מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1 עד 3), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5). עונים על שלוש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים ורבע. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה

שאלה 1, סדרה הנדסית וסדרה חשבונית (33⅓ נקודות)

הנתונים. A היא סדרה הנדסית שהמנה שלה q, ויש בה 10 איברים. האיבר השישי גדול פי 81 מן האיבר השני. נסמן את איברי הסדרה a₁ , a₂ , ... , a₁₀.

נשתמש בשתי הנוסחאות שבדפי הנוסחאות לסדרה הנדסית:

סעיף א: שני הערכים של q

נכתוב את שני האיברים באמצעות a₁ ו-q:

בסדרה הנדסית a₁ ו-q שונים מאפס, ולכן מותר לחלק את שני האגפים ב-a₁q:

החזקה זוגית, ולכן יש למשוואה שני פתרונות, מספר ונגדו:

q = 3 או q = −3.

סעיף ב: האיבר הראשון

בסדרה של 10 איברים אין איבר אמצעי אחד, יש שניים: החמישי והשישי. לפני החמישי יש ארבעה איברים, ואחרי השישי יש ארבעה.

עכשיו נבחר בין שני הערכים של q. כאשר q = −3, הסימנים מתחלפים מאיבר לאיבר, ולכן לא ייתכן שכל האיברים חיוביים. נשאר q = 3, ואז:

האיבר הראשון בסדרה הוא 6.

בדיקה: a₅ = 6 × 81 = 486 ו-a₆ = 6 × 243 = 1,458, והסכום 486 + 1,458 = 1,944.

סעיף ג: סכום הסדרה B

קודם נחשב את סכום הסדרה A, כל עשרת האיברים:

סכום A גדול פי 11 מסכום B, ולכן סכום B קטן פי 11 מסכום A:

סכום הסדרה B הוא 16,104.

סעיף ד: ההפרש של B

נסמן את האיבר הראשון של B ב-b₁ ואת ההפרש ב-d. בסדרה 33 איברים, והאיבר השני גדול פי 46 מן ההפרש:

נציב בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית, Sₙ = n(2b₁ + (n − 1)d) : 2:

ומסעיף ג הסכום ידוע:

הפרש הסדרה B הוא 8.

בדיקה: b₁ = 45 × 8 = 360 ו-b₂ = 368, ואכן 368 = 46 × 8. האיבר האחרון b₃₃ = 360 + 32 × 8 = 616, והסכום 33 × (360 + 616) : 2 = 33 × 488 = 16,104.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א מוציאים שורש רביעי ושוכחים את הפתרון השלילי. בסעיף ב לוקחים כאיברים האמצעיים את a₆ ו-a₇, או מחליטים ש-q = 3 בלי לנמק. הנימוק הוא שהמנה השלילית מחליפה סימנים, וכאן נתון שכל האיברים חיוביים. ובסעיף ד כותבים b₂ = b₁ + 2d. האיבר השני רחוק מן הראשון בהפרש אחד בלבד.

שאלה 2, וקטורים במרחב: תיבה (33⅓ נקודות)

הנתונים. ABCDA′B′C′D′ היא תיבה. הנקודה M היא מפגש האלכסונים בפאה BCC′B′. הנקודה P נמצאת על המקצוע DD′, ו-DP = ⅓DD′. מסמנים:

סימונים: בשאלה הזאת כל שם של שתי אותיות, כמו AP, הוא הווקטור מן האות הראשונה אל האות השנייה. |v| הוא האורך של הווקטור v, ו-u · v היא המכפלה הסקלרית.

שתי עובדות על התיבה ילוו אותנו לאורך כל השאלה:

סעיף א: הווקטורים AP ו-MP

הווקטור AP. הולכים מ-A אל D, ומשם עולים על המקצוע DD′ שליש מאורכו:

הווקטור MP. הפאה BCC′B′ היא מלבן, ובמלבן האלכסונים חוצים זה את זה. לכן M היא אמצע האלכסון BC′, ומ-B אל M הולכים חצי מן הדרך מ-B אל C′:

עכשיו הולכים מ-M אל P דרך B ודרך A:

AP = v + ⅓w , MP = −u + ½v − ⅙w.

