הפתרון המלא · מתמטיקה ב׳ · שאלון 35472 · קיץ, מועד א׳ תשפ״ד 2024

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה (שאלות 1 עד 3), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5). עונים על שלוש שאלות לבחירה, ואין חובה לבחור מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה

שאלה 1, סדרה חשבונית (33⅓ נקודות)

הנתונים. ברכבת 11 קרונות. ביום א' בכל קרון יש יותר נוסעים מבקרון שלפניו, ותמיד באותו מספר. זו בדיוק ההגדרה של סדרה חשבונית. נסמן ב-a₁ את מספר הנוסעים בקרון הראשון וב-d את ההפרש הקבוע. בקרון האחרון, הקרון ה-11, יש פי 3 נוסעים מבקרון הראשון, ובכל הרכבת יחד יש 220 נוסעים.

נשתמש בשתי הנוסחאות שבדפי הנוסחאות:

aₙ= a₁ + (n − 1)dSₙ= n(a₁ + aₙ) : 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) : 2

סעיף א: הקרון הראשון

יש לנו שני נתונים, ומכל אחד נבנה משוואה.

הקרון האחרון גדול פי 3 מן הראשון:

a₁₁ = 3a₁

a₁ + 10d = 3a₁

10d = 2a₁

d = a₁ : 5

סך הנוסעים 220. כאן נוח לבחור בנוסחת הסכום שמשתמשת באיבר הראשון ובאיבר האחרון, כי את האחרון כבר ביטאנו באמצעות הראשון:

S₁₁ = 11 × (a₁ + a₁₁) : 2 = 11 × (a₁ + 3a₁) : 2 = 11 × 4a₁ : 2 = 22a₁

22a₁ = 220

a₁ = 10

בקרון הראשון היו 10 נוסעים. מכאן גם d = 10 : 5 = 2, ובקרון האחרון היו 30 נוסעים.

סעיף ב: הקרון האמצעי

מבין 11 קרונות, האמצעי הוא השישי: חמישה קרונות לפניו וחמישה אחריו.

a₆ = a₁ + 5d = 10 + 5 × 2 = 20

בקרון האמצעי היו 20 נוסעים.

בדיקה מהירה: בסדרה חשבונית שיש בה מספר אי-זוגי של איברים, האיבר האמצעי שווה לממוצע של כל האיברים. ואכן 220 : 11 = 20.

סעיף ג: הקרונות האי-זוגיים

הקרונות 1, 3, 5, 7, 9 ו-11 הם שישה קרונות. בכל צעד ברשימה הזאת מדלגים על קרון אחד, ולכן מספר הנוסעים גדל כל פעם בשני הפרשים, כלומר ב-2d = 4. גם זו סדרה חשבונית: האיבר הראשון 10, ההפרש 4, ויש בה שישה איברים.

S = 6 × (2 × 10 + 5 × 4) : 2 = 3 × 40 = 120

אפשר גם לפרוש ולחבר: 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 = 120.

בקרונות האי-זוגיים היו 120 נוסעים סך הכול.

סעיף ד: הקרונות שנוספו ביום ב'

ביום ב' היו ברכבת פי 2 נוסעים, כלומר 2 × 220 = 440. בקרון הראשון 5 נוסעים, ובכל קרון 3 נוסעים יותר מבקרון שלפניו. זו סדרה חשבונית חדשה, עם a₁ = 5 ו-d = 3, ומה שלא ידוע הוא מספר האיברים n, כלומר מספר הקרונות. נציב בנוסחת הסכום:

n × (2 × 5 + (n − 1) × 3) : 2 = 440

n × (3n + 7) = 880

3n² + 7n − 880 = 0

נפתור בנוסחת השורשים:

n = (−7 ± √49 + 4 × 3 × 880) : 6 = (−7 ± √10609) : 6 = (−7 ± 103) : 6

n = 96 : 6 = 16 או n = −110 : 6 (שלילי, נפסל)

ביום ב' היו ברכבת 16 קרונות, וביום א' היו 11. ההפרש הוא 16 − 11 = 5.

הוסיפו לרכבת 5 קרונות.

