מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה (שאלות 1 עד 3), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5). עונים על שלוש שאלות לבחירתכם, והשאלון אינו מחייב לבחור מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה

שאלה 1, סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (33⅓ נקודות)

הנתונים. בכל שבוע ייצרו מספר קבוע של מחשבים יותר מבשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו 900 מחשבים, הייצור נמשך 50 שבועות, ובסך הכול ייצרו 167,500 מחשבים.

המשפט "גדולה במספר קבוע" אומר שהכמויות השבועיות הן סדרה חשבונית: האיבר הראשון a₁ = 900, מספר האיברים n = 50, והסכום S₅₀ = 167,500. ההפרש d הוא בדיוק מה שהסעיף הראשון מבקש.

סעיף א: בכמה גדלה הכמות מדי שבוע

נוסחת הסכום של סדרה חשבונית מדפי הנוסחאות:

נציב את מה שידוע:

נחלק את שני האגפים ב-25:

בכל שבוע ייצרו 100 מחשבים יותר מבשבוע שלפניו.

סעיף ב: כמה מחשבים נמכרו בחודש הראשון

עכשיו המצב שונה: הכמות החודשית גדלה פי q, ולכן כמויות המכירה הן סדרה הנדסית. האיבר הכללי שלה הוא aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹, ולכן:

נחלק את המשוואה השנייה בראשונה. ה-a₁ מצטמצם, ונשאר:

ונחזור למשוואה של החודש הרביעי:

בחודש הראשון נמכרו 20 מחשבים.

נבדוק את עצמנו: 20, 40, 80, 160 בחודש הרביעי, ואחר כך 320, 640, 1,280 בחודש השביעי. מתאים לנתונים.

סעיף ג: כמה חודשים נמשכה המכירה

"החודש האמצעי" פירושו שמשני צדדיו יש אותו מספר של חודשים. לפני החודש השביעי היו 6 חודשים, ולכן גם אחריו היו 6 חודשים:

המכירה נמשכה 13 חודשים.

סעיף ד: כמה מחשבים לא נמכרו

נחשב כמה מחשבים נמכרו בסך הכול, כלומר את סכום 13 האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית:

מסעיף א אנחנו יודעים שייצרו 167,500 מחשבים. ההפרש הוא מה שלא נמכר:

3,680 מחשבים לא נמכרו.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א מבלבלים בין "גדולה במספר קבוע" (סדרה חשבונית) לבין "גדולה פי" (סדרה הנדסית). בסעיף ב כותבים a₇ = a₁ × q⁷ במקום q⁶, ואז החלוקה לא יוצאת נקייה. בסעיף ג עונים 14, כפול 7, ושוכחים שהחודש האמצעי עצמו נספר פעם אחת בלבד.

שאלה 2, וקטורים: פירמידה שבסיסה מעוין (33⅓ נקודות)

הנתונים. SABCD היא פירמידה מרובעת, והבסיס ABCD הוא מעוין. E היא אמצע המקצוע SC, והמקצוע AS מאונך לבסיס. מסמנים AB = u, AD = v, AS = w.

סימונים: בשאלה הזאת כל שם של שתי אותיות, כמו EB, הוא הווקטור מן האות הראשונה אל האות השנייה. |u| הוא האורך של הווקטור u, ו-u · v היא המכפלה הסקלרית.

סעיף א: הווקטורים EB ו-ED

הדרך הנוחה היא לבטא קודם את הווקטור AE, ממנו קל להגיע לכל נקודה אחרת.

הווקטור AC. במעוין הצלעות הנגדיות מקבילות ושוות, ולכן BC = AD = v. הולכים מ-A אל B ומשם אל C:

הווקטור AE. E היא אמצע SC, ולכן הווקטור אליה מ-A הוא הממוצע של הווקטורים אל שני קצות הקטע:

הווקטור EB. הולכים מ-E אל A, כלומר הפוך ל-AE, ומשם אל B:

הווקטור ED. באותה דרך, מ-E אל A ומשם אל D:

EB = ½u − ½v − ½w , ED = −½u + ½v − ½w.

סעיף ב: הוכחה ש-EB מאונך ל-ED

שני וקטורים שאינם וקטור האפס מאונכים זה לזה בדיוק כאשר המכפלה הסקלרית שלהם היא אפס. נאסוף קודם את כל המכפלות הקטנות שנזדקק להן.