סעיף ב: מאונכות ושטח המשולש APM

נתון |v| = 6 ו-|w| = |u| = 18, ולכן v · v = 36 ו-w · w = u · u = 324.

(1) שני וקטורים שאינם וקטור האפס מאונכים זה לזה בדיוק כאשר המכפלה הסקלרית שלהם היא אפס. נפתח סוגריים, וכל מכפלה של שני כיוונים שונים מתאפסת:

המכפלה הסקלרית היא אפס, ולכן AP מאונך ל-MP.

(2) מסעיף (1) הזווית APM ישרה, ולכן המשולש APM ישר זווית ב-P, ושני הניצבים שלו הם AP ו-MP. נחשב את אורכיהם, שוב בעזרת ריבוע האורך:

שטח משולש ישר זווית הוא מכפלת הניצבים לחלק ל-2:

שטח המשולש APM הוא 18√19, כלומר כ-78.46 יחידות שטח.

סעיף ג: שיעורי הקודקודים והנקודה M

נתון D(0 , 0 , 0), ושלושת המקצועות היוצאים מ-D מונחים על שלושת הצירים, בכיוון החיובי. נקרא את האורך של כל אחד מהם מן הנתונים:

(1) הקודקוד C כבר נמצא: C(0 , 18 , 0).

הקודקוד B מתקבל מ-A בצעד שווה ל-DC, כי AB = DC:

הקודקוד C′ מתקבל מ-C בעלייה של 18 בכיוון ציר ה-z:

(2) M היא אמצע הקטע BC′, ולכן כל שיעור שלה הוא ממוצע השיעורים של B ושל C′:

M(3 , 18 , 9).

בדיקה בעזרת האלכסון השני: B′(6 , 18 , 18) ו-C(0 , 18 , 0), והאמצע שלהם הוא שוב (3 , 18 , 9).

סעיף ד: הזווית PMB

הקודקוד של הזווית PMB הוא M, ולכן נשתמש בשני וקטורים שיוצאים מ-M: אל P ואל B.

הנקודה P נמצאת שליש מן הדרך מ-D אל D′, כלומר בגובה 18 : 3 = 6 מעל D:

בדיקה מול סעיף א: u = (0 , 18 , 0), v = BC = (−6 , 0 , 0), w = (0 , 0 , 18), ולכן −u + ½v − ⅙w = (−3 , −18 , −3). יצא אותו וקטור.

גודל הזווית PMB הוא כ-84.11°.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א כותבים AP = u + ⅓w, כאילו P על המקצוע שמעל B. P נמצאת על DD′, ומ-A מגיעים אל D דרך v. בסעיף ב(1) שוכחים שבתיבה כל מכפלה של שני כיוונים שונים היא אפס, ומסתבכים בחישוב מיותר. ובסעיף ד לוקחים את MP ואת BM במקום את MP ואת MB: וקטור אחד בכיוון הפוך נותן את הזווית המשלימה, כ-95.89°, וזו טעות. שני הווקטורים צריכים לצאת מן הקודקוד M.

שאלה 3, גדילה ודעיכה (33⅓ נקודות)

הנתונים. ביום הקנייה נפח הגלגל 4,900 סמ"ק ונפח המזרן 9,800 סמ"ק. כל אחד מהם קטן באחוז קבוע בכל יום, כל אחד באחוז אחר. כעבור 7 ימים הנפחים היו שווים.

נסמן ב-q₁ את המספר שבו מוכפל נפח הגלגל בכל יום, וב-q₂ את המספר שבו מוכפל נפח המזרן. שניהם בין 0 ל-1, כי מדובר בדעיכה. לפי נוסחת הגדילה והדעיכה, כעבור t ימים:

סעיף א: הטענות I ו-II

נכתוב את השוויון ביום השביעי:

כלומר q₁ גדול מ-q₂: הגלגל מאבד אוויר באחוז קטן יותר. זה הגיוני, כי המזרן התחיל בנפח כפול, ובכל זאת הגלגל השיג אותו.

