מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1 עד 3), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5). עונים על שלוש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים ורבע. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה

שאלה 1, סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית (33⅓ נקודות)

הנתונים. הסדרה A חשבונית ויש בה 57 איברים. נסמן את האיבר הראשון ב-a₁ ואת ההפרש ב-d. נתון ש-a₂ + a₄ = a₆, והאיבר האחרון, a₅₇, הוא 171.

הנוסחה שנעבוד איתה כל השאלה, מדפי הנוסחאות:

סעיף א: ההפרש ו-a₁

נכתוב כל איבר שבנתון בעזרת a₁ ו-d:

קיבלנו קשר פשוט מאוד: האיבר הראשון שווה להפרש. עכשיו נשתמש באיבר האחרון:

נציב a₁ = d:

ומכאן גם a₁ = 3.

הפרש הסדרה הוא 3, ו-a₁ = 3.

בדיקה: בסדרה הזאת aₙ = 3n. אז a₂ + a₄ = 6 + 12 = 18 = a₆, ו-a₅₇ = 171.

סעיף ב: המנה של הסדרה B

הסדרה B הנדסית. נסמן את המנה ב-q. נחשב קודם את האיברים של A שמופיעים בנתונים:

ולכן:

בסדרה הנדסית b₃ = b₁ × q², ונציב:

המנה של B היא ⅔ או −⅔.

שימו לב ששתי האפשרויות מקיימות |q| < 1, כפי שמתאים לסדרה הנדסית אין-סופית שאנחנו עומדים לסכם.

סעיף ג: סכום האיברים שבמקומות הזוגיים

איזו מנה מתאימה. אם q = ⅔, כל איבר הוא ⅔ מן האיבר שלפניו, והאיברים כולם חיוביים, ולכן הסדרה יורדת. זה סותר את הנתון. אם q = −⅔, הסימנים מתחלפים: 18, −12, 8, −163, ... הסדרה קופצת למעלה ולמטה, ולכן היא אינה עולה ואינה יורדת. לכן q = −⅔.

הסדרה של המקומות הזוגיים. האיברים b₂, b₄, b₆, ... יוצרים בעצמם סדרה הנדסית: כדי לעבור מ-b₂ ל-b₄ כופלים פעמיים ב-q, ולכן המנה שלה היא q².

המנה קטנה מ-1 בערכה המוחלט, ולכן לסדרה האין-סופית הזאת יש סכום. לפי הנוסחה S = b₁ : (1 − q):

סכום האיברים שבמקומות הזוגיים הוא −21.6.

בדיקה מהכיוון השני: סכום כל הסדרה הוא 18 : (1 + ⅔) = 10.8. סכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים (מנה 49, איבר ראשון 18) הוא 18 : (59) = 32.4. ואכן 32.4 + (−21.6) = 10.8.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ג שתי מלכודות. הראשונה: לסכם את הסדרה של המקומות הזוגיים עם המנה q ולא עם q². השנייה: לבחור q = ⅔ כי "המנה חיובית יפה יותר", ולשכוח שסדרה עם מנה חיובית שקטנה מ-1 ואיברים חיוביים היא סדרה יורדת. התשובה שלילית, וזה בסדר: האיבר הראשון של סדרת הזוגיים, −12, שלילי.

שאלה 2, וקטורים במרחב: פירמידה שהמקצוע AE גובה בה (33⅓ נקודות)

הנתונים. ABCE היא פירמידה. D אמצע המקצוע BC. הנקודה M נמצאת על ED, כך ש:

המקצוע AE הוא גובה בפירמידה, ו-∠BAC = 90°. מסמנים:

(שלושתם וקטורים שיוצאים מ-A.) בסרטוט, A בפינה, C מימין, B קדימה ושמאלה, E למעלה, D על BC ו-M על ED, קרוב יותר ל-D.

הכלל שנשתמש בו כל הזמן: וקטור מנקודה X לנקודה Y שווה ל"וקטור מ-A אל Y" פחות "וקטור מ-A אל X".

סעיף א: הווקטורים ED, BC ו-AM

נתחיל מ-AD. הנקודה D היא אמצע BC, ולכן הווקטור אליה מ-A הוא הממוצע של הווקטורים אל B ואל C:

עכשיו שלושת הווקטורים המבוקשים:

ED = ½u + ½v − w , BC = −u + v , AM = ⅓u + ⅓v + ⅓w.

