה את כל הערכים ולא מתחה אותם. הזזה (הוספת מספר) אינה משנה את סטיית התקן, אבל הכפלה כן.

שאלה 2, מתאם ורגרסיה (20 נקודות)

הנתונים. x הוא מספר ימי הגשם בחודש, ו-y הוא ההכנסה החודשית של בית מרקחת א', באלפי שקלים. חמישה חודשים:

נתון גם ש-ȳ = 71 ו-S_y = 8.46.

סעיף א: הממוצע וסטיית התקן של x

הממוצע:

לסטיית התקן נחשב את המרחק של כל ערך מן הממוצע, נעלה בריבוע, ניקח את הממוצע של הריבועים ונוציא שורש:

ממוצע ימי הגשם הוא 12 ימים בחודש, וסטיית התקן היא √22.4, כלומר כ-4.73 ימים.

סעיף ב: איזה מספר הוא מקדם המתאם

נבחן כל אפשרות לפי דיאגרמת הפיזור.

• −0.959 נפסל. בדיאגרמה הנקודות עולות משמאל לימין: חודשים גשומים יותר באים עם הכנסה גבוהה יותר. זה מתאם חיובי, ולכן r חיובי.
• 1 נפסל. r = 1 פירושו שכל הנקודות יושבות בדיוק על ישר אחד. אבל בדצמבר ובמרץ היו אותם 10 ימי גשם, וההכנסות היו שונות, 72 ו-65. שתי נקודות זו מעל זו לא יכולות להיות על ישר עולה אחד.
• נשאר r = 0.959, מתאם חיובי חזק אבל לא מושלם, וזה בדיוק מה שרואים בדיאגרמה.

מקדם המתאם הוא r = 0.959.

סעיף ג: ישר הרגרסיה

(1) שיפוע ישר הרגרסיה של y על פי x מדפי הנוסחאות:

השיפוע הוא בקירוב 1.714.

(2) ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים (x̄ , ȳ) = (12 , 71):

משוואת ישר הרגרסיה: y = 1.714x + 50.43.

סעיף ד: ניבוי לחודש עם 15 ימי גשם

ההכנסה החזויה היא כ-76.14 אלף שקלים, כלומר כ-76,140 שקלים.

סעיף ה: בית מרקחת ב'

בכל חודש ההכנסה של בית מרקחת ב' קטנה ב-20 מזו של בית מרקחת א'. כל הנקודות של דיאגרמת הפיזור יורדות 20 יחידות למטה, בלי שום שינוי בצורה שלהן:

• ימי הגשם לא השתנו, ולכן x̄ ו-Sₓ נשארים.
• הממוצע של y יורד ב-20, ל-51.
• הפיזור של y לא משתנה, ולכן S_y נשאר 8.46, וגם r נשאר 0.959.

לכן השיפוע נשאר 1.714, והישר כולו יורד 20 יחידות:

משוואת ישר הרגרסיה של בית מרקחת ב': y = 1.714x + 30.43.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א מחלקים ב-4 במקום ב-5. דפי הנוסחאות מגדירים את סטיית התקן בחילוק במספר התצפיות. בסעיף ב בוחרים ב-1 כי "המתאם חזק", בלי לבדוק אם כל הנקודות באמת על ישר אחד. בסעיף ה משנים גם את השיפוע, למרות שהזזה של כל הנקודות באותו מספר מזיזה רק את הישר ולא מטה אותו.

שאלה 3, הסתברות (20 נקודות)

הנתונים. בשכבה בנים ובנות, לחלקם רישיון נהיגה. 25% מן השכבה הם בנים בלי רישיון. לשליש מן הבנים יש רישיון.

הכי נוח לסדר הכול בטבלה דו-ממדית של אחוזים מכל השכבה, ולמלא אותה תא אחר תא.

סעיף א: אחוז הבנים

נסמן ב-b את אחוז הבנים בשכבה. לשליש מן הבנים יש רישיון, ולכן לשני שלישים מהם אין. הבנים בלי רישיון הם 25% מן השכבה:

37.5% מן השכבה הם בנים.

סעיף ב: הסתברות שתלמיד בלי רישיון הוא בן

נמלא את הטבלה:

• בנים עם רישיון: שליש מן הבנים, 37.5 : 3 = 12.5%.
• בנות סך הכול: 100 − 37.5 = 62.5%.
• בנות עם רישיון: נתון שההסתברות לבחור בת עם רישיון שווה להסתברות לבחור בן עם רישיון, ולכן גם הן 12.5%.
• בנות בלי רישיון: 62.5 − 12.5 = 50%.

