התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35471 · חורף · תשפ״ו · 2026
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות
שאלה 1 20 נקודות
התפלגות נורמלית: סטיית תקן, ציון סף ואחוזי נבחנים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | σ = 85 |
| ב | לא. ציון התקן של יעל 0.2 והציון שלה 567, נמוך מציון הסף 584 (ציון תקן 0.4) |
| ג(1) | 8.1% |
| ג(2) | 26.4% |
| ד | 2,592 נבחנים (מתוך 32,000 נבחנים בסך הכול) |
שאלה 2 20 נקודות
מתאם ורגרסיה לינארית, והשפעה של הכפלת נתונים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x̄ = 25 מעלות |
| א(2) | sₓ = √353 ≈ 3.42 מעלות |
| ב | r ≈ 0.973 |
| ג | y ≈ 0.163x − 1.671 |
| ד | I. הממוצע גדל (פי 3, ל-7.2 ליטרים). II. סטיית התקן גדלה (פי 3, ל-7√610 ≈ 1.71 ליטרים) |
| ה | השיפוע ≈ 0.489 (פי 3 מן השיפוע הקודם, כי r ו-sₓ לא השתנו ו-sy גדלה פי 3) |
שאלה 3 20 נקודות
הסתברות: טבלה דו-ממדית, הסתברות מותנית ואיחוד
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | 72% |
| א(2) | 40% |
| ב | 0.6 |
| ג | 13 |
| ד | 690 משפחות |
פרק שני: גאומטרייה
שאלה 4 20 נקודות
משולש חסום במעגל, דמיון משולשים ומשיק במערכת צירים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | הוכחה: ∢ABC = 90° (זווית היקפית על הקוטר AC), ולכן ∢ABO + ∢CBE = 90°. במשולש BEC ∢BCE + ∢CBE = 90°. מכאן ∢ABO = ∢BCE |
| א(2) | הוכחה: ∢AOB = ∢BEC = 90° ו-∢ABO = ∢BCE, ולכן △AOB ∼ △BEC לפי ז.ז. (A↔B, O↔E, B↔C) |
| ב(1) | BE = 36 |
| ב(2) | C(45 , 27) |
| ג | y = −3x + 162 |
| ד | 945 יחידות שטח |
שאלה 5 20 נקודות
דלתון במערכת צירים: אלכסונים, זווית ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | AB = 5 |
| א(2) | C(−5 , 6) |
| ב | y = 0.5x + 6 |
| ג | D(−18 , −3) |
| ד | ∢ADM ≈ 8.13° (tan ∢ADM = 17) |
| ה | 17.5 יחידות שטח |
פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 20 נקודות
פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | a = 12 |
| ב(1) | (0 , 0.75). אין חיתוך עם ציר ה-x |
| ב(2) | x = 4 , y = 0 |
| ב(3) | עולה: x < 4. יורדת: x > 4 |
| ג | סקיצה: שני ענפים מעל ציר ה-x משני צדי האסימפטוטה x = 4, שואפים ל-y = 0 בקצוות, עוברים ב-(0 , 0.75) |
| ד(1) | גרף III |
| ד(2) | 11.25 יחידות שטח |
| ה | גדול ב-6 יחידות שטח (∫₀³ 2 dx = 6) |
שאלה 7 20 נקודות
פונקציית שורש: חקירה והזזה אופקית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≤ 7 |
| א(2) | (0 , 0) , (7 , 0) |
| א(3) | (0 , 0) מינימום, (5.6 , 37.11) מקסימום (בדיוק 784√35125), (7 , 0) מינימום בקצה התחום |
| ב | סקיצה: יורדת מפלוס אינסוף אל (0 , 0), עולה אל (5.6 , 37.11), יורדת אל (7 , 0) ונעצרת. f ≥ 0 |
| ג(1) | a = −3 |
| ג(2) | x ≤ 10 |
שאלה 8 20 נקודות
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות ובעיית קיצון של היקף מלבן
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≠ 8 |
| א(2) | x = 8 , y = 6 |
| ב | A(2 , 0) |
| ג | P(t) = 2(t − 2) + 2(6t − 12)t − 8 = 2t + 8 + 72t − 8, t > 8 |
| ד | t = 14 (ההיקף המינימלי 48) |
| ה | כן. ההיקף המינימלי 48 < 50, וההיקף 50 מתקבל ב-t = 12 או ב-t = 17 |