מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1 עד 3), גאומטרייה (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8). עונים על חמש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 20 נקודות, וחמש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מחמש, נבדקות לו רק חמש התשובות הראשונות שבמחברת, ולכן כדאי להחליט מראש על אילו שאלות מוותרים. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שלוש שעות וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות

שאלה 1, התפלגות נורמלית (20 נקודות)

הנתונים. נסמן ב-X את הציון בבחינה הפסיכומטרית. X מתפלג נורמלית, והממוצע הוא μ = 550. ללימור ציון 686 וציון תקן 1.6. ספי הקבלה: 584 לספרות, 669 לפסיכולוגיה.

בכל השאלה נעבור בין ציון לציון תקן בנוסחה שבדפי הנוסחאות:

ונקרא הסתברויות בטבלת ההתפלגות הנורמלית שבדפי הנוסחאות. הטבלה נותנת את P(Z < z₀), כלומר את החלק שנמצא מתחת לציון התקן z₀.

סעיף א: סטיית התקן

נציב את הנתונים של לימור:

סטיית התקן של הציונים היא 85.

סעיף ב: האם יעל יכולה להתקבל לספרות

57.9% מן הנבחנים קיבלו פחות מיעל, כלומר P(X < x) = 0.579. הפעם ההסתברות ידועה, ולכן מחפשים אותה בגוף הטבלה: הערך 0.5790 רשום בשורה 0.2, בעמודה 0. ציון התקן של יעל הוא אפוא z = 0.2, ונחזור ממנו לציון:

ציון הסף לספרות הוא 584, ו-567 < 584.

לא. הציון של יעל הוא 567, נמוך מציון הסף 584, ולכן היא אינה יכולה להתקבל לחוג לספרות.

אפשר להגיע לאותה מסקנה גם בלי לחשב את הציון: ציון התקן של 584 הוא (584 − 550) : 85 = 0.4, ואצל יעל ציון התקן הוא רק 0.2.

סעיף ג: אחוזי הנבחנים

נחשב קודם את ציוני התקן של שני הספים:

ומן הטבלה:

(1) כדי להתקבל לפסיכולוגיה צריך ציון של 669 לפחות, כלומר ציון תקן 1.4 ומעלה. החלק שמעל הוא המשלים של החלק שמתחת:

8.1% מן הנבחנים יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

(2) מי שיכול להתקבל לספרות אך לא לפסיכולוגיה, הציון שלו לפחות 584 אבל נמוך מ-669. זה השטח שבין שני ציוני התקן:

26.4% מן הנבחנים יכולים להתקבל לספרות אך אינם יכולים להתקבל לפסיכולוגיה.

סעיף ד: מספר הנבחנים שיכולים להתקבל לפסיכולוגיה

הקבוצה מסעיף ג(2) היא 26.4% מכלל הנבחנים, ונתון שיש בה 8,448 נבחנים. נסמן ב-N את מספר כל הנבחנים:

לפסיכולוגיה יכולים להתקבל 8.1% מהם:

על פי הטבלה, 2,592 נבחנים יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

אפשר גם בצעד אחד, ביחס בין שתי הקבוצות: 8,448 × 0.081 : 0.264 = 2,592.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב מחפשים את 0.579 בעמודת ה-z במקום בגוף הטבלה. בסעיף ג(1) עונים 91.9%, כלומר מחשבים את מי שאינו יכול להתקבל. ובסעיף ד משתמשים בערכים מדויקים יותר מן הטבלה (למשל 0.6554 ו-0.9192) ומקבלים מספר נבחנים לא שלם. השאלון מבקש לעבוד לפי הטבלה שבדפי הנוסחאות, ואז הכול יוצא שלם: 32,000 נבחנים ו-2,592 לפסיכולוגיה.

שאלה 2, מתאם ורגרסיה (20 נקודות)

הנתונים. x היא הטמפרטורה המקסימלית (מעלות צלזיוס), ו-y היא צריכת המים של יוסי (ליטרים), בשישה ימים:

סעיף א: הממוצע וסטיית התקן של x

(1)

הממוצע של הטמפרטורה המקסימלית הוא 25 מעלות.

(2) הסטיות מן הממוצע הן −5, −3, −1, 1, 3, 5, והריבועים שלהן 25, 9, 1, 1, 9, 25.

סטיית התקן של הטמפרטורה היא כ-3.42 מעלות.