בדיקה: בקרון ה-16 היו 5 + 15 × 3 = 50 נוסעים, והסכום 16 × (5 + 50) : 2 = 440.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ד עונים 16, שזה מספר הקרונות ביום ב', אבל השאלה היא כמה קרונות הוסיפו. בסעיף ג לוקחים הפרש 2 במקום 4: כשמדלגים על קרון, ההפרש בין שני איברים סמוכים ברשימה החדשה הוא 2d. וטעות שלישית: לשכוח שביום ב' סך הנוסעים הוא 440 ולהציב 220.

שאלה 2, וקטורים במרחב: פירמידה (33⅓ נקודות)

הנתונים. SABCD פירמידה, והבסיס שלה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 4. מן הקודקוד A יוצאים שלושה וקטורים:

u = AB , v = AD , w = AS

סימונים: בשאלה הזאת כל שם של שתי אותיות, כמו SD, הוא הווקטור מן האות הראשונה אל האות השנייה. |w| הוא האורך של הווקטור w, ו-u · v היא המכפלה הסקלרית.

שלוש עובדות על הריבוע ילוו אותנו לאורך כל השאלה:

|u| = |v| = 4 , ולכן u · u = v · v = 16

AB מאונך ל-AD , ולכן u · v = 0

DC = AB = u , BC = AD = v (בריבוע צלעות נגדיות שוות ומקבילות)

סעיף א: הווקטור SD

הולכים מ-S אל D דרך A. קודם מ-S אל A, וזה הווקטור ההפוך ל-w, ואחר כך מ-A אל D, וזה v:

SD = SA + AD = −w + v

SD = v − w.

סעיף ב: הערך של w · v

נתון SD · AD = 0. נציב את מה שמצאנו בסעיף א, ונפתח סוגריים:

(v − w) · v = 0

v · v − w · v = 0

16 − w · v = 0

w · v = 16.

סעיף ג: האורך של w

נתון w · u = w · v, ולכן גם w · u = 16. עכשיו נבטא את SC, שוב דרך A, והפעם מ-A אל C דרך B:

SC = SA + AB + BC = −w + u + v

ריבוע האורך של וקטור הוא המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:

|SC|²= (u + v − w) · (u + v − w)= u·u + v·v + w·w + 2u·v − 2u·w − 2v·w= 16 + 16 + |w|² + 2 × 0 − 2 × 16 − 2 × 16= |w|² − 32

נתון |SC| = √17, כלומר |SC|² = 17:

|w|² − 32 = 17

|w|² = 49

|w| = 7.

סעיף ד: SC מאונך לבסיס, והנפח

(1) שני וקטורים שאינם וקטור האפס מאונכים זה לזה בדיוק כאשר המכפלה הסקלרית שלהם היא אפס. נחשב את שתי המכפלות, בעזרת BC = v ו-DC = u:

SC · BC= (u + v − w) · v = u·v + v·v − w·v = 0 + 16 − 16 = 0SC · DC= (u + v − w) · u = u·u + v·u − w·u = 16 + 0 − 16 = 0

שתי המכפלות שוות לאפס, ולכן SC מאונך ל-BC וגם ל-DC.

(2) הישרים BC ו-DC נחתכים בנקודה C, ושניהם מונחים במישור הבסיס. ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים שבמישור מאונך למישור כולו. לכן SC מאונך לבסיס ABCD, והוא הגובה של הפירמידה. אורכו נתון: √17.

V = (שטח הבסיס × הגובה) : 3 = (4 × 4 × √17) : 3 = 16√17 : 3 ≈ 21.99

נפח הפירמידה 16√173, כלומר כ-21.99 יחידות נפח.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א הופכים כיוון וכותבים w − v. הולכים מ-S, ולכן הווקטור הראשון בדרך הוא −w. בסעיף ג שוכחים את שתי המכפלות המעורבות שבהן מופיע w, ומקבלים |w|² = 17 − 32, מספר שלילי, וזה סימן ברור שמשהו השתבש. ובסעיף ד(2) לוקחים את |w| = 7 כגובה, אבל AS הוא מקצוע צדדי משופע. הגובה הוא SC, כי רק הוא מאונך לבסיס.

שאלה 3, גדילה ודעיכה (33⅓ נקודות)

הנתונים. בתחילת 2014 דירה א' שווה 980,000 שקלים ודירה ב' שווה 620,000 שקלים. ערך דירה א' גדל ב-7% בכל שנה, כלומר פי 1.07 בשנה. ערך דירה ב' גדל פי q בכל שנה. בשתי הדירות נשתמש בנוסחת הגדילה שבדפי הנוסחאות: אחרי n שנים הערך הוא הערך ההתחלתי כפול qⁿ.