סעיף ב: AM מאונך ל-ED ולמישור BEC

מה יודעים על u, v ו-w. נתון |u| = |v| = |w| = 12. בנוסף:

• ∠BAC = 90°, ולכן u מאונך ל-v.
• AE גובה בפירמידה, כלומר AE מאונך למישור הבסיס ABC, ולכן מאונך לכל ישר במישור הזה שעובר דרך A. בפרט w מאונך ל-u ו-w מאונך ל-v.

לכן המכפלה הסקלרית של כל שניים שונים מהם היא 0, ומכפלה של וקטור בעצמו היא ריבוע האורך:

(1) נחשב את המכפלה הסקלרית AM · ED. בגלל שכל המכפלות המעורבות מתאפסות, נשארים רק המחוברים שבהם וקטור מוכפל בעצמו:

המכפלה הסקלרית אפס, ושני הווקטורים אינם וקטור האפס, ולכן AM מאונך ל-ED.

(2) ישר מאונך למישור כאשר הוא מאונך לשני ישרים במישור שנחתכים זה בזה. במישור BEC נבחר את ED ואת BC: שניהם במישור, והם נחתכים בנקודה D. את ההאנכה ל-ED כבר הוכחנו. נשאר לבדוק את BC:

לכן AM מאונך גם ל-BC. הווקטור AM מאונך לשני ישרים נחתכים במישור BEC, ולכן AM מאונך למישור BEC.

סעיף ג: שיעורי הנקודות

(1) A בראשית, ושלושת המקצועות AB, AC ו-AE מאונכים זה לזה ואורך כל אחד מהם 12. B על החלק החיובי של ציר ה-x, C על החלק החיובי של ציר ה-y, E על החלק החיובי של ציר ה-z. לכן:

B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12).

(2) D אמצע BC, ושיעוריה הם ממוצע השיעורים של B ושל C:

את M נמצא מסעיף א. הנקודה A בראשית, ולכן שיעורי M הם בדיוק רכיבי הווקטור AM:

D(6 , 6 , 0) , M(4 , 4 , 4).

בדיקה בדרך אחרת: M = E + ⅔(D − E) = (0 , 0 , 12) + ⅔(6 , 6 , −12) = (0 , 0 , 12) + (4 , 4 , −8) = (4 , 4 , 4).

סעיף ד: שטח המשולש AMD

הנקודה M נמצאת על הקטע ED, ובסעיף ב(1) הוכחנו ש-AM מאונך ל-ED. לכן AM מאונך גם ל-MD, והמשולש AMD ישר-זווית ב-M. הניצבים הם AM ו-MD:

שטח משולש ישר-זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים:

שטח המשולש AMD הוא 12√2, כלומר בערך 16.97 יחידות שטח.

בדיקה: אורך היתר AD הוא √36 + 36 + 0 = √72, ואכן 48 + 24 = 72, כמו שמשפט פיתגורס דורש.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א כותבים AM = ⅔ED, כלומר מבלבלים בין הווקטור מ-E אל M לבין הווקטור מ-A אל M. צריך ללכת מ-A אל E, ורק משם ⅔ מן הדרך אל D. בסעיף ב(2) מוכיחים האנכה לישר אחד בלבד במישור, וזה לא מספיק: צריך שני ישרים נחתכים. ובסעיף ד מחפשים זווית בעזרת קוסינוס, במקום לשים לב שסעיף ב כבר נתן זווית ישרה ב-M.

שאלה 3, גדילה ודעיכה: שתי משתלות (33⅓ נקודות)

הנתונים. ביום הראשון שתלו במשתלה א' 600 צמחים ובמשתלה ב' a צמחים. במשתלה א' מספר הצמחים גדל ב-5% בכל שבוע, ובמשתלה ב' ב-10% בכל שבוע. לכן אחרי t שבועות:

סעיף א: איזו טענה נכונה

טענה I נכונה: a < 600.

הנימוק: משתלה ב' גדלה מהר יותר, 10% בשבוע לעומת 5%. אם הייתה מתחילה עם 600 צמחים או יותר, היא הייתה מקדימה את משתלה א' כבר מן השבוע הראשון, והפער היה רק גדל, ולעולם לא היה שוויון. כדי שמשתלה ב' תשיג את משתלה א' ברגע מסוים אחרי תחילת השתילה, היא חייבת להתחיל עם פחות צמחים.

ובמשוואה: ברגע השוויון t > 0 מתקיים

המספר 1.05 : 1.1 קטן מ-1, ולכן כל חזקה חיובית שלו קטנה מ-1, ו-a קטן מ-600.

