מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1 עד 3), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5). עונים על שלוש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה

שאלה 1, סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (33⅓ נקודות)

הנתונים. בחנות גלידה הכינו גלידת שוקולד, ובכל יום הכינו 3 ק"ג יותר מביום שלפניו. ביום הראשון וביום הרביעי יחד הכינו 149 ק"ג.

"בכל יום 3 יותר מביום שלפניו" הוא בדיוק התיאור של סדרה חשבונית: נסמן ב-a₁ את הכמות ביום הראשון, וההפרש הוא d = 3. נזדקק לשתי נוסחאות מדפי הנוסחאות:

סעיף א: הכמות ביום הראשון

האיבר הרביעי רחוק שלושה צעדים מן הראשון:

ונתון שסכום שני הימים הוא 149:

ביום הראשון הכינו 70 ק"ג גלידת שוקולד.

בדיקה: ביום הרביעי הכינו 70 + 9 = 79 ק"ג, ו-70 + 79 = 149, כנדרש.

סעיף ב: כל גלידת השוקולד

התהליך נמשך 16 ימים, ולכן מחפשים את סכום 16 האיברים הראשונים:

בסך הכול הכינו 1,480 ק"ג גלידת שוקולד.

סעיף ג: ההפרש d של גלידת הווניל

גם גלידת הווניל היא סדרה חשבונית של 16 ימים, וההפרש שלה d. נתונים שני דברים:

• ביום האחרון, היום ה-16, הכינו 115 ק"ג, כלומר b₁₆ = 115.
• הכמות הכוללת קטנה ב-480 ק"ג מכמות השוקולד:

כשידוע האיבר האחרון, נוח להשתמש בצורה האחרת של נוסחת הסכום, ממוצע האיבר הראשון והאחרון כפול מספר האיברים:

ועכשיו נמצא את d מן האיבר ה-16:

d = 7, כלומר בכל יום הכינו 7 ק"ג גלידת וניל יותר מביום שלפניו.

סעיף ד: הכמות שנמכרה ביום הראשון

כל הגלידה נמכרה, שוקולד ווניל יחד:

המכירה נמשכה 5 ימים, ובכל יום מכרו פי 2 מביום שלפניו. זו סדרה הנדסית שהמנה שלה q = 2, וסכום חמשת האיברים שלה הוא 2,480. נסמן ב-c את הכמות ביום הראשון ונשתמש בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית:

ביום הראשון של המכירה נמכרו 80 ק"ג גלידה.

בדיקה: 80 + 160 + 320 + 640 + 1,280 = 2,480.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א כותבים a₄ = a₁ + 4d, כאילו מן היום הראשון לרביעי יש ארבעה צעדים. יש שלושה. בסעיף ג מנסים למצוא את d ישירות מנוסחת הסכום עם a₁ ונתקעים עם שני נעלמים. מי ששם לב שהאיבר האחרון נתון, מקבל את b₁ בשורה אחת. ובסעיף ד שוכחים לחבר את הווניל, ומחלקים רק את 1,480.

שאלה 2, וקטורים במרחב: פירמידה (33⅓ נקודות)

הנתונים. בפירמידה ABCS המקצוע AS מאונך למישור הבסיס ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BS, והנקודה F נמצאת על BC כך ש-BF = ⅔ BC (כווקטורים). מסמנים:

כל השמות AB, AF וכדומה בשאלה הזאת הם וקטורים, אלא אם כתוב |AF|, שהוא האורך.

סעיף א: ארבעה וקטורים

הכלל שמלווה אותנו: כדי ללכת מנקודה לנקודה, אפשר לעבור דרך A. ההליכה מ-B ל-A היא −u, ומשם הולכים ליעד.

BC. מ-B חוזרים ל-A ומשם ל-C:

BS. באותה דרך, מ-B ל-A ומשם ל-S:

AE. הולכים מ-A ל-B, ומשם חצי הדרך אל S, כי E היא אמצע BS:

AF. הולכים מ-A ל-B, ומשם שני שלישים מן הדרך אל C:

התשובה:

סעיף ב: נפח הפירמידה

נתון: ∠BAC = 120°, |u| = |v| = 6, |w| = 8.

נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס הוא המשולש ABC, ונתונות בו שתי צלעות והזווית שביניהן:

הגובה הוא AS, כי AS מאונך למישור הבסיס, ואורכו |w| = 8:

נפח הפירמידה הוא 24√3, כלומר כ-41.57 יחידות נפח.

סעיף ג: מכפלה סקלרית ומאונכות

(1) לפי ההגדרה, מכפלה סקלרית היא מכפלת האורכים בקוסינוס הזווית שביניהם. הזווית בין u ל-v היא הזווית BAC:

u · v = −18.

(2) שני וקטורים מאונכים בדיוק כשהמכפלה הסקלרית שלהם היא 0. לפני החישוב נאסוף את מה שנצטרך:

• |u|² = 36 , |w|² = 64 , u · v = −18 (מסעיף 1).
• AS מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר במישור הזה, ובפרט ל-AB ול-AC. לכן u · w = 0 וגם v · w = 0.

עכשיו נכפול את הביטויים מסעיף א, איבר באיבר:

המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AE מאונך ל-AF.

סעיף ד: האורך |AF| ושטח המשולש EAF

(1) אורך של וקטור מחשבים דרך הריבוע שלו, |AF|² = AF · AF:

|AF| = 2√3, כלומר כ-3.46.

(2) מסעיף ג(2) הזווית EAF ישרה, ולכן המשולש EAF ישר זווית ב-A, ושני הניצבים שלו הם AE ו-AF. נשאר לחשב את |AE| באותה שיטה:

שטח משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים:

שטח המשולש EAF הוא 5√3, כלומר כ-8.66 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א הופכים כיוון: BC = u − v במקום v − u. כדאי תמיד לומר בקול "מ-B אל A, ומ-A אל C". בסעיף ב לוקחים את הגובה מן הקודקוד S אל BC, אבל AS עצמו מאונך לבסיס, והוא הגובה. בסעיף ג(2) שוכחים לנמק למה u · w = 0. הנימוק הוא שהמקצוע AS מאונך למישור הבסיס, ולא די לכתוב "רואים בסרטוט".

שאלה 3, גדילה ודעיכה (33⅓ נקודות)

הנתונים. בתחילת 2025 השתמשו בכלי A 50 מיליון אנשים, ומספר המשתמשים בו צפוי לעלות ב-10% בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי B צפוי לעלות באחוז קבוע בכל שנה.

נסמן ב-t את מספר השנים מתחילת 2025. גדילה באחוז קבוע מתוארת בנוסחה

כאשר M₀ הוא הכמות ההתחלתית ו-q הוא גורם הגדילה. עלייה של 10% פירושה q = 1.1.

סעיף א: כלי A בתחילת 2030

מתחילת 2025 עד תחילת 2030 עוברות 5 שנים:

בתחילת 2030 צפויים להשתמש בכלי A כ-80.53 מיליון אנשים.

סעיף ב: אחוז הגדילה של כלי B

מתחילת 2025 עד תחילת 2031 עוברות 6 שנים, ובהן מספר המשתמשים גדל פי 3. נסמן ב-B₀ את מספר המשתמשים ההתחלתי וב-q את גורם הגדילה:

את B₀ אנחנו לא יודעים, אבל אין צורך: הוא מופיע בשני האגפים ומצטמצם:

גורם גדילה 1.20094 פירושו עלייה של 0.20094 מן הכמות בכל שנה, כלומר כ-20.09%.

מספר המשתמשים בכלי B צפוי לגדול בכ-20.09% בכל שנה.

סעיף ג: איזה גרף מתאר את כלי B

שני הגרפים נחתכים: גרף II מתחיל נמוך יותר, אבל אחרי נקודת החיתוך הוא עובר את גרף I ונעשה תלול ממנו.