עכשיו נבדוק את היחס בין נפח הגלגל לנפח המזרן אחרי t ימים:

הבסיס 2 גדול מ-1, ולכן היחס גדל ככל ש-t גדל. ביום 7 הוא שווה בדיוק ל-1.

טענה I אינה נכונה: כעבור 6 ימים נפח הגלגל היה קטן מנפח המזרן. טענה II נכונה: כעבור 8 ימים נפח הגלגל היה גדול מנפח המזרן.

במילים פשוטות: עד היום השביעי המזרן גדול יותר, וביום השביעי הגלגל משיג אותו. מאז והלאה המזרן ממשיך להתרוקן מהר יותר, והגלגל נשאר גדול ממנו.

סעיף ב: האחוז שבו קטן נפח המזרן

נפח הגלגל קטן ב-4% בכל יום, ולכן q₁ = 1 − 0.04 = 0.96. נציב בשוויון של היום השביעי:

בכל יום נפח המזרן מוכפל ב-0.8695, כלומר נשאר ממנו 86.95%. החלק שהוא מאבד בכל יום:

נפח המזרן קטן בכ-13.05% בכל יום.

בדיקה: 4,900 × 0.96⁷ ≈ 3,682, וגם 9,800 × 0.8695⁷ ≈ 3,682.

סעיף ג: מתי נפח המזרן הוא שליש מנפח הגלגל

נעביר את החזקות לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני:

מסעיף ב אנחנו יודעים ש-0.96 : q₂ = 2^1/7, ולכן:

אפשר לפתור גם עם הערך המעוגל q₂ ≈ 0.8695, כלומר t = log 6 : log(0.96 : 0.8695), ומתקבל כ-18.1. ההבדל נובע רק מן העיגול.

t ≈ 18.09, כלומר כעבור כ-18.1 ימים.

בדיקה: כעבור 18.09 ימים נפח הגלגל כ-2,341 סמ"ק ונפח המזרן כ-780 סמ"ק, ואכן 2,341 : 3 ≈ 780.

סעיף ד: משך הניפוח

בכל דקה הנפח גדל ב-23%, כלומר מוכפל ב-1.23. נסמן ב-n את מספר הדקות. את הנפח בתחילת הניפוח איננו יודעים, אבל אין בו צורך: נתון רק פי כמה הוא גדל.

הניפוח נמשך כ-9.73 דקות.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א מנסים לענות בלי חישוב, לפי "מי מתרוקן מהר יותר", ומתבלבלים בכיוון. היחס 2^{t/7 − 1} פותר את זה בשורה אחת. בסעיף ב עונים 86.95%, וזה מה שנשאר מן המזרן, לא האחוז שבו הוא קטן. בסעיף ג הופכים את היחס וכותבים שהמזרן גדול פי 3 מן הגלגל. ובסעיף ד מחפשים את הנפח בתחילת הניפוח, אבל הוא מצטמצם ואין בו צורך.

פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, פונקצייה מעריכית (33⅓ נקודות)

הנתונים. הפונקצייה f(x) והנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפונקצייה f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד, ושיעור ה-x שלה חיובי. לפנינו שני גרפים, I ו-II, ואחד מהם הוא הגרף של f′(x).

סעיף א: איזה גרף מתאר את f′(x)

בנקודת מקסימום הנגזרת מחליפה סימן מחיובי לשלילי: לפני המקסימום הפונקצייה עולה, ואחריו היא יורדת. לכן נחפש בכל גרף את המקום שבו הוא חוצה את ציר ה-x מלמעלה למטה.

• גרף II מתחיל מעל ציר ה-x, חוצה אותו מלמעלה למטה משמאל לציר ה-y, יורד ואחר כך חוצה שוב, הפעם מלמטה למעלה, מימין לציר ה-y. אם זה היה גרף הנגזרת, הייתה ל-f נקודת מקסימום אחת ושיעור ה-x שלה שלילי. זה סותר את הנתון.
• גרף I מתחיל מתחת לציר ה-x, חוצה אותו מלמטה למעלה משמאל לציר ה-y (שם יש ל-f מינימום), וחוצה אותו מלמעלה למטה מימין לציר ה-y (שם יש ל-f מקסימום). יש בו חצייה אחת בלבד מלמעלה למטה, והיא בשיעור x חיובי.

