מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1 עד 3), גאומטרייה (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8). עונים על חמש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 20 נקודות, וחמש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מחמש, נבדקות לו רק חמש התשובות הראשונות שבמחברת, ולכן כדאי להחליט מראש על אילו שאלות מוותרים. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שלוש שעות וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות

שאלה 1, התפלגות נורמלית (20 נקודות)

הנתונים. נסמן ב-X את אורך הגבעול של צמח במשתלה, בסנטימטרים. X מתפלג נורמלית. בשנה הראשונה הממוצע הוא μ = 64. צמח שהגבעול שלו קצר מ-55 ס"מ נמכר לחנויות מקומיות, ו-32.6% מן הצמחים נמכרו כך. צמח שהגבעול שלו ארוך מ-80 ס"מ נשלח לייצוא, ונשלחו 9,540 צמחים.

בכל השאלה נעבור בין אורך לציון תקן בנוסחה שבדפי הנוסחאות:

ונקרא הסתברויות בטבלת ההתפלגות הנורמלית שבדפי הנוסחאות. הטבלה נותנת את P(Z < z₀), כלומר את החלק שנמצא מתחת לציון התקן z₀.

סעיף א: סטיית התקן

ידוע ש-P(X < 55) = 0.326. הפעם ההסתברות ידועה, ולכן מחפשים אותה בגוף הטבלה: 0.3260 רשום בשורה −0.4, בעמודה 5. ציון התקן של 55 הוא אפוא z = −0.45. הוא שלילי, וזה הגיוני: 55 קטן מן הממוצע 64.

סטיית התקן של אורכי הגבעולים היא 20 ס"מ.

סעיף ב: הייצוא

(1) ציון התקן של 80:

ומן הטבלה P(Z < 0.8) = 0.788. לייצוא נשלחים הצמחים שמעל 80, כלומר המשלים:

21.2% מן הצמחים נשלחו לייצוא.

(2) קודם נמצא כמה צמחים היו במשתלה. נסמן ב-N את מספר הצמחים:

הצמחים שלא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות הם אלה שהגבעול שלהם בין 55 ל-80 ס"מ. זה השטח שבין שני ציוני התקן:

על פי הטבלה, 20,790 צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות.

בדיקה בדרך אחרת: לחנויות נמכרו 0.326 × 45,000 = 14,670 צמחים, ולכן 45,000 − 14,670 − 9,540 = 20,790.

סעיף ג: הממוצע בשנה שלאחר מכן

עכשיו σ = 25, והממוצע μ אינו ידוע. מתוך 40,000 צמחים נמכרו לחנויות 4,000:

בגוף הטבלה 0.1000 רשום בשורה −1.2, בעמודה 8, ולכן ציון התקן של 55 הוא z = −1.28. גם כאן הוא שלילי: רק 10% מן הצמחים קצרים מ-55, ולכן 55 נמצא הרבה מתחת לממוצע.

האורך הממוצע של הגבעולים בשנה זו הוא 87 ס"מ.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א מחפשים את 0.326 בעמודת ה-z במקום בגוף הטבלה, או שוכחים שציון התקן שלילי ומקבלים σ שלילית. בסעיף ב(2) מכפילים את 0.462 ב-9,540 במקום לחשב קודם את מספר כל הצמחים. ובסעיף ג לוקחים z = 1.28 בלי סימן המינוס, ומקבלים ממוצע 23, שהוא קטן מ-55: סימן ברור שמשהו התהפך.

שאלה 2, מתאם ורגרסיה (20 נקודות)

הנתונים. x היא ההוצאה על פרסום ו-y היא ההכנסה, שתיהן באלפי שקלים, בחמש חברות:

סעיף א: הממוצע וסטיית התקן של x

(1)

ממוצע ההוצאות על פרסום הוא 20 אלף שקלים.

(2) הסטיות מן הממוצע הן −10, −5, 0, 5, 10, והריבועים שלהן 100, 25, 0, 25, 100. בדפי הנוסחאות מחלקים במספר התצפיות:

סטיית התקן של ההוצאות היא √50, כ-7.07 אלף שקלים.

סעיף ב: מקדם המתאם

נתונים ȳ = 31 ו-s_y = 8√6 ≈ 19.6. נכתוב טבלה של הסטיות ושל המכפלות:

ולפי הנוסחה שבדפי הנוסחאות:

r ≈ 0.873. זה מתאם חיובי חזק: חברה שמוציאה יותר על פרסום מכניסה, בדרך כלל, יותר.