סעיף ב: הערך של a

אחרי 17 שבועות מספר הצמחים במשתלה ב' גדול פי 2 ממספרם במשתלה א':

נחשב את החזקות במחשבון:

ונבודד את a:

מספר הצמחים הוא מספר שלם, ולכן a = 544 (בעיגול).

שימו לב שהתשובה מתאימה לסעיף א: 544 קטן מ-600.

סעיף ג: אחוז הירידה במשתלה ב'

מתחילת המכירה מספר הצמחים במשתלה ב' קטן בכל שבוע באחוז קבוע. נסמן את מקדם הדעיכה השבועי ב-q (כלומר בכל שבוע מספר הצמחים מוכפל ב-q, ו-0 < q < 1). אחרי 5 שבועות נשארו 53% מן המספר שבתחילת המכירה. נסמן את המספר הזה ב-N:

בכל שבוע נשאר כ-88.08% מן הצמחים, ולכן הירידה היא:

מספר הצמחים במשתלה ב' קטן בכל שבוע בכ-11.92%.

סעיף ד: מתי שתי המשתלות שוות שוב

נמדוד את הזמן t בשבועות מיום תחילת המכירה. ביום הזה, כלומר אחרי 17 שבועות של שתילה, במשתלה ב' יש פי 2 צמחים ממשתלה א'. נסמן את מספר הצמחים במשתלה א' ביום הזה ב-K (בערך K ≈ 600 × 2.29202 ≈ 1,375.2), ואז במשתלה ב' יש 2K.

מכאן משתלה א' יורדת ב-8% בשבוע (מקדם 0.92), ומשתלה ב' יורדת במקדם q מסעיף ג:

נשווה ונחלק ב-K (שאינו אפס):

המשמעות: משתלה ב' מתחילה כפולה, אבל יורדת מהר יותר, ולכן היתרון שלה נשחק. נוציא לוגריתם משני האגפים:

מספר הצמחים בשתי המשתלות היה שווה כעבור כ-15.9 שבועות מן היום שבו החלו למכור, כלומר במהלך השבוע ה-16.

(מי שמציב q מעוגל ל-0.8808 מקבל כ-15.92, וזו אותה תשובה ברמת דיוק של עשירית.)

בדיקה: 0.92^15.9 ≈ 0.266, ו-2 × 0.88075^15.9 ≈ 2 × 0.133 ≈ 0.266. שווה.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב משאירים a = 544.16, כאילו אפשר לשתול חלק של צמח. בסעיף ג כותבים שהירידה היא 53%, או 47% : 5, במקום לחלץ שורש חמישי. ובסעיף ד מתחילים את הדעיכה מ-600 ומ-a, ושוכחים שהמכירה מתחילה אחרי 17 שבועות של גדילה, כשמשתלה ב' כבר כפולה ממשתלה א'.

פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, חקירת f(x) = e^2x : (x² − 4x + a) (33⅓ נקודות)

הנתונים. a פרמטר, ולפונקצייה יש אסימפטוטה אנכית x = 2.

סעיף א: הערך של a

אסימפטוטה אנכית מופיעה במקום שבו המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס. המונה e^2x חיובי תמיד, ולכן מספיק שהמכנה יתאפס ב-x = 2:

a = 4.

מעכשיו הפונקצייה היא

סעיף ב: חקירה

(1) תחום ההגדרה. אסור שהמכנה יתאפס:

תחום ההגדרה: x ≠ 2.

(2) נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר ה-y (x = 0, שנמצא בתחום):

עם ציר ה-x צריך f(x) = 0, כלומר שהמונה יתאפס. אבל e^2x > 0 לכל x, ולכן אין פתרון.

נקודת חיתוך עם ציר ה-y: (0 , ¼). אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x.

(3) נקודת הקיצון. נגזור לפי כלל המנה:

נוציא גורם משותף 2e^2x(x − 2) מן המונה:

הנגזרת מתאפסת רק כאשר x − 3 = 0, כלומר x = 3. את הסימן קובעים שני גורמים בלבד, x − 3 ו-(x − 2)³, כי 2e^2x חיובי תמיד. החזקה השלישית שומרת על הסימן של x − 2:

שיעור ה-y של הנקודה:

נקודת הקיצון היא (3 , e⁶), כלומר בערך (3 , 403.43), והיא נקודת מינימום.

(ב-x = 2 הנגזרת מחליפה סימן, אבל שם הפונקצייה אינה מוגדרת, ולכן אין שם קיצון.)