• האורכים. במעוין כל הצלעות שוות, ולכן |u| = |v|. נתון גם |u| = |w|. נסמן את האורך המשותף ב-a, ואז u · u = v · v = w · w = a².
• u · v. הזווית בין AB ל-AD היא הזווית BAD, שהיא 60°: u · v = a × a × cos60° = ½a².
• u · w ו-v · w. המקצוע AS מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר בבסיס, ובכללם AB ו-AD. לכן u · w = 0 וגם v · w = 0.

נוציא את ½ מכל אחד משני הווקטורים, ונקבל ¼ מחוץ לסוגריים:

נפתח את הסוגריים, איבר אחרי איבר:

EB · ED = 0, ושני הווקטורים אינם וקטור האפס, ולכן EB מאונך ל-ED.

סעיף ג: אורך המקצוע, הקודקוד S ונפח הפירמידה

(1) נתון A(0 , 0 , 0) ו-B(2√3 , 2 , 0), ולכן:

אורך המקצוע AB הוא 4.

עכשיו הקודקוד S. שלושה דברים:

• A ו-B נמצאים במישור z = 0, ו-D נמצא על ציר ה-y, ולכן גם הוא במישור z = 0. מכאן שהבסיס כולו שוכב במישור xy.
• AS מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך למישור xy, כלומר הוא מונח על ציר ה-z.
• מסעיף ב, |w| = |u| = 4, ושיעור ה-z של S חיובי.

מכאן ש-S נמצא 4 יחידות מעל הראשית: S(0 , 0 , 4).

כדאי לוודא שהנתונים מתיישבים זה עם זה. D על החלק החיובי של ציר ה-y, ו-AD = AB = 4, ולכן D(0 , 4 , 0). הזווית BAD:

כלומר ∠BAD = 60°, בדיוק כמו בנתון.

(2) נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה.

שטח הבסיס. שטח מעוין הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן:

הגובה. AS מאונך לבסיס, ולכן הוא הגובה של הפירמידה, ואורכו 4.

נפח הפירמידה הוא 32√3 : 3, כלומר כ-18.48 יחידות נפח.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א כותבים AC = u + w, כאילו C נמצאת מעל A. C היא קודקוד של הבסיס, והדרך אליה היא u + v. בסעיף ב שוכחים ש-|v| = |u| כי הבסיס מעוין, ואז נשארים עם |v|² שאי אפשר לצמצם. בסעיף ג(1) מנסים לחשב את S בלי לשים לב שהבסיס כולו במישור xy, ולכן AS הולך לאורך ציר ה-z.

שאלה 3, גדילה ודעיכה (33⅓ נקודות)

הנתונים. שני קרחונים, A ו-B, מאבדים ממשקלם במשך השנים. בסרטוט שני גרפים של המשקל (באלפי טונות) לפי הזמן (בשנים). גרף I מתחיל גבוה יותר ויורד בתלילות, גרף II מתחיל נמוך יותר ויורד במתינות, ושני הגרפים נחתכים, כך שבסוף התקופה גרף I נמצא מתחת לגרף II.

סעיף א: איזה קרחון מפשיר מהר יותר

קצב ההפשרה הוא כמה משקל הקרחון מאבד ביחידת זמן, כלומר עד כמה הגרף שלו תלול.

גרף I מתחיל מעל גרף II, ובנקודת החיתוך שני הקרחונים שוקלים אותו דבר. בפרק הזמן הזה, מן ההתחלה ועד נקודת החיתוך, הקרחון של גרף I ירד ממשקל גבוה יותר אל אותו משקל, כלומר איבד יותר טונות באותו זמן. גם אחרי נקודת החיתוך כך: שני הקרחונים יוצאים מאותו משקל, וגרף I מסיים מתחת לגרף II, כלומר שוב איבד יותר.

גרף I מתאר את הקרחון שקצב הפשרתו מהיר יותר, כי הוא תלול יותר: באותו פרק זמן הוא מאבד יותר משקל.

סעיף ב: איזה גרף מתאר כל פונקצייה

נבדוק את נקודת ההתחלה, t = 0, שבה כל חזקה של t שווה ל-1:

הגרף שמתחיל גבוה יותר הוא גרף I.

g(t), המשקל של קרחון B, מתוארת בגרף I. f(t), המשקל של קרחון A, מתוארת בגרף II.

גם הבסיסים מתאימים לכך. ב-g המשקל מוכפל מדי שנה ב-0.91, כלומר הקרחון מאבד 9% בשנה, וב-f הוא מוכפל ב-0.96, כלומר מאבד רק 4% בשנה. קרחון B דועך מהר יותר, וזה בדיוק מה שמצאנו לגבי גרף I בסעיף א.