בדיקה קטנה לנתון: הסטיות של y נותנות Σ(y − ȳ)² = 225 + 196 + 121 + 9 + 1369 = 1920, ו-1920 : 5 = 384, וזה בדיוק (8√6)² = 64 × 6. הנתון מתאים לטבלה.

סעיף ג: ישר הרגרסיה והניבוי

(1) השיפוע לפי דפי הנוסחאות:

נשים לב ש-8√6 : 5√2 = 8√3 : 5, והשורש מצטמצם:

הישר עובר בנקודת הממוצעים (20 , 31):

ישר הרגרסיה הוא y = 2.42x − 17.4.

כדאי לעבוד כאן עם הערך המדויק של r ולא עם 0.873. בעיגול השיפוע יוצא 2.419 בערך, והפרש קטן כזה מתגלגל לסעיף הבא.

(2) נציב x = 24:

הניבוי הוא 40.68 אלף שקלים, כלומר 40,680 שקלים.

סעיף ד: ההכנסות גדלו ב-15%

כל הכנסה גדלה ב-15%, כלומר כל ערך של y מוכפל ב-1.15. ערכי x לא השתנו.

I. לא נכון. כשכל ערך מוכפל ב-1.15, גם הממוצע מוכפל ב-1.15, ולכן כל סטייה מן הממוצע מוכפלת ב-1.15, וגם סטיית התקן:

ואילו 10√6 ≈ 24.49. (10√6 הייתה מתקבלת רק אם ההכנסות היו גדלות ב-25%, כי 10 : 8 = 1.25.)

II. לא נכון. בנוסחה m = r × s_y : sₓ:

• r לא משתנה. הכפלה במספר חיובי אינה משנה את חוזק הקשר ולא את כיוונו.
• sₓ לא משתנה, כי ההוצאות לא השתנו.
• s_y גדלה פי 1.15 (היגד I).

לכן גם השיפוע גדל פי 1.15:

III. נכון. ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים (x̄ , ȳ). אחרי השינוי x̄ = 20 כמו קודם, והממוצע של ההכנסות:

כלומר הנקודה (20 , 35.65) היא נקודת הממוצעים החדשה, והיא על הישר.

בדיקה: הישר החדש הוא y − 35.65 = 2.783(x − 20), ובהצבת x = 20 מקבלים בדיוק y = 35.65.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א(2) מחלקים ב-4 במקום ב-5. בדפי הנוסחאות סטיית התקן מחושבת בחלוקה במספר התצפיות. בהיגד II עונים "נכון, כי r לא השתנה", ושוכחים ש-s_y נמצאת במונה של נוסחת השיפוע. ובהיגד III מנסים להציב בישר הישן, במקום לזהות את נקודת הממוצעים החדשה.

שאלה 3, הסתברות (20 נקודות)

הנתונים. במשק יש פלפלים גדולים ופלפלים קטנים, ומספר הגדולים גדול פי 4 ממספר הקטנים. הגדולים הם אדומים או צהובים, והקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.6 מן הגדולים אדומים, ו-0.75 מן הקטנים אדומים.

סעיף א: פלפל קטן

נסמן ב-p את ההסתברות לפלפל קטן. לפלפל גדול ההסתברות 4p, והסכום הוא 1:

ההסתברות שהפלפל קטן היא 0.2 (ולכן ההסתברות לפלפל גדול היא 0.8).

סעיף ב: פלפל גדול צהוב

נבנה עץ: בשלב הראשון גודל, בשלב השני צבע.

• גדול (0.8): אדום 0.6, צהוב 0.4.
• קטן (0.2): אדום 0.75, ירוק 0.25.

ההסתברות היא 0.32.

סעיף ג: פלפל אדום

(1) לאדום מגיעים בשני ענפים:

ההסתברות שהפלפל אדום היא 0.63.

(2) ידוע שהפלפל אדום, ולכן מחלקים ב-P(אדום):

ההסתברות היא 1621, כ-0.762.

סעיף ד: שני בתי האריזה

נרכז את כל ההסתברויות בטבלה:

בית אריזה א' מקבל את כל האדומים. החלק של הגדולים בו הוא בדיוק התשובה לסעיף ג(2):

בית אריזה ב' מקבל את הצהובים ואת הירוקים: 0.32 + 0.05 = 0.37 מכל הפלפלים. כל הצהובים גדולים וכל הירוקים קטנים, ולכן:

אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א' (כ-76.2%) קטן מאחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה ב' (כ-86.5%).

