התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35472 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ד · 2024
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה
שאלה 1 33⅓ נקודות
סדרה חשבונית: נוסעים בקרונות רכבת
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 10 נוסעים |
| ב | 20 נוסעים (בקרון השישי) |
| ג | 120 נוסעים |
| ד | 5 קרונות (ביום ב' היו ברכבת 16 קרונות) |
שאלה 2 33⅓ נקודות
וקטורים במרחב: פירמידה שבסיסה ריבוע
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | SD = v − w |
| ב | w · v = 16 |
| ג | |w| = 7 |
| ד(1) | SC = u + v − w, ולכן SC · BC = (u + v − w) · v = 0 + 16 − 16 = 0 ו-SC · DC = (u + v − w) · u = 16 + 0 − 16 = 0. שתי המכפלות הסקלריות אפס, ולכן SC מאונך ל-BC ול-DC |
| ד(2) | 16√173 ≈ 21.99 יחידות נפח (SC מאונך לבסיס והוא הגובה, √17) |
שאלה 3 33⅓ נקודות
גדילה ודעיכה: ערכי שתי דירות
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | טענה (III): q > 1.07. אם q ≤ 1.07, דירה ב' שמתחילה זולה יותר לא תדביק לעולם את דירה א' |
| ב(1) | כ-1,927,808 שקלים |
| ב(2) | כ-12% בשנה (12.01%) |
| ג | בתחילת שנת 2038 |
פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 4 33⅓ נקודות
חקירת פונקצייה מעריכית: f(x) = e2x : (ex − 3)
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≠ ln 3 |
| א(2) | x = ln 3 |
| ב | (0 , −0.5) עם ציר ה-y. עם ציר ה-x אין נקודת חיתוך |
| ג | (ln 6 , 12), מינימום |
| ד | עלייה: x > ln 6. ירידה: x < ln 3, וגם ln 3 < x < ln 6 |
| ה | סקיצה: אסימפטוטה אנכית x = ln 3. משמאל לה הגרף כולו מתחת לציר ה-x, מתקרב לציר ה-x כש-x שואף למינוס אינסוף, עובר ב-(0 , −0.5) ויורד למינוס אינסוף. מימין לה הגרף כולו מעל ציר ה-x, יורד מפלוס אינסוף למינימום (ln 6 , 12) ועולה בלי גבול |
| ו(1) | (ln 6 , 3), מקסימום |
| ו(2) | שתי נקודות חיתוך. g(x) = 0 כאשר f(x) = 15, ו-f מקבלת את הערך 15 פעם אחת בקטע ln 3 < x < ln 6 (יורדת מאינסוף עד 12) ופעם אחת בקטע x > ln 6 (עולה מ-12 לאינסוף). בקטע x < ln 3 הפונקצייה f שלילית |
שאלה 5 33⅓ נקודות
חקירת פונקצייה לוגריתמית: f(x) = ax · ln(2x)
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x > 0 |
| ב | a = 3 |
| ג | (0.5 , 0) |
| ד | (12e , −32e) ≈ (0.184 , −0.552), מינימום |
| ה | f מתוארת בגרף I, ו-f′ מתוארת בגרף IV |
| ו | 3e·ln(2e) + 32e ≈ 14.36 יחידות שטח |