סעיף ג: איזה קרחון שקל יותר אחרי 7 שנים

נציב t = 7 בשתי הפונקציות:

אחרי 7 שנים המשקל של קרחון A היה גדול יותר: כ-5.26 אלפי טונות, לעומת כ-5.17 אלפי טונות של קרחון B.

סעיף ד: מתי שני הקרחונים שקלו אותו דבר

נשווה את שתי הפונקציות:

נעביר את כל מה שתלוי ב-t לאגף אחד, ואת המספרים לאגף השני:

נוציא לוגריתם משני האגפים:

המשקלים היו שווים כעבור כ-6.67 שנים מתחילת המדידות. אז שקל כל אחד מן הקרחונים כ-5.33 אלפי טונות.

זה מתיישב עם סעיף ג: עד 6.67 שנים קרחון B כבד יותר, ואחר כך קרחון A כבד יותר, ולכן אחרי 7 שנים קרחון A כבר עבר אותו.

סעיף ה: בכמה אחוזים גדל מספר כלבי הים

נסמן ב-N₀ את מספר כלבי הים בתחילת המדידות, וב-q את המספר שבו מספרם מוכפל בכל שנה. אחרי 10 שנים:

בכל שנה מספר כלבי הים מוכפל ב-1.0414, כלומר גדל ב-

מספר כלבי הים גדל בכ-4.14% בכל שנה.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א בוחרים בגרף II "כי הוא נמצא למעלה בסוף", אבל השאלה היא על הקצב, כלומר על התלילות, לא על הגובה. בסעיף ג מסתמכים על הסרטוט, ושם ההפרש קטן מכדי לראות אותו: חייבים להציב. בסעיף ה מחלקים את 50% ב-10 ועונים 5%. זו טעות, כי הגדילה היא באחוז קבוע מן הכמות הנוכחית, כלומר בכפל ולא בחיבור.

פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, פונקצייה מעריכית, נגזרת ושטח (33⅓ נקודות)

הנתונים. בסרטוט שני גרפים. גרף I (קו רציף) עולה מעט, יורד אל מתחת לציר ה-x, מגיע לשפל וחוזר ועולה בתלילות. גרף II (קו מקווקו) כולו מעל ציר ה-x: הוא עולה לשיא, יורד ונוגע בציר ה-x, ומשם עולה בתלילות. אחד מהם הוא הגרף של f(x), והאחר הוא הגרף של f′(x).

סעיף א: איזה גרף מתאר את f′(x)

הקשר בין פונקצייה לנגזרת שלה: איפה שהפונקצייה עולה, הנגזרת חיובית. איפה שהיא יורדת, הנגזרת שלילית. ובנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן.

נבדוק את גרף II בתור f(x):

• לגרף II יש שיא, ובדיוק מתחתיו גרף I חוצה את ציר ה-x מלמעלה למטה.
• לגרף II יש שפל, בנקודה שבה הוא נוגע בציר ה-x, ובדיוק שם גרף I חוצה את ציר ה-x מלמטה למעלה.
• משמאל לשיא ומימין לשפל גרף II עולה, וגרף I מעל ציר ה-x. בין השיא לשפל גרף II יורד, וגרף I מתחת לציר ה-x.

הכול מתאים. ולהפך זה לא עובד: גרף II לעולם אינו שלילי, ואילו גרף I יורד בקטע שבין השיא שלו לשפל שלו. אילו גרף II היה הנגזרת של גרף I, גרף I לא היה יורד באף מקום.

גרף I מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

סעיף ב: הפונקצייה f(x) = (x − 4)² × e^x−3

(1) הביטוי (x − 4)² מוגדר לכל x, וגם e^x−3 מוגדר לכל x.

תחום ההגדרה: כל x.

(2) חיתוך עם ציר ה-y. נציב x = 0:

חיתוך עם ציר ה-x. נדרוש f(x) = 0. הגורם e^x−3 חיובי לכל x ולעולם אינו מתאפס, ולכן המכפלה מתאפסת רק כאשר הגורם השני מתאפס:

נקודות החיתוך: (0 , 16e⁻³), כלומר בערך (0 , 0.80), ו-(4 , 0).