סעיף ב: מקדם המתאם

נתונים ȳ = 2.4 ו-s_y = 7√630 ≈ 0.5715. כדי לחשב את r נחשב את השונות המשותפת. נכתוב טבלה של הסטיות ושל המכפלות:

ועכשיו:

בדיקה קטנה לנתון: הסטיות של y בטבלה נותנות Σ(y − ȳ)² = 1.96, ו-1.96 : 6 ≈ 0.3267, וזה בדיוק (7√630)² = 294900. הנתון מתאים לטבלה.

r ≈ 0.973. זה מתאם חיובי חזק מאוד: ככל שחם יותר, יוסי שותה יותר.

סעיף ג: ישר הרגרסיה

השיפוע:

(בחישוב מדויק, m = cov : sₓ² = 1.9 : (353) = 5.7 : 35 ≈ 0.1629.)

הישר עובר בנקודת הממוצעים (25 , 2.4):

ישר הרגרסיה הוא y ≈ 0.163x − 1.671.

סעיף ד: מה קורה כשמכפילים את y פי 3

I. הממוצע גדל. כשכל נתון מוכפל פי 3, גם הסכום מוכפל פי 3, ולכן גם הממוצע: 2.4 × 3 = 7.2 ליטרים.

II. סטיית התקן גדלה. כל סטייה מן הממוצע מוכפלת פי 3 (הנתון וגם הממוצע מוכפלים פי 3), ולכן הפיזור גדל פי 3: סטיית התקן החדשה היא 3 × 7√630 = 7√610, כ-1.71 ליטרים.

סעיף ה: השיפוע אחרי ההכפלה

בנוסחה m = r × s_y : sₓ:

• r לא משתנה. הכפלה במספר חיובי אינה משנה את חוזק הקשר ולא את כיוונו.
• sₓ לא משתנה, כי לא נגענו ב-x.
• s_y גדלה פי 3 (סעיף ד).

לכן גם השיפוע גדל פי 3:

השיפוע החדש הוא כ-0.489 (בדיוק 171350).

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א(2) מחלקים ב-5 במקום ב-6. בדפי הנוסחאות סטיית התקן מחושבת בחלוקה במספר התצפיות n. בסעיף ה עונים שהשיפוע "לא משתנה כי r לא השתנה", ושוכחים ש-s_y נמצאת במונה של נוסחת השיפוע.

שאלה 3, הסתברות (20 נקודות)

הנתונים. נסמן ב-M את המאורע "המשפחה ממחזרת" וב-V את המאורע "המשפחה מתנדבת". נתון:

• P(M) גדולה ב-0.44 מ-P(לא M).
• 59 מן המשפחות שממחזרות מתנדבות, כלומר P(V | M) = 59.

הכי נוח לעבוד כאן עם טבלה דו-ממדית (טבלת שכיחויות יחסיות) שנמלא בהדרגה.

סעיף א: ממחזרות, וממחזרות וגם מתנדבות

(1) נסמן P(M) = p. אז P(לא M) = 1 − p, והנתון אומר:

72% מן המשפחות ביישוב ממחזרות.

(2) מתוך הממחזרות, 59 מתנדבות:

40% מן המשפחות ממחזרות וגם מתנדבות.

סעיף ב: ההסתברות שמשפחה מתנדבת

עכשיו נתון שמספר המשפחות שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר המשפחות שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. אותו יחס נכון גם להסתברויות:

נמלא את הטבלה. בשורת "לא ממחזרות" הסכום הוא 0.28, ולכן:

ההסתברות שהמשפחה מתנדבת היא 0.6.

סעיף ג: מתנדבת, ואינה ממחזרת

ידוע שהמשפחה מתנדבת, ולכן מרחב האפשרויות הוא עמודת "מתנדבות" בלבד:

ההסתברות היא 13.

סעיף ד: כמה משפחות ממחזרות או מתנדבות

"ממחזרות או מתנדבות" הן כל המשפחות חוץ מאלה שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות:

690 משפחות ביישוב ממחזרות או מתנדבות.

בדיקה בדרך אחרת: P(M) + P(V) − P(M ∩ V) = 0.72 + 0.6 − 0.4 = 0.92.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א(2) כותבים 59 כתשובה, ושוכחים ש-59 הוא חלק מן הממחזרות ולא מכל היישוב. בסעיף ג מחלקים ב-0.28 (הלא ממחזרות) במקום ב-0.6 (המתנדבות), כלומר מבלבלים מה ידוע ומה שואלים. ובסעיף ד מחברים 0.72 + 0.6 ושוכחים להוריד את החיתוך.