סעיף א: איזו טענה נכונה

בהתחלה דירה ב' זולה יותר. נבדוק מה קורה אם q אינו גדול מ-1.07, כלומר בטענות (I) ו-(II). בכל שנה דירה א' מוכפלת ב-1.07, ודירה ב' מוכפלת במספר q שאינו גדול מ-1.07. היחס בין הערכים אחרי n שנים הוא

(620,000 × qⁿ) : (980,000 × 1.07ⁿ) = (620 : 980) × (q : 1.07)ⁿ

כאשר q ≤ 1.07, הגורם (q : 1.07)ⁿ אינו גדול מ-1, ולכן היחס תמיד קטן מ-1: דירה ב' נשארת זולה מדירה א' לנצח, ושני הערכים לא ישתוו אף פעם. אבל נתון שהם השתוו. כדי להשלים את הפער, דירה ב' חייבת לגדול מהר יותר.

הטענה הנכונה היא (III): q > 1.07.

סעיף ב: השוויון בתחילת 2024

(1) מתחילת 2014 ועד תחילת 2024 עברו 10 שנים:

980,000 × 1.07¹⁰ = 980,000 × 1.967151... ≈ 1,927,808

בתחילת 2024 ערך דירה א' היה כ-1,927,808 שקלים.

(2) באותו רגע ערך דירה ב' שווה בדיוק לאותו סכום:

620,000 × q¹⁰ = 1,927,808.33

q¹⁰ = 3.10937...

q = (3.10937)^1/10 ≈ 1.1201

כלומר בכל שנה הערך מוכפל ב-1.1201, וזו עלייה של 12.01%.

ערך דירה ב' גדל בכ-12% בכל שנה (12.01% בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

סעיף ג: מתי דירה ב' תרד אל מתחת לערך שלה ב-2014

האחוז של הירידה קטן פי 1.5 מן האחוז שמצאנו: 12% : 1.5 = 8%. לכן מ-2024 ואילך ערך דירה ב' מוכפל בכל שנה ב-1 − 0.08 = 0.92.

בתחילת 2024 ערך דירה ב' הוא 1,927,808 שקלים, ובתחילת 2014 הוא היה 620,000 שקלים. נחפש את מספר השנים הקטן ביותר n שאחריו הערך כבר קטן מ-620,000:

1,927,808 × 0.92ⁿ < 620,000

0.92ⁿ < 0.3216

n × log 0.92 < log 0.3216

המספר log 0.92 שלילי, ולכן כשמחלקים בו, סימן אי-השוויון מתהפך:

n > log 0.3216 : log 0.92 ≈ (−0.4927) : (−0.0362) ≈ 13.6

n הוא מספר שלם של שנים, ולכן n = 14, כלומר 2024 + 14 = 2038. נוודא בשתי השנים הגבוליות:

תחילת 2037 (n = 13): 1,927,808 × 0.92¹³ ≈ 652,087 עדיין יותר מ-620,000

תחילת 2038 (n = 14): 1,927,808 × 0.92¹⁴ ≈ 599,920 כבר פחות מ-620,000

גם עם האחוז המדויק יותר, 12.01% : 1.5 ≈ 8.01%, מתקבלים כ-651,308 שקלים ב-2037 וכ-599,148 שקלים ב-2038, והמסקנה לא משתנה.

לראשונה בתחילת שנת 2038.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ג מחשבים "קטן פי 1.5" כאילו כתוב "קטן ב-1.5", ומקבלים 10.5% במקום 8%. טעות אחרת היא להתחיל את הירידה מ-620,000, ערך 2014, במקום מן הערך של 2024. וגם: לשכוח להפוך את סימן אי-השוויון כשמחלקים ב-log 0.92 השלילי, או לעגל את 13.6 כלפי מטה ולענות 2037. ב-2037 הדירה עדיין שווה יותר מאשר ב-2014.

פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, פונקצייה מעריכית (33⅓ נקודות)

הנתונים.

f(x) = e^2x : (e^x − 3)

שתי עובדות יעזרו לאורך השאלה: e^2x = (e^x)², והביטוי e^x חיובי תמיד.