(3) נגזור לפי כלל המכפלה, (u × v)′ = u′v + uv′. כאן u = (x − 4)² ולכן u′ = 2(x − 4), ו-v = e^x−3 ולכן v′ = e^x−3:

נוציא גורם משותף (x − 4) × e^x−3:

נשווה לאפס. שוב e^x−3 אינו מתאפס, ולכן:

עכשיו הסוג, לפי הגרף. מסעיף א, הגרף של f(x) הוא גרף II. בנקודה השמאלית, x = 2, יש לגרף II שיא, ובנקודה הימנית, x = 4, יש לו שפל שבו הוא נוגע בציר ה-x.

(2 , 4e⁻¹) היא נקודת מקסימום, כלומר בערך (2 , 1.47). (4 , 0) היא נקודת מינימום.

אפשר לוודא זאת גם לפי הסימן של f′(x): לפני x = 2 שני הגורמים (x − 4) ו-(x − 2) שליליים והמכפלה חיובית, בין 2 ל-4 המכפלה שלילית, ואחרי 4 היא שוב חיובית. כלומר עלייה, ירידה, עלייה.

סעיף ג: השטח בין הגרף של f′(x) לציר ה-x

הגרף של f′(x) חותך את ציר ה-x ב-x = 2 וב-x = 4, ובין שתי הנקודות האלה הוא מתחת לציר. זה התחום הסגור היחיד: משמאל ל-x = 2 הגרף רק מתקרב לציר ה-x ואינו פוגש אותו, ולכן אין שם תחום חסום.

השטח הוא האינטגרל של (0 − f′(x)) בין 2 ל-4. כאן החלק הנחמד: פונקצייה קדומה של f′(x) היא f(x) עצמה, ואותה כבר יש לנו.

השטח הוא 4 : e, כלומר כ-1.47 יחידות שטח.

סעיף ד: השטח בין g(x) = −f′(x) לבין f′(x)

הגרף של g(x) = −f′(x) הוא השיקוף של הגרף של f′(x) בציר ה-x. נמצא היכן שני הגרפים נחתכים:

בין 2 ל-4 הנגזרת f′(x) שלילית, ולכן g(x) = −f′(x) חיובית: g מעל ציר ה-x, f′ מתחתיו. הנימוק: ציר ה-x הוא ציר הסימטריה של שני הגרפים, והוא מחלק את התחום לשני חלקים חופפים. החלק שמתחת לציר הוא בדיוק השטח מסעיף ג, והחלק שמעליו הוא השיקוף שלו. לכן השטח כפול:

השטח הוא 8 : e, כלומר כ-2.94 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א בוחרים בגרף II כנגזרת "כי הוא נוגע בציר בנקודה שבה לגרף I יש שינוי". הבדיקה הנכונה היא הפוכה: נקודות הקיצון של הפונקצייה הן המקומות שבהם הנגזרת חוצה את הציר. בסעיף ג מנסים למצוא פונקצייה קדומה ל-(x − 4)(x − 2) × e^x−3 בעבודה ארוכה, במקום לשים לב שהיא פשוט f(x). ובסעיף ד מחברים את האינטגרל של g ואת האינטגרל של f′ כמו שהם, ומקבלים אפס, כי הם מבטלים זה את זה. בין שני גרפים מחסרים את התחתון מן העליון.

שאלה 5, פונקצייה לוגריתמית (33⅓ נקודות)

הנתונים.

סעיף א: תחום, חיתוך עם ציר ה-x ואסימפטוטה

(1) שני תנאים. הביטוי ln x מוגדר רק כאשר x > 0. והמכנה אסור שיהיה אפס:

תחום ההגדרה: x > 0 וגם x ≠ e^−½.

(2) שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס:

אבל 0 אינו בתחום ההגדרה.

לא. הגרף אינו חותך את ציר ה-x, כי הנקודה היחידה שמאפסת את המונה, x = 0, אינה בתחום ההגדרה.

(3) ב-x = e^−½ המכנה מתאפס, ואילו המונה שווה ל-3e⁻¹ ≈ 1.10 ואינו מתאפס. כשהמכנה שואף לאפס והמונה נשאר קבוע ושונה מאפס, השבר גדל בערכו המוחלט בלי גבול.

משוואת האסימפטוטה האנכית: x = e^−½, כלומר x = 1 : √e ≈ 0.61.

ליד x = 0 אין אסימפטוטה: כאשר x מתקרב ל-0 מימין, המונה 3x² שואף ל-0 והמכנה שואף למינוס אינסוף, ולכן f(x) שואפת ל-0.