בגדילה מעריכית, מי שגורם הגדילה שלו גדול יותר גדל מהר יותר, ובסופו של דבר עוקף את האחר. גורם הגדילה של B, כ-1.2, גדול מזה של A, שהוא 1.1. לכן B הוא הגרף שמימין לנקודת החיתוך נמצא מעל, וגם עולה בתלילות רבה יותר.

גרף II מתאר את מספר המשתמשים בכלי B. כדי ששני הגרפים ייפגשו, הכלי שגדל מהר יותר חייב להתחיל נמוך יותר, וזה בדיוק המצב בגרף II. (בסעיף ד נקבל שאכן B₀ קטן מ-50.)

סעיף ד: מספר המשתמשים בכלי B בתחילת 2025

נתון שבתחילת 2030 כלי A גדול ב-30 מיליון מכלי B. מסעיף א:

ומצד שני B(5) = B₀ × q⁵, כאשר q⁶ = 3. נחשב:

בתחילת 2025 השתמשו בכלי B כ-20.23 מיליון אנשים.

הערה על עיגול: מי שמעגל את q ל-1.2 בדיוק מקבל q⁵ = 2.48832 ו-B₀ ≈ 20.31. ההפרש נובע מן העיגול בלבד, ולכן כדאי להשאיר במחשבון את הערך המלא של q.

סעיף ה: מתי יהיו בשני הכלים אותו מספר משתמשים

נשווה בין שתי הנוסחאות:

נעביר את כל מה שתלוי ב-t לצד אחד ואת המספרים לצד השני:

ונוציא log משני האגפים:

מספר המשתמשים בשני הכלים צפוי להשתוות כעבור כ-10.31 שנים מתחילת 2025, כלומר בשנת 2035.

בדיקה: 50 × 1.1^10.31 ≈ 133.6 , וגם 20.226 × 1.20094^10.31 ≈ 133.6.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב סופרים 5 שנים במקום 6, כי מתבלבלים בין 2030 ל-2031. ספרו תמיד בהפרש השנים: 2031 − 2025 = 6. בסעיף ג בוחרים את הגרף שמתחיל גבוה, כאילו "גדל יותר" פירושו "גדול יותר". ההכרעה היא לפי התלילות ולפי מי שנמצא מעל אחרי נקודת החיתוך. בסעיפים ד ו-ה עיגול מוקדם של q מזיז את התוצאה במאית או שתיים.

פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, פונקצייה מעריכית (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = (a − 4x) × e^2x−1, מוגדרת לכל x, ו-a הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x = 0 הוא 16e.

עובדה שתלווה אותנו לאורך כל השאלה: e בחזקת כל מספר הוא חיובי, ולכן e^2x−1 > 0 לכל x.

סעיף א: הערך של a

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת. נגזור לפי כלל המכפלה, (u × v)′ = u′v + uv′. כאן u = a − 4x ולכן u′ = −4, ו-v = e^2x−1 ולכן v′ = 2e^2x−1:

נציב x = 0:

ונשווה לנתון:

a = 10.

מעכשיו f(x) = (10 − 4x) × e^2x−1, והנגזרת שלה, לפי הביטוי שמצאנו:

סעיף ב: חיתוך עם הצירים ונקודת הקיצון

(1) חיתוך עם ציר ה-y: נציב x = 0:

חיתוך עם ציר ה-x: מכפלה מתאפסת רק כאשר אחד הגורמים מתאפס. הגורם e^2x−1 לעולם אינו אפס, ולכן:

נקודות החיתוך עם הצירים: (0 , 10e), כלומר בערך (0 , 3.68), ו-(2.5 , 0).

(2) נשווה את הנגזרת לאפס:

הגורם 8e^2x−1 חיובי תמיד, ולכן הסימן של f′(x) הוא הסימן של 2 − x:

נציב כדי למצוא את שיעור ה-y:

(2 , 2e³) היא נקודת מקסימום, כלומר בערך (2 , 40.17).