הגרף I מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

מעכשיו נתון:

עובדה שתעזור לאורך כל השאלה: e בחזקת כל מספר הוא חיובי, ולכן e^−2x+1 > 0 לכל x.

סעיף ב: חיתוך עם ציר ה-x ונקודות הקיצון

(1) מכפלה מתאפסת רק כאשר אחד הגורמים מתאפס. הגורם e^−2x+1 לעולם אינו אפס, ולכן:

נקודות החיתוך עם ציר ה-x: (√2 , 0) ו-(−√2 , 0), כלומר בערך (1.41 , 0) ו-(−1.41 , 0).

(2) נגזור לפי כלל המכפלה, (u × v)′ = u′v + uv′. כאן u = x² − 2 ולכן u′ = 2x, ו-v = e^−2x+1 ולכן v′ = −2e^−2x+1 (נגזרת המעריך היא −2):

הגורם −2e^−2x+1 שלילי תמיד, ולכן הסימן של f′(x) הפוך לסימן של (x − 2)(x + 1):

נציב כדי למצוא את שיעורי ה-y:

(−1 , −e³) היא נקודת מינימום, ו-(2 , 2e⁻³) היא נקודת מקסימום.

וזה מתאים לסעיף א: מקסימום אחד, בשיעור x חיובי, ומינימום בשיעור x שלילי, בדיוק כמו בגרף I.

סעיף ג: סקיצה

לפני הציור נאסוף עוד שלושה דברים:

• חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = (0 − 2) × e¹ = −2e ≈ −5.44, כלומר (0 , −2e).
• כאשר x שלילי וגדול בערכו המוחלט, גם x² − 2 וגם e^−2x+1 גדלים בלי גבול, ולכן הגרף עולה לפלוס אינסוף משמאל.
• כאשר x גדל, e^−2x+1 שואף ל-0 מהר הרבה יותר משגדל x², ולכן הגרף מתקרב לציר ה-x. מימין ל-√2 הגורם x² − 2 חיובי, ולכן הוא מתקרב לציר מלמעלה.

ועכשיו הציור, משמאל לימין:

• הגרף יורד מלמעלה, חוצה את ציר ה-x בנקודה (−√2 , 0), וממשיך לרדת עד נקודת המינימום (−1 , −e³), כ-20 יחידות מתחת לציר.
• משם הוא עולה, חותך את ציר ה-y בנקודה (0 , −2e), וחוצה את ציר ה-x בנקודה (√2 , 0).
• הוא ממשיך לעלות מעט, עד נקודת המקסימום (2 , 2e⁻³), שנמצאת ממש מעל ציר ה-x, בגובה של כ-0.1 בלבד.
• משם הוא יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה, בלי לגעת בו.

סעיף ד: הפונקצייה g(x) = 7e^−2x+1

(1) e בחזקת כל מספר הוא מספר חיובי, ולכן e^−2x+1 > 0 לכל x. כשכופלים מספר חיובי ב-7, שגם הוא חיובי, מתקבל מספר חיובי. לכן g(x) > 0 לכל x.

(2) נשווה בין שתי הפונקציות:

מסעיף (1) הביטוי e^−2x+1 אינו אפס לעולם, ולכן מותר לחלק בו את שני האגפים:

את שיעורי ה-y נוח לחשב ב-g, שהיא פשוטה יותר:

נקודות החיתוך: (3 , 7e⁻⁵) ו-(−3 , 7e⁷).

סעיף ה: השטח

האנכים לציר ה-x עוברים ב-x = −3 וב-x = 3. מסעיף ד(1) הגרף של g כולו מעל ציר ה-x, ולכן השטח שווה לאינטגרל של g בין שני הקווים.