ידוע שנבחר תלמיד בלי רישיון, ולכן מסתכלים רק על עמודת "בלי רישיון", 75% מן השכבה. מתוכם הבנים הם 25%:

ההסתברות היא ⅓.

סעיף ג: כמה תלמידים בשכבה

69 הבנים הם 37.5% מן השכבה. נסמן ב-N את מספר התלמידים:

בשכבה 184 תלמידים.

סעיף ד: כמה בנים הצטרפו

אחרי ההצטרפות יש בשכבה 184 + 26 = 210 תלמידים. נסמן ב-k את מספר הבנים שהצטרפו, ולכן יש עכשיו 69 + k בנים. בוחרים שניים בלי החזרה, ושניהם בנים: בבחירה הראשונה יש 69 + k בנים מתוך 210, ובשנייה נשאר בן אחד פחות מתוך 209 תלמידים:

נכפול באגפים ב-210 × 209 = 43,890:

כדי לפשט, נסמן ב-n את מספר הבנים אחרי ההצטרפות, n = 69 + k. אז 68 + k הוא n − 1:

הפתרון השלילי אינו מספר תלמידים, ולכן n = 76. מכאן

בדיקה: 76210 × 75209 = 5,70043,890 = 1077. ו-7 בנים הם אכן חלק מ-26 המצטרפים (ועוד 19 בנות).

לשכבה הצטרפו 7 בנים.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א כותבים b3 = 25, כלומר מתייחסים ל-25% כאילו הם הבנים עם רישיון. בסעיף ב מחלקים ב-100 במקום ב-75, ומקבלים את ההסתברות לבחור בן בלי רישיון מכל השכבה, ולא את ההסתברות המותנית. בסעיף ד שוכחים שהבחירה ללא החזרה, ובבחירה השנייה משאירים את אותם מספרים.

פרק שני: גאומטרייה

שאלה 4, דמיון משולשים וגאומטריה אנליטית (20 נקודות)

הנתונים. במשולש ABC הזווית B ישרה. הצלע AB חותכת את ציר ה-y בנקודה P. הישר CP מקביל לציר ה-x, והנקודה E על הישר CP כך ש-AE מקביל לציר ה-y. בסרטוט E משמאל ל-P ו-C מימין לו, A למעלה משמאל ו-B למטה.

סעיף א: הוכחת הדמיון

נשווה זוויות בין המשולשים AEP ו-CBP.

המשולשים דומים לפי ז.ז. ההתאמה בין הקודקודים: A מתאים ל-C, E מתאים ל-B, ו-P מתאים לעצמו.

סעיף ב: אורך AP

לפי ההתאמה, AP (מול הזווית הישרה E) מתאים ל-CP (מול הזווית הישרה B). יחס הדמיון הוא 35:

AP = 7.5.

סעיף ג: הנקודות P ו-C

P על ציר ה-y, ולכן P(0 , p). המרחק שלה מ-A(−6 , 14) הוא 7.5:

נתון ששיעור ה-y של P קטן מ-14, ולכן P(0 , 9.5).

C על הישר CP, שמקביל לציר ה-x, ולכן גם שיעור ה-y שלה הוא 9.5. בסרטוט C מימין ל-P, והמרחק CP = 12.5, ולכן שיעור ה-x שלה הוא 0 + 12.5:

C(12.5 , 9.5).

סעיף ד: הצלע AB, הקודקוד B ושטח המרובע

(1) הצלע AB עוברת דרך A(−6 , 14) ודרך P(0 , 9.5). P על ציר ה-y, ולכן 9.5 הוא בדיוק המספר החופשי. השיפוע:

משוואת הצלע AB: y = −0.75x + 9.5.

(2) הקודקוד B הוא המפגש של AB עם BC, ו-BC מאונכת ל-AB. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא −1, ולכן שיפוע BC הוא 43 (כי −0.75 × 43 = −1). הישר BC עובר דרך C(12.5 , 9.5):

נשווה למשוואת AB:

נכפול ב-12 כדי להיפטר מן השברים:

ונציב במשוואת AB:

B(8 , 3.5). בדיקה: מימין לציר ה-y ומתחת לישר CP, כמו בסרטוט.

(3) קודם נמצא את E. היא מתחת ל-A, ולכן שיעור ה-x שלה −6, והיא על הישר CP, ולכן שיעור ה-y שלה 9.5: E(−6 , 9.5).