סעיף ג: סקיצה

לפני הציור נבדוק את שני הקצוות:

• כאשר x שלילי וגדול בערכו המוחלט, e^2x−1 שואף ל-0 מהר הרבה יותר משגדל 10 − 4x, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-x. משמאל ל-2.5 הגורם 10 − 4x חיובי, ולכן הוא מתקרב לציר מלמעלה.
• כאשר x גדל, 10 − 4x שלילי וגדל בערכו המוחלט, ו-e^2x−1 גדל מאוד, ולכן הגרף יורד למינוס אינסוף.

ועכשיו הציור, משמאל לימין:

• הגרף יוצא מקרוב לציר ה-x, מעליו, ועולה.
• הוא חותך את ציר ה-y בנקודה (0 , 10e), בגובה של כ-3.68.
• הוא ממשיך לעלות בתלילות עד נקודת המקסימום (2 , 2e³), בגובה של כ-40.
• משם הוא צונח, חוצה את ציר ה-x בנקודה (2.5 , 0), וממשיך לרדת בלי גבול.

סעיף ד: למה g(x) = 4e^2x−1 חיובית

e בחזקת כל מספר הוא מספר חיובי, ולכן e^2x−1 > 0 לכל x. כשכופלים מספר חיובי ב-4, שגם הוא חיובי, מתקבל מספר חיובי. לכן g(x) > 0 לכל x.

סעיף ה: הנקודה A

נשווה בין שתי הפונקציות:

הביטוי e^2x−1 אינו אפס לעולם, ולכן מותר לחלק בו את שני האגפים:

את שיעור ה-y נוח לחשב ב-g, שהיא פשוטה יותר:

A(1.5 , 4e²), כלומר בערך (1.5 , 29.56).

סעיף ו: השטח

השטח חסום משמאל בציר ה-y, כלומר x = 0, ומימין באנך x = 1.5. מסעיף ד הגרף של g כולו מעל ציר ה-x, ולכן השטח שווה לאינטגרל של g בין 0 ל-1.5.

פונקצייה קדומה של e^ax+b היא (1a) × e^ax+b. כאן a = 2, ולכן:

השטח הוא 2e² − 2e, כלומר כ-14.04 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א שוכחים את הגורם 2 שיוצא מנגזרת המעריך, ומקבלים a = 20 במקום 10. בסעיף ב(2) כותבים f(2) = 2e⁴, כאילו החזקה היא 2x בלבד. החזקה היא 2 × 2 − 1 = 3. בסעיף ה לא מחלקים ב-e^2x−1 אלא מנסים לפתור בלוגריתמים, ומסתבכים. ובסעיף ו שוכחים לחלק ב-2, או שוכחים ש-G(0) אינו אפס.

שאלה 5, פונקצייה לוגריתמית (33⅓ נקודות)

הנתונים. הפונקצייה f(x) והנגזרת שלה f′(x) מוגדרות בתחום x > 0. בסרטוט מתואר הגרף של f′(x), וכל נקודות הקיצון שלו וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-x מופיעות בו.

נקרא את הסרטוט משמאל לימין. ליד ציר ה-y הגרף של f′ נמצא למטה, מתחת לציר ה-x. הוא עולה בתלילות, חוצה את ציר ה-x מלמטה למעלה, מגיע לשיא ויורד, חוצה את ציר ה-x מלמעלה למטה, מגיע לשפל מתחת לציר, ומשם עולה לאט ומתקרב לציר ה-x מלמטה בלי לחצות אותו שוב. כלומר יש לגרף של f′ שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-x בלבד.

סעיף א: ההיגדים I ו-II

הכלל: לפונקצייה f יש נקודת קיצון היכן ש-f′ מחליפה סימן. מעבר ממינוס לפלוס הוא מינימום (לפני הנקודה f יורדת ואחריה עולה), ומעבר מפלוס למינוס הוא מקסימום.