פרק שני: גאומטרייה

שאלה 4, משולש חסום במעגל ומשולשים דומים (20 נקודות)

הנתונים. משולש ABC חסום במעגל, ו-AC קוטר. A על ציר ה-y, B על ציר ה-x, CE מאונך לציר ה-x ו-E על ציר ה-x. O ראשית הצירים.

עובדה שתעבוד בכל השאלה: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא זווית ישרה. AC קוטר, ולכן ∢ABC = 90°.

סעיף א: שוויון זוויות ודמיון

(1) הנקודות O, B, E מונחות על ציר ה-x, ולכן ∢ABO, ∢ABC ו-∢CBE יחד יוצרות זווית שטוחה:

במשולש BEC הזווית E ישרה (CE ⊥ ציר ה-x), ולכן סכום שתי הזוויות האחרות 90°:

שני השוויונות מסתיימים ב-90°, ובשניהם מופיעה ∢CBE. לכן ∢ABO = ∢BCE.

(2) במשולשים AOB ו-BEC:

• ∢AOB = ∢BEC = 90° (הצירים מאונכים זה לזה, ו-CE ⊥ ציר ה-x).
• ∢ABO = ∢BCE (סעיף א(1)).

לפי משפט הדמיון ז.ז., △AOB ∼ △BEC. ההתאמה היא A ↔ B, O ↔ E, B ↔ C.

סעיף ב: אורך BE והקודקוד C

יחס הדמיון בין BEC ל-AOB הוא 3, כלומר כל צלע ב-BEC גדולה פי 3 מן הצלע המתאימה ב-AOB. מ-A(0 , 12) ו-B(9 , 0):

לפי ההתאמה A ↔ B, O ↔ E, B ↔ C, הצלע AO מתאימה ל-BE, והצלע OB מתאימה ל-EC.

(1)

BE = 36.

(2) E נמצאת על ציר ה-x, 36 יחידות ימינה מ-B, ולכן E(45 , 0). הנקודה C נמצאת מעל E בגובה EC:

C(45 , 27).

בדיקה: הווקטורים מ-B הם BA = (−9 , 12) ו-BC = (36 , 27), והמכפלה הסקלרית שלהם (−9)(36) + (12)(27) = −324 + 324 = 0. הזווית B אכן ישרה.

סעיף ג: המשיק בנקודה C

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. הרדיוס ל-C מונח על הקוטר AC, ולכן מספיק לחשב את השיפוע של AC:

שיפוע המשיק הוא ההופכי הנגדי:

המשיק עובר ב-C(45 , 27):

משוואת המשיק היא y = −3x + 162.

(מרכז המעגל הוא אמצע AC, הנקודה (22.5 , 19.5), והשיפוע מן המרכז ל-C הוא גם הוא 7.5 : 22.5 = 13.)

סעיף ד: שטח המרובע ABKC

K היא החיתוך של המשיק עם ציר ה-x (y = 0):

האלכסון BC מחלק את המרובע לשני משולשים:

משולש ABC ישר זווית ב-B. הניצבים:

משולש BKC: הבסיס BK על ציר ה-x, והגובה אליו הוא הגובה של C:

שטח המרובע ABKC הוא 945 יחידות שטח.

בדיקה בדרך אחרת: הטרפז AOEC (בסיסים AO = 12 ו-CE = 27, גובה OE = 45) ועוד המשולש CEK, פחות המשולש AOB:

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב מתאימים את הצלעות לפי המראה בציור, את הניצב השוכב OB לניצב השוכב BE, ולא לפי הזוויות השוות, ומקבלים BE = 27 ו-C(36 , 36). מה שקובע הוא אילו זוויות שוות: AO נמצאת מול הזווית B במשולש AOB, ולכן היא מתאימה לצלע שמול הזווית C במשולש BEC, כלומר BE. בדיקת הזווית הישרה ב-B תופסת את הטעות מיד.

שאלה 5, דלתון במערכת צירים (20 נקודות)

הנתונים. דלתון ABCD, ובו AB = CB ו-AD = CD. C ברביע השני, BC מקבילה לציר ה-x. B(0 , 6), A(−3 , 2).