סעיף א: תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית

(1) המכנה לא יכול להיות אפס:

e^x − 3 = 0

e^x = 3

x = ln 3

תחום ההגדרה: x ≠ ln 3 (ln 3 ≈ 1.10).

(2) ב-x = ln 3 המכנה מתאפס, והמונה לא מתאפס: שם המונה שווה ל-3² = 9. כשהמכנה שואף לאפס והמונה נשאר 9, השבר גדל בערכו המוחלט בלי גבול.

האסימפטוטה האנכית: x = ln 3.

סעיף ב: נקודות החיתוך עם הצירים

עם ציר ה-y מציבים x = 0:

f(0) = e⁰ : (e⁰ − 3) = 1 : (1 − 3) = −0.5

עם ציר ה-x מחפשים f(x) = 0. שבר מתאפס רק כשהמונה שלו מתאפס, אבל המונה e^2x חיובי תמיד. לכן אין לגרף נקודת חיתוך עם ציר ה-x.

נקודת החיתוך היחידה היא (0 , −0.5), עם ציר ה-y. עם ציר ה-x אין חיתוך.

סעיף ג: נקודת הקיצון

נגזור לפי כלל המנה, (u : v)′ = (u′v − uv′) : v². כאן u = e^2x ולכן u′ = 2e^2x, ו-v = e^x − 3 ולכן v′ = e^x:

f′(x)= [2e^2x × (e^x − 3) − e^2x × e^x] : (e^x − 3)²= e^2x × (2e^x − 6 − e^x) : (e^x − 3)²= e^2x × (e^x − 6) : (e^x − 3)²

הגורם e^2x חיובי תמיד, והמכנה הוא ריבוע ולכן חיובי בכל התחום. כלומר הסימן של f′(x) נקבע רק לפי הגורם e^x − 6. זה הצעד שחוסך את כל העבודה בסעיף הבא.

f′(x) = 0

e^x − 6 = 0

x = ln 6 ≈ 1.79

f(ln 6) = (e^{ln 6})² : (e^{ln 6} − 3) = 36 : (6 − 3) = 12

כאשר x < ln 6 מתקיים e^x < 6, ולכן f′(x) < 0. כאשר x > ln 6 מתקיים e^x > 6, ולכן f′(x) > 0. הפונקצייה עוברת מירידה לעלייה.

(ln 6 , 12) היא נקודת מינימום.

סעיף ד: תחומי עלייה וירידה

נסדר בטבלה. הנקודה x = ln 3 אינה בתחום, ולכן היא מחלקת את הציר:

x	x < ln 3	ln 3	ln 3 < x < ln 6	ln 6	x > ln 6
f′(x)	−	לא מוגדרת	−	0	+
f(x)	יורדת	אסימפטוטה	יורדת	מינימום	עולה

עלייה: x > ln 6. ירידה: x < ln 3, וגם ln 3 < x < ln 6.

סעיף ה: סקיצה

לפני הציור נבדוק מה קורה בקצוות:

כאשר x קטן מאוד, e^x קרוב ל-0. המונה שואף ל-0 והמכנה למינוס 3, ולכן f(x) שואפת ל-0 מלמטה: משמאל הגרף מתקרב לציר ה-x מתחתיו.
ליד x = ln 3 משמאל המכנה שלילי וקרוב מאוד לאפס, ולכן הגרף צולל למינוס אינסוף. מימין המכנה חיובי וקרוב מאוד לאפס, והגרף יורד מפלוס אינסוף.
כאשר x גדל, e^2x גדל הרבה יותר מהר מ-e^x − 3, והגרף עולה בלי גבול.

ועכשיו הציור עצמו:

משמאל לאסימפטוטה (x < ln 3) הגרף כולו מתחת לציר ה-x, כי המונה חיובי והמכנה שלילי. הוא מתחיל קרוב לציר ה-x מלמטה, עובר בנקודה (0 , −0.5) ויורד אל מינוס אינסוף כשהוא מתקרב לקו x = ln 3.
מימין לאסימפטוטה הגרף כולו מעל ציר ה-x. הוא יורד מפלוס אינסוף אל נקודת המינימום (ln 6 , 12), ומשם עולה בלי גבול.