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א עונים 0.25, כלומר מחלקים 1 ב-4 במקום ב-5. בסעיף ג(2) מחלקים ב-0.8 (הגדולים) במקום ב-0.63 (האדומים), כלומר מבלבלים מה ידוע ומה שואלים. ובסעיף ד משווים את 0.48 ל-0.32 ושוכחים שמדובר באחוז בתוך כל בית אריזה, ולכן צריך לחלק כל מספר בסך הפלפלים שבאותו בית.

פרק שני: גאומטרייה

שאלה 4, משולש שווה שוקיים במערכת צירים (20 נקודות)

הנתונים. משולש ABC שווה שוקיים, AB = AC. B על החלק השלילי של ציר ה-x. D על ציר ה-x, ו-CD ⊥ AC. E(4 , 15) אמצע AC. משוואת CD היא y = −2x + 38.

סעיף א: הישר AC והקודקוד C

(1) AC מאונך ל-CD. מכפלת השיפועים של שני ישרים מאונכים היא −1, ושיפוע CD הוא −2:

הישר AC עובר באמצע הצלע, E(4 , 15):

משוואת הישר AC היא y = 0.5x + 13.

(2) C נמצא גם על AC וגם על CD:

C(10 , 18).

סעיף ב: הצלע AB והקודקוד B

(1) קודם נמצא את A. E אמצע AC, ולכן:

המשולש שווה שוקיים, ולכן AB = AC:

AB = √180 = 6√5 ≈ 13.42.

(2) B על ציר ה-x, ולכן B(b , 0), ונתון b < 0. נדרוש AB² = 180:

B על החלק השלילי של ציר ה-x, ולכן b = −8.

B(−8 , 0).

(הפתרון b = 4 הוא נקודה אמיתית על ציר ה-x שמרחקה מ-A גם הוא √180, אבל היא על החלק החיובי.)

סעיף ג: הזוויות ABD ו-CBD

נמצא קודם את D, החיתוך של CD עם ציר ה-x:

D מימין ל-B, ולכן הקרן BD היא הכיוון החיובי של ציר ה-x. הזווית שבין BD לבין קרן אחרת היוצאת מ-B היא זווית השיפוע של הקרן הזאת, ו-tan שלה הוא השיפוע.

∢ABD ≈ 63.43°, ∢CBD = 45°.

סעיף ד: שטח המשולש ABC

הקרן BC נמצאת בין BA לבין BD, ולכן:

נחשב את BC:

ונשתמש בנוסחת השטח לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:

שטח המשולש ABC הוא 54 יחידות שטח.

בדיקה בלי זוויות: CD ⊥ AC, ולכן משולש ACD ישר זווית ב-C. נחשב CD = √(19 − 10)² + 18² = √405 = 9√5. המרובע ABDC מתחלק באלכסון AD למשולשים ABD ו-ACD, ובאלכסון BC למשולשים ABC ו-BCD:

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א(1) לוקחים לשיפוע של AC את −2 או את −12. ההופכי הנגדי של −2 הוא 12. בסעיף ב(2) משאירים את שני הפתרונות, או בוחרים ב-(4 , 0), ושוכחים ש-B על החלק השלילי. ובסעיף ד מחשבים ½ × AB × BC בלי הסינוס, כאילו הזווית B ישרה.

שאלה 5, משולש חסום במעגל ומשיק (20 נקודות)

הנתונים. משולש ABC חסום במעגל, ו-CB קוטר. AB מקבילה לציר ה-y. המשך CB חותך את ציר ה-x ב-D. המשיק למעגל ב-C חותך את ציר ה-x ב-F.

סעיף א: מקבילות ודמיון

(1) CB קוטר, ו-A נקודה על המעגל. זווית היקפית שנשענת על קוטר היא זווית ישרה, ולכן ∢CAB = 90°, כלומר AC ⊥ AB.

AB מקבילה לציר ה-y, ולכן AC מאונכת גם לציר ה-y. גם ציר ה-x מאונך לציר ה-y. שני ישרים שמאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה, ולכן AC מקבילה לציר ה-x.

