התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35471 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ו · 2026
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות
שאלה 1 20 נקודות
התפלגות נורמלית: סטיית תקן, אחוזים, מספר הפריטים וממוצע
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | σ = 20 ס"מ |
| ב(1) | 21.2% |
| ב(2) | 20,790 צמחים (מתוך 45,000 צמחים בסך הכול) |
| ג | μ = 87 ס"מ |
שאלה 2 20 נקודות
מתאם ורגרסיה לינארית, והשפעה של הגדלה באחוזים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x̄ = 20 אלף שקלים |
| א(2) | sₓ = √50 = 5√2 ≈ 7.07 אלף שקלים |
| ב | r = 121 : (80√3) ≈ 0.873 |
| ג(1) | y = 2.42x − 17.4 |
| ג(2) | 40.68 אלף שקלים (40,680 שקלים) |
| ד(I) | לא נכון. סטיית התקן החדשה היא 1.15 × 8√6 = 9.2√6 ≈ 22.54, ולא 10√6 ≈ 24.49 |
| ד(II) | לא נכון. r ו-sₓ לא השתנו ו-sy גדלה פי 1.15, ולכן גם השיפוע גדל פי 1.15, מ-2.42 ל-2.783 |
| ד(III) | נכון. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, ואחרי השינוי x̄ = 20 ו-ȳ = 1.15 × 31 = 35.65 |
שאלה 3 20 נקודות
הסתברות: עץ הסתברויות והסתברות מותנית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 0.2 |
| ב | 0.32 |
| ג(1) | 0.63 |
| ג(2) | 1621 ≈ 0.762 |
| ד | קטן. בבית אריזה א' הגדולים הם 1621 ≈ 76.2% מן הפלפלים, ובבית אריזה ב' הם 3237 ≈ 86.5% |
פרק שני: גאומטרייה
שאלה 4 20 נקודות
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: ישרים מאונכים, זוויות ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | y = 0.5x + 13 |
| א(2) | C(10 , 18) |
| ב(1) | AB = √180 = 6√5 ≈ 13.42 |
| ב(2) | B(−8 , 0) |
| ג | ∢ABD ≈ 63.43° (tan = 2), ∢CBD = 45° |
| ד | 54 יחידות שטח |
שאלה 5 20 נקודות
משולש חסום במעגל, משיק ודמיון משולשים במערכת צירים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | CB קוטר, ולכן ∢CAB = 90° (זווית היקפית שנשענת על קוטר). AC מאונכת ל-AB, ו-AB מקבילה לציר ה-y, ולכן AC מאונכת לציר ה-y ומקבילה לציר ה-x |
| א(2) | הוכחה: ∢BAC = ∢FCD = 90° (המשיק מאונך לרדיוס, ו-CD היא המשך הקוטר CB), ו-∢ACB = ∢CDF (זוויות מתחלפות, AC ∥ FD). לכן △ABC ∼ △CFD לפי ז.ז. (A↔C, B↔F, C↔D) |
| ב | FD = 31.25 |
| ג(1) | y = −0.75x + 6 |
| ג(2) | CD = 25 |
| ד | 24 (הצלעות AB = 6, AC = 8, BC = 10) |
פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 20 נקודות
פונקציה רציונלית: חקירה, וגרף של הערך המוחלט שלה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | y = −1 |
| ב | (0 , 7) , (3 , 0) , (−21 , 0) |
| ג(1) | (−1 , 8) מקסימום, (9 , −2) מינימום |
| ג(2) | עולה: x < −1 וגם x > 9. יורדת: −1 < x < 9 |
| ד | סקיצה: מתקרבת ל-y = −1 מלמעלה משמאל, עולה דרך (−21 , 0) עד המקסימום (−1 , 8), יורדת דרך (0 , 7) ו-(3 , 0) עד המינימום (9 , −2), ואז עולה אל y = −1 מלמטה |
| ה(1) | y = 1 |
| ה(2) | גרף IV. האסימפטוטה y = 1 (לא 0, ולכן לא I ולא II), הגרף נוגע בציר ה-x פעמיים (x = −21 ו-x = 3), והמקסימום (−1 , 8) משמאל לציר ה-y (ב-III הוא מימין) |
שאלה 7 20 נקודות
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x ≥ 2 |
| ב | a = 8 |
| ג | (2 , 0) , (8 , 0) |
| ד | (4 , 4√6) ≈ (4 , 9.80) מקסימום, (2 , 0) מינימום בקצה התחום |
| ה | סקיצה: מתחילה ב-(2 , 0), עולה עד (4 , 4√6), יורדת דרך (8 , 0) ושואפת למינוס אינסוף |
| ו(1) | גרף I. f′(x) = 9(4 − x) : (2√3x − 6) חיובית ל-2 < x < 4, מתאפסת רק ב-x = 4 ושלילית ל-x > 4, ושואפת לפלוס אינסוף כש-x מתקרב ל-2 |
| ו(2) | 40√6 ≈ 97.98 יחידות שטח |
שאלה 8 20 נקודות
בעיית קיצון: יחס בין שטחים של שני מלבנים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | AD = 16 − x |
| א(2) | S(ABCD) = x(16 − x) = 16x − x² |
| ב | (16x − x²) : (7(x + 2)) = (16x − x²) : (7x + 14), 0 < x < 16 |
| ג | x = 4 מטרים (היחס המקסימלי 87) |