סעיף ו: הפונקצייה g(x) = −f(x) + 15

(1) נגזור: g′(x) = −f′(x). שתי הנגזרות מתאפסות באותה נקודה, x = ln 6, אבל הסימנים שלהן הפוכים. בקטע ln 3 < x < ln 6 הנגזרת f′ שלילית ולכן g′ חיובית, ואחרי ln 6 הנגזרת f′ חיובית ולכן g′ שלילית. הפונקצייה g עוברת מעלייה לירידה.

g(ln 6) = −f(ln 6) + 15 = −12 + 15 = 3

(ln 6 , 3) היא נקודת מקסימום.

אפשר לראות את זה גם בציור: g מתקבלת משיקוף הגרף של f בציר ה-x והזזה של 15 יחידות כלפי מעלה. השיקוף הופך את המינימום למקסימום.

(2) g(x) = 0 בדיוק כאשר f(x) = 15. נספור כמה פעמים f מקבלת את הערך 15, קטע אחר קטע:

בקטע x < ln 3 הפונקצייה f שלילית, ולכן היא לא מגיעה ל-15. אין פתרון.
בקטע ln 3 < x < ln 6 הפונקצייה f יורדת ברציפות מפלוס אינסוף עד 12. היא עוברת בערך 15 פעם אחת בדיוק.
בקטע x > ln 6 הפונקצייה f עולה ברציפות מ-12 עד אינסוף. גם כאן היא עוברת בערך 15 פעם אחת בדיוק.

לגרף של g יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-x.

בדיקה אלגברית: נציב t = e^x במשוואה f(x) = 15 ונקבל t² = 15(t − 3), כלומר t² − 15t + 45 = 0. הפתרונות t ≈ 10.85 ו-t ≈ 4.15 גדולים שניהם מ-3, ולכן שניהם בתחום, וכל אחד מהם בקטע אחר: x ≈ 2.38 ו-x ≈ 1.42.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ד כותבים "ירידה: x < ln 6" כתחום אחד, ומדלגים על כך שהאסימפטוטה מפרקת אותו לשני תחומים. בסעיף ו(1) מעתיקים "מינימום" מ-f, או שוכחים את ה-15 ועונים (ln 6 , −12). בסעיף ו(2) מסתכלים רק על המקסימום ועונים "אחת" או "אף אחת". המקסימום של g הוא 3, מעל ציר ה-x, ומשני צדדיו הענף הימני יורד למינוס אינסוף, ולכן יש שתי חציות. הענף השמאלי כולו מעל 15.

שאלה 5, פונקצייה לוגריתמית (33⅓ נקודות)

הנתונים.

f(x) = ax · ln(2x)

ו-a הוא פרמטר.

סעיף א: תחום ההגדרה

הלוגריתם מוגדר רק למספרים חיוביים:

2x > 0

x > 0

תחום ההגדרה: x > 0.

סעיף ב: הערך של a

נגזור לפי כלל המכפלה. הנגזרת של ax היא a, והנגזרת של ln(2x) היא 2 : (2x) = 1 : x:

f′(x) = a × ln(2x) + ax × (1 : x) = a ln(2x) + a = a(ln(2x) + 1)

נציב x = e2. אז 2x = e, ו-ln e = 1:

f′(e2) = a(1 + 1) = 2a

2a = 6

a = 3

a = 3.

מכאן והלאה:

f(x) = 3x ln(2x) , f′(x) = 3 ln(2x) + 3

סעיף ג: נקודת החיתוך עם ציר ה-x

3x ln(2x) = 0

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס. x = 0 אינו בתחום ההגדרה, ולכן נשאר:

ln(2x) = 0

2x = 1

x = 0.5

(0.5 , 0).

סעיף ד: נקודת הקיצון

3 ln(2x) + 3 = 0

ln(2x) = −1

2x = e⁻¹ = 1e

x = 12e ≈ 0.184

f(12e) = 3 × 12e × ln(1e) = 3 × 12e × (−1) = −32e ≈ −0.552

בדיקת סימן משני הצדדים:

f′(0.1) = 3 ln 0.2 + 3 ≈ 3 × (−1.609) + 3 ≈ −1.83 < 0 הפונקצייה יורדת

f′(0.5) = 3 ln 1 + 3 = 3 > 0 הפונקצייה עולה

(12e , −32e) ≈ (0.184 , −0.552) היא נקודת מינימום.