שתי תכונות של דלתון שנשתמש בהן: האלכסון הראשי (זה שמחבר את שני הקודקודים שבהם נפגשות צלעות שוות, כאן DB) מאונך לאלכסון השני, וחוצה אותו.

סעיף א: AB והקודקוד C

(1)

AB = 5.

(2) BC מקבילה לציר ה-x, ולכן ל-C אותו שיעור y כמו ל-B, כלומר y = 6. בנוסף CB = AB = 5, ו-C ברביע השני, כלומר משמאל ל-B:

C(−5 , 6).

סעיף ב: משוואת האלכסון DB

האלכסון DB חוצה את AC ומאונך לו. אמצע AC:

שיפוע AC:

ולכן שיפוע DB הוא 12. הישר עובר ב-B(0 , 6), שהיא נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-y:

בדיקה: הנקודה (−4 , 4) על הישר, כי 0.5 × (−4) + 6 = 4.

משוואת האלכסון DB היא y = 0.5x + 6.

סעיף ג: הקודקוד D

D נמצא גם על AD וגם על DB:

D(−18 , −3).

בדיקה: AD = √15² + 5² = √250 ו-CD = √13² + 9² = √250. הצלעות שוות, כמו שצריך בדלתון.

סעיף ד: הזווית ADM

M(−4 , 4) היא מפגש האלכסונים, והזווית AMD ישרה כי האלכסונים מאונכים. במשולש ישר הזווית AMD:

הצלע AM נמצאת מול הזווית D, והצלע DM לידה:

∢ADM ≈ 8.13°.

(אותו דבר יוצא מן השיפועים של DA ושל DM, 13 ו-12: tan α = (12 − 13) : (1 + 16) = (16) : (76) = 17.)

סעיף ה: שטח המשולש ADE

קודם שטח המשולש ADC. הבסיס AC, והגובה אליו הוא DM (כי DB ⊥ AC):

E היא אמצע DC, ולכן AE הוא תיכון במשולש ADC. תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח (בסיסים שווים DE = EC, ואותו גובה מ-A):

שטח המשולש ADE הוא 17.5 יחידות שטח.

בדיקה בשיעורים: E = ((−18 + (−5)) : 2 , (−3 + 6) : 2) = (−11.5 , 1.5), ונוסחת השטח לפי שיעורי הקודקודים נותנת ½ × |(−3)(−3 − 1.5) + (−18)(1.5 − 2) + (−11.5)(2 − (−3))| = ½ × |13.5 + 9 − 57.5| = 17.5.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(2) לוקחים את C מימין ל-B, (5 , 6), ושוכחים שנתון ש-C ברביע השני. בסעיף ב מחפשים את DB כישר דרך B ו-A, כלומר מבלבלים בין האלכסון לצלע. והכי חשוב: לזכור שבדלתון רק האלכסון הראשי חוצה את השני, לא להפך.

פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = a : (x − 4)², מוגדרת בתחום x ≠ 4, ו-a > 0. שיפוע המשיק ב-x = 6 הוא −3.

סעיף א: הערך של a

נכתוב f(x) = a(x − 4)⁻² ונגזור לפי כלל השרשרת:

נציב x = 6:

a = 12. מכאן f(x) = 12 : (x − 4)², ו-f′(x) = −24 : (x − 4)³.

סעיף ב: חקירה

(1) חיתוך עם הצירים.

• ציר ה-y (x = 0): f(0) = 12 : 16 = 0.75, הנקודה (0 , 0.75).
• ציר ה-x: צריך f(x) = 0, אבל המונה 12 אינו מתאפס. אין חיתוך עם ציר ה-x.

(0 , 0.75) בלבד.

(2) אסימפטוטות.

• המכנה מתאפס ב-x = 4 והמונה לא, ולכן x = 4 אסימפטוטה אנכית.
• כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, המכנה גדל בלי גבול והמונה קבוע, ולכן f(x) שואפת ל-0. y = 0 אסימפטוטה אופקית.

(3) עלייה וירידה. f′(x) = −24 : (x − 4)³. הנגזרת אינה מתאפסת אף פעם, והיא משנה סימן רק ב-x = 4, שם הפונקציה אינה מוגדרת.

f עולה בתחום x < 4 ויורדת בתחום x > 4. אין לה נקודות קיצון.