האלכסון EC מונח על הישר האופקי y = 9.5, והוא מחלק את המרובע AEBC לשני משולשים: AEC מעליו ו-EBC מתחתיו. לשניהם אותו בסיס, EC, והגובה של כל אחד הוא המרחק האנכי של הקודקוד השלישי מן הישר y = 9.5:

שטח המרובע AEBC הוא 97.125 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב מתאימים את AP ל-BP במקום ל-CP, כלומר לא מקפידים על סדר הקודקודים שבדמיון. בסעיף ג משאירים את שני הפתרונות p = 18.5 ו-p = 9.5, ושוכחים את הנתון שבוחר ביניהם. בסעיף ד(3) מחשבים שטח של משולש אחד במקום של המרובע כולו.

שאלה 5, מעגל ומשולש חסום (20 נקודות)

הנתונים. המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו M(−5 , 0). הנקודה C(−15 , 0) על המעגל. O היא ראשית הצירים.

סעיף א: משוואת המעגל

C על המעגל, ולכן הרדיוס הוא המרחק MC. שתי הנקודות על ציר ה-x:

משוואת המעגל: (x + 5)² + y² = 100.

סעיף ב: הקודקודים A ו-B

A ו-B הם נקודות החיתוך של הישר y = 2x עם המעגל. נציב y = 2x במשוואת המעגל:

עבור x = 3: y = 6. עבור x = −5: y = −10. בסרטוט A ברביע הראשון ו-B למטה, ולכן:

A(3 , 6) , B(−5 , −10).

סעיף ג: הזוויות ACO ו-AOC

∢ACO. נוריד אנך מ-A לציר ה-x, לנקודה (3 , 0). נוצר משולש ישר זווית שקודקודו C, עם ניצב אופקי באורך 3 − (−15) = 18 וניצב אנכי באורך 6:

∢AOC. הישר OA הוא y = 2x, ושיפועו 2. הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-x היא α, כאשר tan α = 2, כלומר α ≈ 63.43°. הנקודה C נמצאת בכיוון השלילי של ציר ה-x, ולכן ∢AOC היא הזווית הצמודה ל-α:

∢ACO ≈ 18.43° , ∢AOC ≈ 116.57°.

בדיקה קטנה: במשולש ACO הזווית השלישית היא 180° − 18.43° − 116.57° = 45°. זו זווית היקפית שנשענת על הקשת CB, והזווית המרכזית שמולה, ∢CMB, היא אכן 90°: MC פונה שמאלה לאורך ציר ה-x, ו-MB פונה ישר למטה, מ-(−5 , 0) ל-(−5 , −10).

סעיף ד: שטח המשולש ABC

הצלע AB עוברת דרך O (כי y = 2x עובר בראשית), ולכן הקטע CO מחלק את המשולש לשני משולשים, ACO ו-BCO. לשניהם הבסיס CO על ציר ה-x, באורך 15, והגובה של כל אחד הוא המרחק של הקודקוד מציר ה-x:

שטח המשולש ABC הוא 120 יחידות שטח.

סעיף ה: האורך AE

המשולשים EAB ו-CAB חולקים את הקודקוד B, והבסיסים שלהם, AE ו-AC, מונחים על אותו ישר. לכן יש להם אותו גובה מ-B, ויחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

נחשב את AC:

ומכאן:

AE = 3.2√10, כלומר כ-10.12.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ג מחשבים את arctan 2 ועוצרים, ומקבלים 63.43° במקום 116.57°: הזווית AOC נפתחת לעבר C, שנמצאת בצד השלילי של ציר ה-x. בסעיף ה מחפשים את הנקודה E בעזרת משוואות, כשיחס השטחים נותן את התשובה בשורה אחת.

פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה רציונלית עם פרמטר (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (x² + x + a) : x, כאשר a ≠ 0.

סעיף א: תחום ההגדרה והאסימפטוטות

(1) אסור לחלק באפס, ולכן התחום הוא x ≠ 0.

(2) אסימפטוטה אנכית. ב-x = 0 המכנה מתאפס, והמונה שווה ל-a, שאינו אפס. לכן ליד x = 0 הפונקציה שואפת לאינסוף, ו-x = 0 היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית. נחלק כל איבר במונה ב-x:

כש-x גדל מאוד, ax שואף לאפס, אבל x + 1 ממשיך לגדול בלי גבול. הפונקציה לא מתקרבת לשום קו אופקי, ולכן אין אסימפטוטה אופקית. (הסיבה הכללית: מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה.)

סעיף ב: הערך של a

הגרף עובר ב-(2 , 7.5), ולכן f(2) = 7.5:

a = 9.

סעיף ג: נקודות הקיצון (עבור a = 9)

נכתוב f(x) = x + 1 + 9x, ונגזור:

נשווה לאפס:

ערכי הפונקציה:

סוג הנקודות לפי סימן הנגזרת. גם x = 0 נכנס לטבלה, כי שם הפונקציה אינה מוגדרת:

(−3 , −5) נקודת מקסימום, (3 , 7) נקודת מינימום.