פונקצייה קדומה של e^ax+b היא (1a) × e^ax+b. כאן a = −2, ולכן:

השטח הוא 3.5(e⁷ − e⁻⁵), כלומר כ-3,838.19 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א בוחרים גרף לפי "איפה יש לנגזרת מקסימום", אבל המקסימום של f נקבע לפי המקום שבו f′ חוצה את הציר מלמעלה למטה, לא לפי השיא של f′. בסעיף ב(2) שוכחים את הגורם −2 שיוצא מנגזרת המעריך, ומקבלים נקודות קיצון אחרות לגמרי. ומי שמוציא את −2 מן הסוגריים ומאבד את הסימן, הופך את סוג שתי הנקודות. וגם: f(−1) כולל את e³ ולא את e⁻¹, כי −2 × (−1) + 1 = 3. ובסעיף ה שוכחים לחלק ב-(−2), או מחסרים בסדר הפוך ומקבלים שטח שלילי.

שאלה 5, פונקצייה לוגריתמית (33⅓ נקודות)

הנתונים.

סעיף א: תחום, אסימפטוטה וחיתוך עם הצירים

(1) שני תנאים. הביטוי ln x מוגדר רק כאשר x > 0. והמכנה (ln x)² אסור שיהיה אפס, כלומר ln x ≠ 0, ומכאן x ≠ 1.

תחום ההגדרה: x > 0 וגם x ≠ 1.

(2) ב-x = 1 המכנה מתאפס, ואילו המונה שווה ל-12 ואינו מתאפס. כשהמכנה שואף לאפס והמונה נשאר 12, השבר גדל בלי גבול.

האסימפטוטה האנכית: x = 1.

ליד x = 0 אין אסימפטוטה: כאשר x מתקרב ל-0 מימין, המונה 12x שואף ל-0 והמכנה (ln x)² גדל בלי גבול, ולכן f(x) שואפת ל-0.

(3) חיתוך עם ציר ה-y פירושו x = 0, אבל 0 אינו בתחום ההגדרה. חיתוך עם ציר ה-x פירושו f(x) = 0, ושבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, כלומר 12x = 0, ושוב x = 0, שאינו בתחום.

לגרף אין נקודות חיתוך עם הצירים.

יתרה מזו: בכל התחום x > 0, ולכן המונה 12x חיובי, והמכנה הוא ריבוע ולכן חיובי. f(x) > 0 בכל תחום ההגדרה, והגרף כולו מעל ציר ה-x. זה ישמש אותנו בסעיף ג.

סעיף ב: נקודת הקיצון ותחומי העלייה

(1) נגזור לפי כלל המנה, (u : v)′ = (u′v − uv′) : v². כאן u = 12x ולכן u′ = 12, ו-v = (ln x)² ולכן לפי כלל השרשרת v′ = 2ln x × (1x):

הצמצום ב-ln x מותר, כי בתחום ההגדרה ln x ≠ 0.

כדי לקבוע את הסוג נבדוק את הסימן של f′(x) בכל קטע. הנקודה x = 1, שבה ln x = 0, אינה בתחום, והיא מחלקת את הציר:

(e² , 3e²) היא נקודת מינימום, כלומר בערך (7.39 , 22.17).

(2) מן הטבלה: f(x) עולה בתחומים 0 < x < 1 ו-x > e².

סעיף ג: איזה גרף מתאר את f(x)

מסעיף א(3) הגרף כולו מעל ציר ה-x, בשני הענפים. נעבור על הגרפים:

• בגרף I הענף הימני מתחת לציר ה-x, ויש בו מקסימום. נפסל.
• בגרף II הענף השמאלי, שבין 0 ל-1, מתחת לציר ה-x. נפסל.
• בגרף III שני הענפים מתחת לציר ה-x. נפסל.
• בגרף IV שני הענפים מעל ציר ה-x: הענף השמאלי עולה מן הראשית אל האסימפטוטה, והענף הימני יורד מן האסימפטוטה אל נקודת מינימום ומשם עולה. זה בדיוק מה שמצאנו בסעיף ב.