סעיף ג: סקיצה

נאסוף את מה שידוע:

• המכנה (x − 2)² חיובי והמונה חיובי, ולכן כל הגרף מעל ציר ה-x.
• כאשר x שואף למינוס אינסוף, e^2x שואף ל-0 והמכנה גדל, ולכן f(x) שואפת ל-0. משמאל הגרף מתקרב לציר ה-x מלמעלה (y = 0 אסימפטוטה אופקית בצד שמאל).
• ליד x = 2 המכנה קטן מאוד וחיובי, ולכן f(x) שואפת לפלוס אינסוף משני הצדדים.
• כאשר x שואף לפלוס אינסוף, המונה המעריכי גדל הרבה יותר מהר מן המכנה הריבועי, ולכן f(x) שואפת לפלוס אינסוף.

הסקיצה: ענף שמאלי (x < 2) שמתחיל קרוב לציר ה-x מלמעלה, עולה כל הזמן, עובר דרך (0 , ¼) ומטפס לפלוס אינסוף ליד הקו x = 2. ענף ימני (x > 2) שיורד מפלוס אינסוף ליד x = 2 עד נקודת המינימום (3 , e⁶), ומשם עולה בלי גבול. הקו המקווקו x = 2 הוא אסימפטוטה אנכית.

סעיף ד: נקודות החיתוך של h(x) = −f(x) + e⁸ עם ציר ה-x

נקודת חיתוך עם ציר ה-x היא מקום שבו h(x) = 0:

לכן השאלה היא: כמה פעמים הגרף של f פוגש את הקו האופקי y = e⁸? נשתמש בחקירה:

• בענף x < 2 הפונקצייה עולה ברציפות מערכים קרובים ל-0 ועד פלוס אינסוף. היא עוברת דרך כל ערך חיובי פעם אחת בדיוק, ובכלל זה e⁸. נקודה אחת.
• בקטע 2 < x < 3 הפונקצייה יורדת מפלוס אינסוף עד e⁶. מכיוון ש-e⁸ > e⁶, היא עוברת דרך e⁸ פעם אחת בדיוק. נקודה אחת.
• בקטע x > 3 הפונקצייה עולה מ-e⁶ עד פלוס אינסוף, ושוב עוברת דרך e⁸ פעם אחת בדיוק. נקודה אחת.

לגרף של h(x) יש 3 נקודות חיתוך עם ציר ה-x.

(לסקרנים: הנקודות נמצאות בערך ב-x ≈ 1.88, ב-x ≈ 2.16 וב-x ≈ 5.15.)

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב(3) מצמצמים את (x − 2) ושוכחים שהמכנה נשאר בחזקה שלישית, ואז טבלת הסימנים יוצאת שגויה משמאל ל-2. בסעיף ד עונים "2" כי רואים רק את הענף הימני, או "אף אחת" כי e⁸ גדול מאוד. המפתח הוא להשוות את e⁸ לערך המינימום e⁶: כיוון שהוא גדול ממנו, הקו האופקי חותך את הענף הימני פעמיים ואת הענף השמאלי פעם אחת.

שאלה 5, f(x) = 3x × (ln x)² וגרף הנגזרת שלה (33⅓ נקודות)

הנתונים. f ו-f′ מוגדרות בתחום x > 0. לפונקצייה נקודת מינימום אחת בלבד ונקודת מקסימום אחת בלבד, והמינימום נמצא מימין למקסימום. בסוף השאלה ארבעה גרפים, I עד IV.

מה רואים בגרפים (מן הסרטוט שבשאלון):

• גרף I: מתחיל למטה מאוד ליד ציר ה-y, עולה וחוצה את ציר ה-x, מגיע לגבעה נמוכה מעל הציר, ואחר כך יורד וחוצה את הציר שוב, ונשאר מתחתיו.
• גרף II: מתחיל גבוה מאוד ליד ציר ה-y, יורד בחדות וחוצה את ציר ה-x, מגיע לשקע מתחת לציר, ואחר כך עולה לאט וחוצה את הציר שוב, ונשאר מעליו.
• גרף III: מתחיל מתחת לציר ה-x, עולה וחוצה אותו, מגיע לגבעה, יורד וחוצה אותו שוב, מגיע לשקע מתחת לציר, ועולה וחוצה אותו פעם שלישית.
• גרף IV: מתחיל בעיגול ריק בראשית, עולה לגבעה, יורד ונוגע בציר ה-x בנקודה אחת בלי לחצות אותו, ומשם עולה. כל הגרף מעל הציר או עליו.

סעיף א: איזה גרף מתאר את f′(x)

נזכור את הקשר: בנקודת מקסימום של f הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ובנקודת מינימום מנגזרת שלילית לחיובית. נקודה שבה f′ רק נוגעת ב-0 בלי להחליף סימן אינה נקודת קיצון.