סעיף ב: נקודת הקיצון

נגזור לפי כלל המנה, (u : v)′ = (u′v − uv′) : v². כאן u = 3x² ולכן u′ = 6x, ו- v = 2ln x + 1 ולכן v′ = 2 : x:

נשווה לאפס. המונה מתאפס כאשר x = 0 או ln x = 0. את x = 0 פוסלים, כי הוא מחוץ לתחום, ולכן:

כדי לקבוע את הסוג נבדוק את הסימן של f′(x). בתחום ההגדרה 12x חיובי, והמכנה הוא ריבוע ולכן חיובי. נשאר רק הסימן של ln x: שלילי כאשר x < 1, וחיובי כאשר x > 1.

(1 , 3) היא נקודת מינימום.

סעיף ג: תחומי עלייה וירידה

מן הטבלה:

f(x) יורדת בתחומים 0 < x < e^−½ ו-e^−½ < x < 1. f(x) עולה בתחום x > 1.

שימו לב: אלה שני תחומי ירידה נפרדים, ולא תחום אחד 0 < x < 1, כי באמצע עוברת האסימפטוטה.

סעיף ד: איזה גרף מתאר את f(x)

לפני שמסתכלים על הגרפים, נברר את הסימן של f(x). המונה 3x² חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f נקבע לפי המכנה 2ln x + 1:

• בקטע 0 < x < e^−½: ln x < −½, ולכן המכנה שלילי, f(x) שלילית. הענף השמאלי מתחת לציר ה-x.
• בקטע x > e^−½: המכנה חיובי, f(x) חיובית. הענף הימני מעל ציר ה-x.

נעבור על הגרפים:

• בגרף I הענף הימני מתחת לציר ה-x, ויש בו מקסימום. נפסל.
• בגרף II הענף השמאלי עולה אל מעל ציר ה-x. נפסל.
• בגרף IV הענף השמאלי מעל ציר ה-x והענף הימני מתחתיו. נפסל.
• בגרף III הענף השמאלי יוצא מן הראשית (נקודה ריקה, כי 0 אינו בתחום) ויורד אל מינוס אינסוף ליד האסימפטוטה, והענף הימני יורד מפלוס אינסוף אל נקודת מינימום ומשם עולה. זה בדיוק מה שמצאנו בסעיפים א עד ג.

הגרף III מתאר את הפונקצייה f(x).

סעיף ה: האם הישר y = t − 5 חותך את הגרף

מהו t. הישר y = t הוא ישר אופקי, ששיפועו 0. ישר אופקי משיק לגרף רק בנקודה שבה f′(x) = 0, ומסעיף ב יש נקודה כזאת אחת בלבד, (1 , 3). לכן t = 3, והישר y = t הוא y = 3.

הישר החדש. y = t − 5 = 3 − 5 = −2, כלומר הישר האופקי y = −2.

נבדוק כל ענף בנפרד:

• הענף הימני, x > e^−½. הענף יורד מפלוס אינסוף עד המינימום (1 , 3), ומשם עולה. הערך הקטן ביותר שלו הוא 3, ולכן הוא אינו יורד אף פעם מתחת לגובה 3, ובוודאי אינו פוגש את y = −2.
• הענף השמאלי, 0 < x < e^−½. כאן f(x) שלילית ויורדת ברציפות: ליד x = 0 היא שואפת ל-0 (מלמטה), וליד האסימפטוטה היא שואפת למינוס אינסוף. פונקצייה רציפה ויורדת שעוברת מ-0 עד מינוס אינסוף מקבלת כל ערך שלילי פעם אחת בדיוק, ובפרט את הערך −2.

כן. הישר y = t − 5, כלומר y = −2, חותך את גרף הפונקצייה בנקודה אחת, בענף השמאלי (בערך ב-x ≈ 0.50, אבל השאלה אינה דורשת את מיקומה).

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(1) כותבים x > 0 ושוכחים את התנאי על המכנה, וזה מפיל אחר כך את האסימפטוטה ואת תחומי הירידה. בסעיף ב שוכחים ש-(ln x)′ = 1 : x, ואז הביטוי 6x − 6x לא מתבטל. בסעיף ג מאחדים את שני תחומי הירידה לתחום אחד 0 < x < 1, בלי לשים לב לאסימפטוטה. ובסעיף ה עונים "לא", כי y = −2 נמצא מתחת למינימום, ושוכחים שיש לגרף ענף שמאלי שלילי.

התשובות בקצרה