(2) נשווה זוויות במשולשים ABC ו-CFD:

• ∢BAC = 90° (סעיף א(1)).
• ∢FCD = 90°. המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. הרדיוס ל-C מונח על הקוטר CB, ו-CD היא ההמשך של CB, ולכן CF ⊥ CD.
• ∢ACB = ∢CDF. AC מקבילה לציר ה-x (סעיף א(1)), כלומר AC ∥ FD, ו-CD חותך את שני הישרים. אלה זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, ולכן הן שוות. (B על CD, ולכן ∢ACB היא בדיוק הזווית שבין CA ל-CD.)

שתי זוויות שוות, ולפי משפט הדמיון ז.ז. △ABC ∼ △CFD, בהתאמה A ↔ C, B ↔ F, C ↔ D.

סעיף ב: אורך FD

F על ציר ה-x, ולכן נציב y = 0 במשוואת המשיק:

D(8 , 0) ו-F שתיהן על ציר ה-x:

FD = 31.25.

סעיף ג: הצלע CD

(1) CD ⊥ CF (סעיף א(2)), ושיפוע המשיק CF הוא 43. לכן שיפוע CD הוא ההופכי הנגדי, −34. הישר עובר ב-D(8 , 0):

משוואת CD היא y = −0.75x + 6.

(2) C היא החיתוך של CD עם המשיק:

CD = 25.

סעיף ד: היקף המשולש ABC

יחס ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון. נחשב את היקף CFD. חסרה לנו הצלע CF, והמשולש ישר זווית ב-C, ולכן לפי משפט פיתגורס:

(אותו דבר בשיעורים: CF = √11.25² + 15² = 18.75.)

יחס הדמיון בין ABC ל-CFD הוא 825, כלומר ABC הוא הקטן:

היקף המשולש ABC הוא 24.

בדיקה לפי ההתאמה שבסעיף א(2): AB = 825 × CF = 6, AC = 825 × CD = 8, BC = 825 × FD = 10. אכן 6² + 8² = 10², והסכום 24. בשיעורים: A(−4 , 15) ו-B(−4 , 9), ו-B אכן על הישר CD, כי −0.75 × (−4) + 6 = 9.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(2) מחפשים זווית ישרה ב-F או ב-D. הזווית הישרה ב-CFD היא ב-C, והיא באה מן המשיק. בסעיף ג(1) לוקחים ל-CD את השיפוע של המשיק עצמו. ובסעיף ד הופכים את היחס ומקבלים 75 × 258, משולש גדול מ-CFD, אף על פי שבסרטוט ABC הוא הקטן.

פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה רציונלית וערך מוחלט (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (72 − 18x) : (x² + 9) − 1, מוגדרת לכל x (המכנה x² + 9 חיובי תמיד).

סעיף א: האסימפטוטה האופקית

במונה של השבר יש x בחזקה ראשונה, ובמכנה x². כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, המכנה גדל הרבה יותר מהר, והשבר שואף ל-0. לכן f(x) שואפת ל-0 − 1 = −1.

האסימפטוטה האופקית היא y = −1.

סעיף ב: חיתוך עם הצירים

ציר ה-y (x = 0):

ציר ה-x (f(x) = 0):

(0 , 7), (3 , 0), (−21 , 0).

סעיף ג: קיצון, עלייה וירידה

(1) נגזור את השבר לפי כלל המנה. הקבוע −1 נעלם בגזירה:

המכנה חיובי תמיד, ולכן הנגזרת מתאפסת רק כשהמונה מתאפס:

והסימן שלה נקבע לפי (x − 9)(x + 1):

• ב-x = −1 עלייה הופכת לירידה: מקסימום (−1 , 8).
• ב-x = 9 ירידה הופכת לעלייה: מינימום (9 , −2).

(2) מן הטבלה:

f עולה בתחומים x < −1 ו-x > 9, ויורדת בתחום −1 < x < 9.

סעיף ד: סקיצה

נאסוף את מה שידוע:

• משמאל: כש-x שלילי וגדול בערכו המוחלט, השבר חיובי (72 − 18x > 0), ולכן f(x) גדולה מעט מ-−1. הגרף מתקרב לאסימפטוטה y = −1 מלמעלה.
• הגרף עולה, חוצה את ציר ה-x ב-(−21 , 0) וממשיך לעלות עד המקסימום (−1 , 8).
• מן המקסימום הוא יורד, עובר ב-(0 , 7), חוצה את ציר ה-x ב-(3 , 0), חוצה את האסימפטוטה בנקודה (4 , −1) (שם המונה 72 − 18x מתאפס) ויורד עד המינימום (9 , −2).
• מימין ל-9 הגרף עולה שוב. ל-x > 4 השבר שלילי, ולכן f(x) < −1, והגרף מתקרב ל-y = −1 מלמטה.

