התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35472 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ו · 2026
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה
שאלה 1 33⅓ נקודות
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית: איבר ראשון, סכום, הפרש וסכום של סדרה הנדסית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 70 ק"ג |
| ב | 1,480 ק"ג |
| ג | d = 7 |
| ד | 80 ק"ג |
שאלה 2 33⅓ נקודות
וקטורים במרחב: פירמידה, נפח, מכפלה סקלרית, מאונכות ושטח משולש
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | BC = v − u , BS = w − u , AE = ½u + ½w , AF = ⅓u + ⅔v |
| ב | 24√3 ≈ 41.57 יחידות נפח |
| ג(1) | u · v = −18 |
| ג(2) | AE · AF = ⅙ × 36 + ⅓ × (−18) + 0 + 0 = 0, ולכן AE מאונך ל-AF (u · w = v · w = 0 כי AS מאונך למישור הבסיס) |
| ד(1) | |AF| = 2√3 ≈ 3.46 |
| ד(2) | 5√3 ≈ 8.66 יחידות שטח |
שאלה 3 33⅓ נקודות
גדילה מעריכית: שני כלים, אחוז הגדילה, זיהוי גרף, ערך התחלתי וזמן ההשתוות
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | כ-80.53 מיליון משתמשים |
| ב | כ-20.09% בכל שנה |
| ג | גרף II. גורם הגדילה של B (כ-1.2) גדול מזה של A (1.1), ולכן B גדל מהר יותר: הגרף שלו תלול יותר ונמצא מעל אחרי נקודת החיתוך, ולכן גם מתחיל נמוך יותר |
| ד | כ-20.23 מיליון משתמשים |
| ה | כעבור כ-10.31 שנים מתחילת 2025 (בשנת 2035) |
פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 4 33⅓ נקודות
פונקצייה מעריכית עם פרמטר: שיפוע משיק, חקירה, סקיצה, חיתוך עם פונקצייה נוספת ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | a = 10 |
| ב(1) | (0 , 10e) , (2.5 , 0) |
| ב(2) | (2 , 2e³) מקסימום |
| ג | סקיצה: משמאל הגרף מתקרב לציר ה-x מלמעלה, עולה דרך (0 , 10e) עד המקסימום (2 , 2e³), יורד, חוצה את ציר ה-x ב-(2.5 , 0) ושואף למינוס אינסוף |
| ד | e בכל חזקה הוא מספר חיובי, ו-4 חיובי, ולכן המכפלה 4e2x−1 חיובית לכל x |
| ה | A(1.5 , 4e²) |
| ו | 2e² − 2e ≈ 14.04 יחידות שטח |
שאלה 5 33⅓ נקודות
פונקצייה לוגריתמית: קריאת גרף הנגזרת, חקירה, סקיצה והזזה אופקית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | היגד I לא נכון: f′ מחליפה סימן רק בשתי נקודות, ולכן ל-f יש בדיוק שתי נקודות קיצון. היגד II לא נכון: בחיתוך השמאלי f′ עוברת ממינוס לפלוס (מינימום) ובחיתוך הימני מפלוס למינוס (מקסימום), ולכן שיעור ה-x של המינימום קטן משל המקסימום |
| ב(1) | (1 , 0) בלבד. אין חיתוך עם ציר ה-y כי x > 0 |
| ב(2) | (1 , 0) מינימום , (e , 14e²) מקסימום |
| ב(3) | עולה ב-1 < x < e , יורדת ב-0 < x < 1 וב-x > e |
| ג | סקיצה: הגרף יורד מפלוס אינסוף לאורך ציר ה-y, נוגע בציר ה-x במינימום (1 , 0), עולה למקסימום (e , 14e²) ומשם יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה בלי לגעת בו. f(x) ≥ 0 בכל התחום |
| ד(1) | x > 4 |
| ד(2) | (5 , 0) מינימום , (4 + e , 14e²) מקסימום |