התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35472 · חורף · תשפ״ה · 2025
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה
שאלה 1 33⅓ נקודות
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: המנה, האיבר הראשון, סכום הסדרה וההפרש
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | q = 3 או q = −3 |
| ב | a₁ = 6 |
| ג | סכום הסדרה B הוא 16,104 |
| ד | d = 8 |
שאלה 2 33⅓ נקודות
וקטורים במרחב: תיבה, מאונכות, שטח משולש, שיעורי קודקודים וזווית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | AP = v + ⅓w , MP = −u + ½v − ⅙w |
| ב(1) | AP · MP = ½ × 36 − 324 : 18 = 18 − 18 = 0, ולכן AP מאונך ל-MP |
| ב(2) | 18√19 ≈ 78.46 יחידות שטח |
| ג(1) | C′(0 , 18 , 18) , B(6 , 18 , 0) , C(0 , 18 , 0) |
| ג(2) | M(3 , 18 , 9) |
| ד | ∠PMB ≈ 84.11° |
שאלה 3 33⅓ נקודות
גדילה ודעיכה: שתי דעיכות שנפגשות, אחוז הדעיכה, זמן לפי יחס, וזמן הגדילה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | טענה I אינה נכונה (כעבור 6 ימים נפח הגלגל קטן מנפח המזרן). טענה II נכונה (כעבור 8 ימים נפח הגלגל גדול מנפח המזרן). |
| ב | כ-13.05% בכל יום |
| ג | t ≈ 18.09 ימים |
| ד | כ-9.73 דקות |
פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 4 33⅓ נקודות
פונקצייה מעריכית: זיהוי גרף הנגזרת, חקירה, סקיצה, חיתוך עם פונקצייה נוספת ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | גרף I. בגרף II הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי רק בשיעור x שלילי, כלומר המקסימום היחיד היה בשיעור x שלילי, בניגוד לנתון. בגרף I המעבר מחיובי לשלילי הוא בשיעור x חיובי. |
| ב(1) | (√2 , 0) , (−√2 , 0) |
| ב(2) | (−1 , −e³) מינימום , (2 , 2e−3) מקסימום |
| ג | סקיצה: הגרף יורד מפלוס אינסוף משמאל, חוצה את ציר ה-x ב-(−√2 , 0), יורד עד המינימום (−1 , −e³), עולה דרך (0 , −2e) ו-(√2 , 0) עד המקסימום (2 , 2e−3), ומשם יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה בלי לגעת בו |
| ד(1) | e בכל חזקה הוא מספר חיובי, ו-7 חיובי, ולכן המכפלה 7e−2x+1 חיובית לכל x |
| ד(2) | (3 , 7e−5) , (−3 , 7e⁷) |
| ה | 3.5(e⁷ − e−5) ≈ 3,838.19 יחידות שטח |
שאלה 5 33⅓ נקודות
פונקצייה לוגריתמית: תחום, אסימפטוטה, קיצון, זיהוי גרף, ופונקצייה שנגזרתה f(x) − c
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x > 0 וגם x ≠ 1 |
| א(2) | x = 1 |
| א(3) | אין נקודות חיתוך עם הצירים: x = 0 אינו בתחום ההגדרה, והמונה 12x מתאפס רק ב-x = 0 |
| ב(1) | (e² , 3e²) מינימום, כלומר בערך (7.39 , 22.17) |
| ב(2) | 0 < x < 1 , x > e² |
| ג | גרף IV |
| ד(1) | נקודת קיצון אחת בלבד, והיא נקודת מינימום (בקטע 0 < x < 1). בתחום x > 1 מתקיים f(x) ≥ 3e² > 4, ולכן g′ חיובית שם ואינה מחליפה סימן |
| ד(2) | c = 30 (כל c > 3e² ≈ 22.17 מתאים): הקו y = c חוצה את הגרף של f פעם אחת בכל אחד משלושת הקטעים 0 < x < 1 , 1 < x < e² , x > e², ולכן g′ מחליפה סימן שלוש פעמים |