סעיף ג: סקיצה

נאסוף את מה שידוע:

• f(x) > 0 לכל x בתחום (המונה 12 חיובי והמכנה ריבוע), והגרף כולו מעל ציר ה-x.
• משמאל ל-x = 4: הגרף מתחיל קרוב לציר ה-x (מעליו), עולה, עובר ב-(0 , 0.75) ומטפס אל פלוס אינסוף כשמתקרבים ל-x = 4.
• מימין ל-x = 4: הגרף יורד מפלוס אינסוף ומתקרב לציר ה-x מלמעלה.

הגרף נראה כמו שני ענפים שמתרוממים משני צדי האסימפטוטה x = 4, כמו הר תלול שהפסגה שלו חסרה.

סעיף ד: גרף הנגזרת והשטח

(1) f′(x) = −24 : (x − 4)³. מן הטבלה בסעיף ב(3):

• משמאל ל-x = 4 הנגזרת חיובית, והיא שואפת לפלוס אינסוף כש-x מתקרב ל-4.
• מימין ל-x = 4 הנגזרת שלילית, והיא שואפת למינוס אינסוף כש-x מתקרב ל-4.
• בשני הקצוות הנגזרת שואפת ל-0.

הגרף שבו הענף השמאלי מעל ציר ה-x והענף הימני מתחתיו הוא גרף III. (גרף I הוא הגרף של f עצמה, שני ענפים חיוביים. גרף II כולו שלילי, וגרף IV הפוך בסימנים.)

גרף III.

(2) השטח מוגבל על ידי f′, ציר ה-x, ציר ה-y והישר x = 3, כלומר בין x = 0 ל-x = 3. בתחום הזה x < 4, ולכן f′ > 0 והגרף מעל ציר ה-x. השטח הוא האינטגרל.

הפונקציה f היא פונקציה קדומה של f′, ולכן אין צורך לבצע אינטגרציה:

השטח הוא 11.25 יחידות שטח.

סעיף ה: השטח מתחת ל-g

g(x) = f′(x) + 2. בתחום 0 ≤ x ≤ 3 גם g חיובית (f′ חיובית שם ועוד 2), ולכן:

התוספת היא ∫₀³ 2 dx = 2 × 3 = 6. בגרף: g היא f′ מוזזת 2 יחידות למעלה, ולכן לשטח מתווסף מלבן ברוחב 3 (מ-x = 0 עד x = 3) ובגובה 2.

השטח גדול ב-6 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ד(1) בוחרים בגרף I, כי הוא נראה "כמו הפונקציה", ושוכחים שמחפשים את הנגזרת. סימן הנגזרת נקבע לפי העלייה והירידה של f: עולה משמאל, ולכן f′ חיובית שם. בסעיף ד(2) מנסים לבצע אינטגרציה של f′ ומסתבכים, כשהפונקציה הקדומה כבר נתונה: היא f.

שאלה 7, פונקציית שורש והזזה (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = x² × √7 − x.

סעיף א: חקירה

(1) תחום הגדרה. מתחת לשורש צריך מספר אי-שלילי:

תחום ההגדרה: x ≤ 7.

(2) חיתוך עם ציר ה-x. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס:

(0 , 0) ו-(7 , 0).

(3) נקודות קיצון. נגזור לפי כלל המכפלה, ונזכור ש-(√7 − x)′ = −1 : (2√7 − x):

נכנס למכנה משותף 2√7 − x:

הנגזרת מוגדרת ל-x < 7, והיא מתאפסת כשהמונה מתאפס:

המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של f′ נקבע לפי x(28 − 5x):

• ב-x = 0 ירידה הופכת לעלייה: מינימום (0 , 0).
• ב-x = 5.6 עלייה הופכת לירידה: מקסימום. נחשב:

• ב-x = 7, קצה התחום: f(7) = 0, והפונקציה יורדת אל הנקודה הזאת. משמאל לה הערכים גדולים מ-0, ולכן זה מינימום בקצה התחום, (7 , 0).

מינימום (0 , 0), מקסימום (5.6 , 37.11) בקירוב, ומינימום בקצה (7 , 0).

(בדיוק, ערך המקסימום הוא 784√35 : 125.)

סעיף ב: סקיצה

• משמאל: כש-x שואף למינוס אינסוף, גם x² וגם √7 − x גדלים, ולכן f שואפת לפלוס אינסוף. הגרף יורד משמאל אל המינימום (0 , 0), שם הוא נוגע בציר ה-x.
• מ-(0 , 0) הגרף עולה עד המקסימום (5.6 , 37.11).
• מן המקסימום הוא יורד בתלילות אל (7 , 0), ושם הוא נעצר. מימין ל-7 אין גרף.
• f(x) ≥ 0 בכל התחום, והגרף כולו על ציר ה-x או מעליו.