שימו לב שהמקסימום נמוך מן המינימום. אין כאן סתירה: הן נמצאות על שני ענפים שונים של הגרף, משני צדי האסימפטוטה.

סעיף ד: סקיצה של f

נאסוף את מה שכבר ידוע, ונוסיף דבר אחד:

• חיתוך עם הצירים. אין חיתוך עם ציר ה-y, כי x = 0 מחוץ לתחום. חיתוך עם ציר ה-x דורש x² + x + 9 = 0, והדיסקרימיננטה 1 − 36 שלילית, ולכן גם אין חיתוך עם ציר ה-x.
• ליד האסימפטוטה. כש-x שואף ל-0 מימין, 9x שואף לפלוס אינסוף. כש-x שואף ל-0 משמאל, 9x שואף למינוס אינסוף.

הסקיצה: שני ענפים. הענף השמאלי (x < 0) עולה מלמטה משמאל עד המקסימום (−3 , −5), ומשם יורד למינוס אינסוף לאורך x = 0. הענף הימני (x > 0) יורד מפלוס אינסוף לאורך x = 0 עד המינימום (3 , 7), ומשם עולה. הענף השמאלי כולו מתחת לציר ה-x, והימני כולו מעליו.

סעיף ה: הפונקציה g

(1) נתון ש-g′(x) = f(x) − 11. הגרף של g′ הוא הגרף של f, מוזז 11 יחידות למטה. כל נקודה יורדת ב-11, והאסימפטוטה האנכית נשארת במקומה:

• המקסימום (−3 , −5) עובר ל-(−3 , −16).
• המינימום (3 , 7) עובר ל-(3 , −4).
• האסימפטוטה האנכית נשארת x = 0.

המינימום של הענף הימני יורד עכשיו מתחת לציר ה-x, ולכן הענף הזה חותך את הציר. נמצא היכן:

הסקיצה של g′: הענף השמאלי כולו מתחת לציר ה-x, עם מקסימום ב-(−3 , −16). הענף הימני יורד מפלוס אינסוף ליד x = 0, חותך את ציר ה-x ב-(1 , 0), מגיע למינימום (3 , −4), עולה, חותך שוב ב-(9 , 0) ונשאר מעל הציר.

(2) נקודות הקיצון של g הן המקומות שבהם g′ מחליפה סימן. את הסימן קוראים מן הסקיצה של g′:

ב-x = 0 הפונקציה g אינה מוגדרת (התחום שלה זהה לתחום של f), ולכן אין שם נקודה.

x = 1 נקודת מקסימום של g, ו-x = 9 נקודת מינימום של g.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ה(2) מחפשים את הקיצון של g בנקודות הקיצון של g′, כלומר עונים x = −3 ו-x = 3. אבל הקיצון של g נמצא היכן ש-g′ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר בחיתוך של הגרף של g′ עם ציר ה-x. בסעיף ג חלק מן התלמידים "מתקנים" את התשובה כי המקסימום נמוך מן המינימום. אין מה לתקן.

שאלה 7, פונקציית שורש (20 נקודות)

הנתונים. f מוגדרת עבור x ≤ 2, והנגזרת f′ מוגדרת עבור x < 2. לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית אחת, מקסימום.

סעיף א: איזה גרף הוא f′

בנקודת מקסימום פנימית הפונקציה עולה ואחר כך יורדת. לכן הנגזרת חיובית לפני הנקודה, מתאפסת בה, ושלילית אחריה. הנגזרת צריכה לעבור מעל ציר ה-x אל מתחתיו.

• גרף I מתחיל מעל ציר ה-x, חותך אותו, וצולל למטה ליד הקו המקווקו. זה בדיוק המעבר מחיובי לשלילי.
• גרף II מתחיל מתחת לציר ה-x ועולה אל מעליו. נגזרת כזאת הייתה נותנת מינימום.

גרף I מתאר את f′(x).

סעיף ב: כל נקודות הקיצון של f(x) = 4x + 2√8 − 4x

נגזור. הנגזרת של √8 − 4x היא −4 : (2√8 − 4x), לפי כלל השרשרת:

נשווה לאפס:

סימן הנגזרת:

לכן (1.75 , 9) היא נקודת מקסימום, כמו שהובטח בנתונים.

המילה כל בשאלה רומזת שיש עוד. התחום סגור ב-x = 2, ושם יש נקודת קצה:

הפונקציה יורדת עד x = 2 ושם נעצרת, ולכן (2 , 8) היא הנקודה הנמוכה ביותר בסביבתה בתוך התחום, כלומר נקודת מינימום בקצה.