סעיף ה: הפונקציה g(x) = |f(x)|

(1) כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, f(x) שואפת ל-−1, ולכן |f(x)| שואפת ל-|−1| = 1.

האסימפטוטה האופקית של g היא y = 1.

(2) הגרף של |f| הוא הגרף של f, כשכל חלק שמתחת לציר ה-x משתקף אל מעליו. נסתכל על מה שזה עושה ל-f שלנו:

• f שלילית ל-x < −21 ול-x > 3. שם g = −f.
• g מתאפסת, כלומר נוגעת בציר ה-x, בשתי נקודות: x = −21 ו-x = 3.
• המקסימום (−1 , 8) נשאר במקומו, משמאל לציר ה-y, ו-g(0) = 7 נמוך ממנו מעט. כלומר ציר ה-y חותך את הגרף כשהוא כבר יורד.
• המינימום (9 , −2) של f הופך ל"גבעה" (9 , 2) של g, ומשם g יורדת אל y = 1 מלמעלה.
• בקצה השמאלי g = −f בין 0 ל-1, ולכן הגרף מתקרב ל-y = 1 מלמטה.

עכשיו נעבור על הגרפים:

• גרפים I ו-II מתקרבים בשני הקצוות לציר ה-x, כלומר האסימפטוטה שלהם y = 0, והם נוגעים בציר ה-x פעם אחת בלבד. הם אינם g.
• גרף III נראה דומה, אבל הפסגה שלו מימין לציר ה-y: ציר ה-y חותך אותו כשהוא עדיין עולה. אצל g הפסגה ב-x = −1.
• גרף IV: אסימפטוטה מקווקוות מעל ציר ה-x, שתי נקודות השקה בציר ה-x (אחת רחוק משמאל, אחת מעט מימין לראשית), והפסגה מעט משמאל לציר ה-y.

הגרף של g הוא גרף IV.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף א עונים y = 0, ושוכחים את ה-−1 שמחוץ לשבר. בסעיף ג(1) טועים בסימן אחרי פתיחת הסוגריים במונה של כלל המנה; כדאי לבדוק את הנגזרת בנקודה אחת, למשל f′(0) = −162 : 81 = −2 < 0, ואכן f יורדת ב-0. ובסעיף ה(2) בוחרים בגרף III, כי הוא "נראה טוב", בלי לבדוק באיזה צד של ציר ה-y נמצאת הפסגה.

שאלה 7, פונקציית שורש עם פרמטר (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (a − x) × √3x − 6, ו-a פרמטר.

סעיף א: תחום ההגדרה

מתחת לשורש צריך מספר אי-שלילי:

תחום ההגדרה: x ≥ 2.

סעיף ב: הערך של a

הנקודה (5 , 9) על הגרף, ולכן f(5) = 9:

a = 8. מעכשיו f(x) = (8 − x) × √3x − 6.

סעיף ג: חיתוך עם ציר ה-x

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס:

(2 , 0) ו-(8 , 0).

סעיף ד: נקודות הקיצון

נגזור לפי כלל המכפלה. לפי דפי הנוסחאות, (√3x − 6)′ = 3 : (2√3x − 6):

נכנס למכנה משותף 2√3x − 6:

הנגזרת מוגדרת ל-x > 2, והיא מתאפסת כשהמונה מתאפס: x = 4. המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי 4 − x:

• ב-x = 4 עלייה הופכת לירידה: מקסימום.

• ב-x = 2, קצה התחום: f(2) = 0, ומימין לה הפונקציה עולה, כלומר הערכים הסמוכים גדולים מ-0. זה מינימום בקצה התחום, (2 , 0).

מקסימום (4 , 4√6) ≈ (4 , 9.80), ומינימום בקצה התחום (2 , 0).

סעיף ה: סקיצה

• הגרף מתחיל בנקודה (2 , 0). שם f′ שואפת לאינסוף, ולכן הגרף יוצא מן הנקודה כמעט אנכית.
• הוא עולה עד המקסימום (4 , 9.80).
• משם הוא יורד, חוצה את ציר ה-x ב-(8 , 0) וממשיך לרדת. כש-x גדל, הגורם (8 − x) שלילי וגדל בערכו, וגם השורש גדל, ולכן f שואפת למינוס אינסוף.
• משמאל ל-x = 2 אין גרף.