סעיף ג: הפונקציה g(x) = f(x + a)

(1) הגרף של f(x + a) הוא הגרף של f מוזז אופקית ב-a יחידות שמאלה (כש-a חיובי) או ב-|a| יחידות ימינה (כש-a שלילי). הזזה אופקית אינה משנה את הסוג של נקודות הקיצון, רק את המקום שלהן.

ל-f יש נקודת מקסימום פנימית אחת בלבד, ב-x = 5.6 (שתי האחרות הן מינימום). לכן המקסימום הפנימי של g הוא אותה נקודה אחרי ההזזה: g מגיעה למקסימום כאשר x + a = 5.6. נתון שזה קורה ב-x = 8.6:

a = −3, כלומר g(x) = f(x − 3), והגרף של f מוזז 3 יחידות ימינה.

(2) תחום ההגדרה של g: צריך ש-x + a יהיה בתחום של f:

תחום ההגדרה של g: x ≤ 10.

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף א(3) שוכחים את נקודת הקצה (7 , 0), ובשאלה כתוב במפורש "כל נקודות הקיצון". בסעיף ג(1) מתבלבלים בכיוון ההזזה ועונים a = 3. בדיקה פשוטה: מציבים x = 8.6 ב-x + a, וצריך לקבל 5.6.

שאלה 8, פונקציה רציונלית ובעיית קיצון (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (6x − 12) : (x − 8).

סעיף א: תחום הגדרה ואסימפטוטות

(1) המכנה מתאפס ב-x = 8. תחום ההגדרה: x ≠ 8.

(2)

• ב-x = 8 המכנה מתאפס והמונה לא (6 × 8 − 12 = 36), ולכן x = 8 אסימפטוטה אנכית.
• המונה והמכנה ממעלה ראשונה. כש-x שואף לאינסוף, היחס שואף ליחס המקדמים של x, 6 : 1 = 6. y = 6 אסימפטוטה אופקית.

סעיף ב: הנקודה A

A(2 , 0).

סעיף ג: היקף המלבן

C נמצאת על הגרף ושיעור ה-x שלה t, כאשר t > 8:

B היא העקב של האנך מ-C לציר ה-x, כלומר B(t , 0). D מעל A, באותו גובה כמו C: D(2 , (6t − 12) : (t − 8)). הגובה חיובי כי t > 8, ולכן D אכן ברביע הראשון.

אורכי הצלעות:

כדי להקל על הגזירה נפרק את השבר:

ואז:

היקף המלבן: P(t) = 2(t − 2) + 2(6t − 12) : (t − 8), וזה שווה ל-2t + 8 + 72 : (t − 8), בתחום t > 8.

סעיף ד: ההיקף המינימלי

רק t − 8 = 6 מתאים לתחום t > 8, ולכן t = 14.

נבדוק שזה מינימום:

(למשל P′(10) = 2 − 72 : 4 = −16, ו-P′(20) = 2 − 72 : 144 = 1.5.)

t = 14, וההיקף המינימלי הוא 48.

סעיף ה: האם ההיקף יכול להיות 50

ההיקף המינימלי הוא 48. כש-t מתקרב ל-8 מימין, 72 : (t − 8) גדל בלי גבול, וכש-t שואף לאינסוף גם 2t גדל בלי גבול. ההיקף יורד ברציפות מאינסוף עד 48 ואחר כך עולה שוב לאינסוף, ולכן הוא מקבל כל ערך מעל 48, ובפרט את 50.

נמצא את t במפורש:

בדיקה ב-t = 12: AB = 10, BC = 60 : 4 = 15, וההיקף 2 × (10 + 15) = 50.

כן, ייתכן. ההיקף הוא 50 כאשר t = 12 או t = 17.

איפה נופלים בשאלה 8. בסעיף ג כותבים את הרוחב כ-t במקום t − 2, ושוכחים ש-A אינה בראשית אלא ב-(2 , 0). בסעיף ד לא בודקים שהנקודה היא מינימום ולא מקסימום. ובסעיף ה עונים "לא, כי 50 אינו 48": השאלה אינה אם 50 הוא המינימום, אלא אם ההיקף יכול לקבל את הערך הזה.

התשובות בקצרה