סעיף ה: איזה גרף הוא f ואיזה הוא f′

הפונקצייה f. מסעיפים ג ו-ד אנחנו יודעים שהגרף מוגדר רק ל-x > 0, יורד אל נקודת מינימום שמתחת לציר ה-x, חותך את ציר ה-x ב-(0.5 , 0) ועולה. מבין ארבעת הגרפים רק לגרף I יש מינימום מתחת לציר ה-x ואחריו עלייה. לגרף II יש מקסימום, ובגרפים III ו-IV אין קיצון בכלל.

f מתוארת בגרף I.

הנגזרת f′. לפי בדיקת הסימן בסעיף ד, f′ שלילית לפני x = 12e וחיובית אחריו. כלומר הגרף של f′ חוצה את ציר ה-x פעם אחת, מלמטה למעלה. גרף IV עושה בדיוק את זה. גרף III חוצה מלמעלה למטה, וזה הסימן של נגזרת של פונקצייה שיש לה מקסימום. גרפים I ו-II כבר נבחרו או נפסלו: יש בהם קיצון, ואילו f′(x) = 3 ln(2x) + 3 עולה כל הזמן, כי ln(2x) עולה, ולכן אין לה קיצון.

f′ מתוארת בגרף IV.

סעיף ו: השטח שמתחת לגרף הנגזרת

השטח מוגבל על ידי הגרף של f′, הישר x = e וציר ה-x. הגרף של f′ חוצה את ציר ה-x ב-x = 12e, ומשם ימינה הוא מעל הציר. לכן השטח הוא השטח שבין x = 12e ל-x = e, מתחת לגרף f′ ומעל ציר ה-x.

כאן יש קיצור דרך: לא צריך לחפש פונקצייה קדומה ל-f′, כי היא כבר בידינו. זו f עצמה.

S = ∫ f′(x) dx (מ-12e עד e)

= f(e) − f(12e)= 3e × ln(2e) − (−32e)= 3e × ln(2e) + 32e

ובמספרים: ln(2e) = ln 2 + 1 ≈ 1.6931, ולכן

3e × ln(2e) ≈ 8.1548 × 1.6931 ≈ 13.807

32e ≈ 0.552

S ≈ 13.807 + 0.552 ≈ 14.36

השטח הוא 3e·ln(2e) + 32e, כלומר כ-14.36 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ו לוקחים את הגבול התחתון 0.5, נקודת האפס של f, במקום 12e, נקודת האפס של f′. השטח מוגבל על ידי הגרף של f′, ולכן החיתוך של f′ עם הציר הוא הקובע. טעות שנייה: לנסות לחשב פונקצייה קדומה ל-ln(2x) מאפס, כשהתשובה כבר כתובה בשאלה. ובסעיף ה בוחרים בגרף III בשביל f′ רק כי הוא "נראה כמו לוגריתם", בלי לבדוק את כיוון החצייה של ציר ה-x.

התשובות בקצרה

שאלה	סעיף	התשובה
1	א	10 נוסעים
1	ב	20 נוסעים
1	ג	120 נוסעים
1	ד	5 קרונות (ביום ב' היו 16 קרונות)
2	א	SD = v − w
2	ב	w · v = 16
2	ג	\|w\| = 7
2	ד(1)	SC · BC = 0 ו-SC · DC = 0, ולכן SC מאונך לשניהם
2	ד(2)	16√173 ≈ 21.99 יחידות נפח
3	א	טענה (III): q > 1.07
3	ב(1)	כ-1,927,808 שקלים
3	ב(2)	כ-12% בשנה (12.01%)
3	ג	בתחילת שנת 2038
4	א(1)	x ≠ ln 3
4	א(2)	x = ln 3
4	ב	(0 , −0.5) בלבד, אין חיתוך עם ציר ה-x
4	ג	(ln 6 , 12) מינימום
4	ד	עלייה: x > ln 6. ירידה: x < ln 3, ln 3 < x < ln 6
4	ה	סקיצה: אסימפטוטה x = ln 3, משמאל מתחת לציר ה-x, מימין מינימום (ln 6 , 12)
4	ו(1)	(ln 6 , 3) מקסימום
4	ו(2)	שתי נקודות חיתוך
5	א	x > 0
5	ב	a = 3
5	ג	(0.5 , 0)
5	ד	(12e , −32e) ≈ (0.184 , −0.552) מינימום
5	ה	f: גרף I , f′: גרף IV
5	ו	3e·ln(2e) + 32e ≈ 14.36 יחידות שטח