הגרף IV מתאר את הפונקצייה f(x).

סעיף ד: הפונקצייה g(x) שנגזרתה f(x) − c

תחום ההגדרה של g זהה לזה של f, ו-g′(x) = f(x) − c. לפונקצייה g יש נקודת קיצון בדיוק במקום שבו g′ מחליפה סימן, כלומר במקום שבו הגרף של f חוצה את הקו האופקי y = c:

• אם הגרף של f עובר מתחת לקו אל מעליו, g′ עוברת משלילי לחיובי, ול-g יש מינימום.
• אם הגרף של f עובר ממעל לקו אל מתחתיו, g′ עוברת מחיובי לשלילי, ול-g יש מקסימום.

נסכם את ההתנהגות של f, מסעיפים א ו-ב:

• בקטע 0 < x < 1, f עולה מקרוב ל-0 (ליד הראשית) עד פלוס אינסוף (ליד האסימפטוטה).
• בקטע 1 < x < e², f יורדת מפלוס אינסוף עד 3e² ≈ 22.17.
• בקטע x > e², f עולה מ-3e² בלי גבול. למשל f(e⁴) = 12e⁴ : 16 ≈ 40.9 ו- f(e⁶) = 12e⁶ : 36 ≈ 134.5.

(1) c = 4. נבדוק כל קטע:

• בקטע 0 < x < 1 הפונקצייה f עולה ברציפות מקרוב ל-0 עד אינסוף, ולכן היא חוצה את הקו y = 4 פעם אחת בדיוק, מלמטה למעלה. שם g′ עוברת משלילי לחיובי: מינימום.
• בכל התחום x > 1 הערך הקטן ביותר של f הוא 3e² ≈ 22.17, והוא גדול מ-4. לכן g′(x) = f(x) − 4 > 0 בכל הקטע הזה, ואין בו החלפת סימן.
• בנקודה x = 1 עצמה g אינה מוגדרת, ולכן אין שם נקודת קיצון.

ל-g יש נקודת קיצון אחת בלבד, והיא נקודת מינימום (בקטע 0 < x < 1, בערך ב-x ≈ 0.36, אבל השאלה אינה דורשת את מיקומה).

(2) כדי לקבל שלוש החלפות סימן, הקו y = c צריך לחצות את הגרף של f בכל אחד משלושת הקטעים. בקטע השמאלי זה קורה לכל c חיובי. בשני הקטעים הימניים זה קורה רק כאשר הקו עובר מעל נקודת המינימום, כלומר c > 3e² ≈ 22.17.

ניקח למשל c = 30:

• בקטע 0 < x < 1, f חוצה את 30 מלמטה למעלה: מינימום של g.
• בקטע 1 < x < e², f יורדת מאינסוף עד 22.17 וחוצה את 30 מלמעלה למטה: מקסימום של g.
• בקטע x > e², f עולה מ-22.17 בלי גבול וחוצה את 30 מלמטה למעלה: מינימום של g.

c = 30 (וכל c > 3e² מתאים). ל-g יש אז שלוש נקודות קיצון: שתי נקודות מינימום, ונקודת מקסימום אחת ביניהן.

שימו לב שהערך c = 3e² עצמו אינו מתאים: שם הקו רק משיק לגרף בנקודת המינימום, g′ מתאפסת ב-x = e² אבל אינה מחליפה סימן, ונשארת ל-g נקודת קיצון אחת בלבד.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(1) כותבים x > 0 ושוכחים את x ≠ 1, וזה מפיל אחר כך את האסימפטוטה ואת הטבלה. בסעיף ב(1) מאבדים את הסימן של (ln x)³ בקטע 0 < x < 1, ומסיקים בטעות שהפונקצייה יורדת שם. בסעיף ד(1) סופרים את x = 1 או את נקודת המינימום של f כנקודות קיצון של g. והן לא: הקיצון של g נקבע לפי החצייה של הקו y = c, לא לפי הקיצון של f. ובסעיף ד(2) בוחרים c = 3e², ומקבלים השקה במקום שתי חציות.

התשובות בקצרה