(1.75 , 9) נקודת מקסימום, ו-(2 , 8) נקודת מינימום בקצה התחום.

סעיף ג: החיתוך עם ציר ה-x

שורש אינו שלילי, ולכן אפשר להמשיך רק אם −2x ≥ 0, כלומר x ≤ 0. נעלה בריבוע:

x = 1 נפסל, כי הוא חיובי (בהצבה: 4 + 2√4 = 8, לא אפס). נבדוק את x = −2:

נקודת החיתוך עם ציר ה-x היא (−2 , 0). היא אכן בחלק השלילי, כמו שנאמר.

סעיף ד: סקיצה של f

נוסיף את החיתוך עם ציר ה-y:

וכש-x שואף למינוס אינסוף, האיבר 4x שולט, ולכן f שואפת למינוס אינסוף.

הסקיצה: הגרף קיים רק עבור x ≤ 2. הוא עולה מלמטה משמאל, חותך את ציר ה-x ב-(−2 , 0) ואת ציר ה-y ב-(0 , 4√2), מגיע למקסימום (1.75 , 9), ויורד קצת אל נקודת הקצה (2 , 8), שבה הוא נעצר.

סעיף ה: השטח בין g לצירים

היכן g מתאפסת. g מתאפסת בדיוק היכן ש-f′ מתאפסת, ב-x = 1.75.

מה הסימן בין הצירים לנקודה הזאת. בין x = 0 ל-x = 1.75 הנגזרת f′ חיובית (סעיף ב), ולכן g = −3f′ שלילית. השטח המבוקש נמצא מתחת לציר ה-x, בין x = 0 ל-x = 1.75. למשל g(0) = −12 + 12√8 ≈ −7.76.

החישוב. כאן יש קיצור יפה: פונקציה קדומה של g היא −3f, כי הנגזרת של −3f היא −3f′ = g. אין צורך לחפש קדומה לביטוי עם השורש. השטח מתחת לציר הוא מינוס האינטגרל:

השטח הוא 27 − 12√2, כלומר כ-10.03 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף ב מסתפקים במקסימום ושוכחים את נקודת הקצה (2 , 8), למרות שהשאלה אומרת "כל". בסעיף ג מעלים בריבוע ולא בודקים את שני הפתרונות, ומשאירים את x = 1. בסעיף ה מקבלים מספר שלילי, 12√2 − 27, ומגישים אותו כשטח: שטח הוא תמיד חיובי.

שאלה 8, פונקציה רציונלית ובעיית קיצון (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (x + 2) : (x − 4). A על הגרף ברביע הראשון, C על ציר ה-x מתחת ל-A (AC מקביל לציר ה-y), ו-B היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-x.

סעיף א: תחום ואסימפטוטות

(1) המכנה מתאפס ב-x = 4, ולכן התחום הוא x ≠ 4.

(2) אנכית: ב-x = 4 המכנה אפס והמונה 6, לא אפס, ולכן x = 4.

אופקית: מעלת המונה שווה למעלת המכנה, ולכן האסימפטוטה האופקית היא היחס בין המקדמים של x: 1 : 1. כלומר y = 1.

סעיף ב: הנקודה B

החיתוך עם ציר ה-x הוא היכן שהמונה מתאפס:

B(−2 , 0).

סעיף ג: המשולש ABC בעל השטח הקטן ביותר

(1) נסמן ב-t את שיעור ה-x של A. אז A(t , t + 2t − 4) ו-C(t , 0).

מהו התחום של t. A ברביע הראשון, ולכן t > 0 וגם f(t) > 0. בין 0 ל-4 המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן f שלילית שם. לכן t > 4 (כמו בסרטוט, A מימין לאסימפטוטה).

השטח כפונקציה של t. הזווית C ישרה, כי AC אנכי ו-BC על ציר ה-x. הניצבים:

הנגזרת. לפי כלל המנה:

נוציא 2(t + 2) מן המונה:

נשווה לאפס: t = −2 או t = 10. רק t = 10 בתחום t > 4.

ב-t = 10 השטח עובר מירידה לעלייה, ולכן זה מינימום.

A(10 , 2).

(2) הניצבים הם BC = 12 ו-AC = 2:

השטח המינימלי הוא 12 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 8. כותבים BC = t − 2 במקום t + 2, כלומר מחסירים את שיעור ה-x של B בלי לשים לב שהוא שלילי. וחלק מן התלמידים לא קובעים את התחום t > 4, ואז לא ברור למה לפסול את t = −2.

התשובות בקצרה