התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35472 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ה · 2025
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה
שאלה 1 33⅓ נקודות
סדרה חשבונית סופית וסדרה הנדסית אין-סופית: הפרש, מנה וסכום האיברים שבמקומות הזוגיים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הפרש הסדרה 3, ו-a₁ = 3 |
| ב | q = ⅔ או q = −⅔ |
| ג | −21.6 (כלומר −1085). המנה היא −⅔, וסדרת המקומות הזוגיים מתחילה ב-b₂ = −12 ומנתה 49 |
שאלה 2 33⅓ נקודות
וקטורים במרחב: פירמידה שמקצוע בה הוא גובה, הבעת וקטורים, הוכחת האנכה לישר ולמישור, שיעורי נקודות ושטח משולש
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | ED = ½u + ½v − w , BC = −u + v , AM = ⅓u + ⅓v + ⅓w |
| ב(1) | AM · ED = 24 + 24 − 48 = 0, ולכן AM מאונך ל-ED |
| ב(2) | AM · BC = −48 + 48 = 0. הווקטור AM מאונך ל-ED ול-BC, שני ישרים במישור BEC שנחתכים ב-D, ולכן AM מאונך למישור BEC |
| ג(1) | B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12) |
| ג(2) | D(6 , 6 , 0) , M(4 , 4 , 4) |
| ד | 12√2, כלומר בערך 16.97 יחידות שטח (המשולש ישר-זווית ב-M, AM = 4√3, MD = 2√6) |
שאלה 3 33⅓ נקודות
גדילה ודעיכה: שתי משתלות, השוואת כמות התחלתית, מקדם דעיכה מתוך אחוז שנותר, ונקודת שוויון בזמן הדעיכה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | טענה I נכונה: a < 600. משתלה ב' גדלה מהר יותר (10% לעומת 5%), ולכן היא יכולה להשתוות למשתלה א' רק אם התחילה עם פחות צמחים: a = 600 × (1.05 : 1.1)t, ו-1.05 : 1.1 < 1 |
| ב | a = 544 (בעיגול; החישוב נותן 544.16) |
| ג | כ-11.92% בכל שבוע |
| ד | כעבור כ-15.9 שבועות מן היום שבו החלו למכור (במהלך השבוע ה-16) |
פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 4 33⅓ נקודות
פונקצייה מעריכית עם מכנה ריבועי: פרמטר מאסימפטוטה, תחום, חיתוך, קיצון, סקיצה ומספר פתרונות של f(x) = e⁸
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | a = 4 |
| ב(1) | x ≠ 2 |
| ב(2) | (0 , ¼). אין חיתוך עם ציר ה-x, כי המונה e2x חיובי תמיד |
| ב(3) | (3 , e⁶), כלומר בערך (3 , 403.43), נקודת מינימום |
| ג | סקיצה: כל הגרף מעל ציר ה-x. ענף שמאלי (x < 2) מתקרב לציר ה-x מלמעלה משמאל, עולה דרך (0 , ¼) ושואף לפלוס אינסוף ליד x = 2. ענף ימני (x > 2) יורד מפלוס אינסוף עד המינימום (3 , e⁶) ומשם עולה בלי גבול. אסימפטוטה אנכית x = 2 |
| ד | 3 נקודות חיתוך. h(x) = 0 פירושו f(x) = e⁸. בענף x < 2 הפונקצייה עולה מ-0 לאינסוף (נקודה אחת), בקטע 2 < x < 3 יורדת מאינסוף ל-e⁶ < e⁸ (נקודה אחת), ובקטע x > 3 עולה מ-e⁶ לאינסוף (נקודה אחת) |
שאלה 5 33⅓ נקודות
פונקצייה לוגריתמית f(x) = 3x(ln x)²: זיהוי גרף הנגזרת, חיתוך, קיצון, זיהוי גרף הפונקצייה ושטח בין גרף הנגזרת לציר ה-x
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | גרף II: הוא חוצה את ציר ה-x פעמיים, קודם מלמעלה למטה (מקסימום של f) ואחר כך מלמטה למעלה (מינימום של f, מימין למקסימום) |
| ב(1) | (1 , 0). אין חיתוך עם ציר ה-y, כי x > 0 |
| ב(2) | מקסימום (e−2 , 12 : e²), בערך (0.135 , 1.624). מינימום (1 , 0) |
| ג | גרף IV: מתחיל בעיגול ריק בראשית, עולה למקסימום, יורד ונוגע בציר ה-x ב-(1 , 0) ועולה. כל הגרף מעל הציר או עליו |
| ד | 12 : e², כלומר בערך 1.62 יחידות שטח |