אנחנו מחפשים גרף שחוצה את ציר ה-x פעמיים בדיוק: קודם מלמעלה למטה (מקסימום), ואחר כך מלמטה למעלה (מינימום, מימין למקסימום).

• גרף I חוצה קודם מלמטה למעלה ואחר כך מלמעלה למטה. זה נותן מינימום ואחריו מקסימום, כלומר המינימום משמאל. נפסל.
• גרף II חוצה קודם מלמעלה למטה ואחר כך מלמטה למעלה: מקסימום ואחריו מינימום. מתאים.
• גרף III חוצה את הציר שלוש פעמים, ולכן ל-f היו שלוש נקודות קיצון (שני מינימומים ומקסימום). נפסל.
• גרף IV אינו יורד אף פעם מתחת לציר, ולכן f′ אינה מחליפה סימן, ול-f אין נקודות קיצון בכלל. נפסל.

גרף II מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

סעיף ב: חקירה של f(x) = 3x × (ln x)²

(1) נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר ה-y: צריך x = 0, אבל 0 אינו בתחום ההגדרה (x > 0). אין חיתוך.

עם ציר ה-x: צריך f(x) = 0.

הגורם 3x חיובי בתחום, ולכן חייב להתקיים ln x = 0, כלומר x = 1.

נקודת חיתוך אחת: (1 , 0) עם ציר ה-x. אין חיתוך עם ציר ה-y.

(2) נקודות הקיצון. נגזור לפי כלל המכפלה. הנגזרת של (ln x)² היא 2ln x × (1x), לפי כלל השרשרת:

הנגזרת מתאפסת כאשר אחד הגורמים מתאפס:

טבלת סימנים (ln x עולה, ולכן משמאל ל-e⁻² הוא קטן מ-−2, ובין e⁻² ל-1 הוא בין −2 ל-0):

שיעורי ה-y:

נקודת מקסימום: (e⁻² , 12 : e²), בערך (0.135 , 1.624). נקודת מינימום: (1 , 0).

זה מתאים לנתוני השאלה: מקסימום אחד ומינימום אחד, והמינימום מימין. וגם לגרף II: כאשר x שואף ל-0 מימין, ln x שואף למינוס אינסוף, ולכן f′(x) = 3ln x(ln x + 2) שואפת לפלוס אינסוף, בדיוק כמו ההתחלה הגבוהה של גרף II.

סעיף ג: איזה גרף מתאר את f(x)

נסכם מה ידוע על f:

• 3x > 0 ו-(ln x)² ≥ 0, ולכן f(x) ≥ 0 בכל התחום: הגרף לא יורד מתחת לציר ה-x.
• כאשר x שואף ל-0 מימין, x(ln x)² שואף ל-0 (למשל f(0.001) ≈ 0.143, f(0.00001) ≈ 0.004), ולכן הגרף מתחיל ליד הראשית, שאינה שייכת לגרף: עיגול ריק.
• הגרף עולה עד מקסימום בגובה של כ-1.62, יורד עד המינימום (1 , 0), שבו הוא נוגע בציר ה-x בלי לחצות אותו, ומשם עולה.

גרף IV מתאר את הפונקצייה f(x). הוא היחיד שמתחיל בעיגול ריק בראשית, נשאר כולו מעל הציר, ונוגע בו בנקודת המינימום.

סעיף ד: השטח בין גרף הנגזרת לציר ה-x

גרף הנגזרת (גרף II) חוצה את ציר ה-x ב-x = e⁻² וב-x = 1, וביניהן הוא מתחת לציר. זה התחום הסגור היחיד שהגרף והציר תוחמים לבדם (משמאל ל-e⁻² ומימין ל-1 הגרף לא חוזר אל הציר). לכן:

את f′ לא צריך לבצע אינטגרל מחדש: הפונקצייה הקדומה של f′ היא f עצמה. לכן:

השטח הוא 12 : e², כלומר בערך 1.62 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א בוחרים בגרף IV כי "יש בו גבעה ושקע", ושוכחים שהשקע רק נוגע בציר, ולכן הנגזרת לא מחליפה סימן. בסעיף ב(2) גוזרים את (ln x)² כאילו היה 2ln x, בלי הכפל ב-1x מכלל השרשרת. ובסעיף ד מנסים למצוא פונקצייה קדומה ל-3(ln x)² + 6ln x, כשהיא כבר נתונה: זו f. חשוב גם לזכור את סימן המינוס, כי השטח נמצא מתחת לציר ה-x.

התשובות בקצרה