סעיף ו: גרף הנגזרת והשטח

(1) f′(x) = 9(4 − x) : (2√3x − 6), בתחום x > 2. מסעיף ד:

• ל-2 < x < 4 הנגזרת חיובית (f עולה).
• ב-x = 4 היא מתאפסת, וזו נקודת האפס היחידה שלה.
• ל-x > 4 היא שלילית (f יורדת).
• כש-x מתקרב ל-2 מימין, המונה שואף ל-18 והמכנה ל-0 מצד חיובי, ולכן f′ שואפת לפלוס אינסוף. הישר x = 2 הוא אסימפטוטה אנכית של f′.

נעבור על הגרפים:

• גרף I: מתחיל גבוה ליד האסימפטוטה, יורד, חוצה את ציר ה-x פעם אחת ונשאר מתחתיו. מתאים בדיוק.
• גרף II: מתחיל במינוס אינסוף ועובר לחיובי. זו נגזרת של פונקציה שיורדת ואחר כך עולה, ההפך מ-f.
• גרפים III ו-IV חוצים את ציר ה-x פעמיים, כלומר יש להם שתי נקודות אפס, ול-f′ יש רק אחת.

הגרף של f′ הוא גרף I.

(2) השטח המוגבל על ידי גרף f′, ציר ה-x והישר x = 20 נמצא בין נקודת החיתוך של f′ עם ציר ה-x, x = 4, לבין x = 20. בתחום הזה f′ שלילית, והגרף מתחת לציר ה-x, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

הפונקציה f היא פונקציה קדומה של f′, ולכן אין צורך לבצע אינטגרציה:

השטח הוא 40√6, כ-97.98 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף ד שוכחים את נקודת הקצה (2 , 0), ובשאלה כתוב במפורש "כל נקודות הקיצון". בסעיף ו(1) בוחרים בגרף שנראה כמו f עצמה (גרף III), במקום לבדוק את סימן הנגזרת. ובסעיף ו(2) מחשבים f(20) − f(4) ומקבלים מספר שלילי; שטח הוא תמיד חיובי, וכשהגרף מתחת לציר ה-x הופכים את הסימן.

שאלה 8, בעיית קיצון: יחס בין שטחים (20 נקודות)

הנתונים. שני מלבנים: ABCD (הדשא) ו-BFGH (המתקנים). AB = x, GF = 7 מטרים, BF = x + 2. היקף ABCD הוא 32 מטרים.

סעיף א: הצלע AD והשטח של ABCD

(1) היקף מלבן הוא פעמיים סכום שתי צלעות סמוכות:

AD = 16 − x.

(2)

שטח ABCD הוא 16x − x² מ"ר.

סעיף ב: היחס בין השטחים

שתי הצלעות של ABCD חיוביות, ולכן x > 0 ו-16 − x > 0, כלומר 0 < x < 16.

היחס הוא (16x − x²) : (7x + 14), בתחום 0 < x < 16.

סעיף ג: היחס המקסימלי

נגזור לפי כלל המנה:

נפתח את המונה:

הנגזרת מתאפסת ב-x = 4 או ב-x = −8, ורק x = 4 בתחום. נבדוק את הסימן (המכנה חיובי, ו-x + 8 חיובי בכל התחום):

היחס מקסימלי כאשר x = 4 מטרים, ואז היחס הוא 87.

בדיקה מול הסרטוט: ב-x = 4 הצלע AD = 12 ארוכה מ-GF = 7, ולכן H אכן נמצאת על הצלע BC, כמו בסרטוט. המלבנים: ABCD של 4 על 12 (שטח 48), BFGH של 6 על 7 (שטח 42).

איפה נופלים בשאלה 8. בסעיף א(1) כותבים AD = 32 − x, כלומר שוכחים שבהיקף כל צלע נספרת פעמיים. בסעיף ב לוקחים לשטח BFGH את 7x, עם AB במקום BF. ובסעיף ג טועים בסימן בפתיחת המונה של כלל המנה; כדאי לבדוק את התשובה בהצבה: R(3) = 39 : 35 ו-R(5) = 55 : 49, ושניהם קטנים מ-87.

התשובות בקצרה