היגד I: לא נכון. הנגזרת מחליפה סימן רק בשתי נקודות, שתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x, ולכן ל-f יש בדיוק שתי נקודות קיצון. השיא והשפל של הגרף של f′ הם נקודות קיצון של הנגזרת, לא של f. בהן f′ אינה מתאפסת ואינה מחליפה סימן.

היגד II: לא נכון. בחיתוך השמאלי f′ עוברת ממינוס לפלוס, ולכן שם נקודת המינימום של f. בחיתוך הימני f′ עוברת מפלוס למינוס, ולכן שם נקודת המקסימום. שיעור ה-x של המינימום קטן משיעור ה-x של המקסימום, ולא גדול ממנו.

מעכשיו נתון:

סעיף ב: חיתוך עם הצירים, קיצון ותחומי עלייה וירידה

(1) ציר ה-y: אין נקודת חיתוך, כי x = 0 אינו בתחום ההגדרה x > 0.

ציר ה-x: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס:

נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא (1 , 0).

(2) נגזור לפי כלל המנה, (u : v)′ = (u′v − uv′) : v². כאן u = 14(ln x)², ולפי כלל השרשרת u′ = 28 ln x × (1x). המכנה v = x², ולכן v′ = 2x:

נשווה לאפס. המכנה x³ חיובי בתחום, ולכן מתאפס רק המונה:

נבדוק סימנים. המכנה x³ חיובי תמיד בתחום, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של ln x × (1 − ln x):

נציב כדי למצוא את שיעורי ה-y:

(1 , 0) היא נקודת מינימום, ו-(e , 14e²) היא נקודת מקסימום, כלומר בערך (2.72 , 1.89).

וזה מתאים בדיוק לסעיף א: שתי נקודות קיצון, והמינימום משמאל למקסימום.

(3) מן הטבלה:

f עולה בתחום 1 < x < e, ויורדת בתחומים 0 < x < 1 ו-x > e.

סעיף ג: סקיצה

לפני הציור נבדוק את שני הקצוות ואת הסימן:

• הסימן: (ln x)² ≥ 0 ו-x² > 0, ולכן f(x) ≥ 0 בכל התחום. הגרף אינו יורד אף פעם מתחת לציר ה-x, ונוגע בו רק ב-(1 , 0).
• כאשר x מתקרב ל-0 מימין, ln x שואף למינוס אינסוף, ולכן (ln x)² שואף לפלוס אינסוף, ובמקביל x² שואף ל-0. השבר גדל בלי גבול, והגרף עולה לאורך ציר ה-y.
• כאשר x גדל, x² גדל מהר הרבה יותר מ-(ln x)², ולכן f(x) שואפת ל-0, והגרף מתקרב לציר ה-x מלמעלה.

ועכשיו הציור, משמאל לימין:

• הגרף יורד מלמעלה, צמוד לציר ה-y, עד שהוא נוגע בציר ה-x בנקודת המינימום (1 , 0).
• משם הוא עולה עד נקודת המקסימום (e , 14e²), בגובה של כ-1.89.
• משם הוא יורד לאט ומתקרב לציר ה-x מלמעלה, בלי לגעת בו.

סעיף ד: הפונקצייה g(x) = f(x − 4)

(1) הפונקצייה f מוגדרת רק כשהקלט שלה חיובי. ב-g הקלט הוא x − 4, ולכן:

תחום ההגדרה של g הוא x > 4.

(2) g(x) = f(x − 4) היא הזזה של הגרף של f ב-4 יחידות ימינה. ההזזה אינה משנה את הצורה ואת הגבהים, ולכן כל נקודת קיצון של f עוברת 4 יחידות ימינה ושומרת על סוגה ועל שיעור ה-y שלה:

• המינימום (1 , 0) עובר ל-(5 , 0).
• המקסימום (e , 14e²) עובר ל-(4 + e , 14e²).

(5 , 0) היא נקודת מינימום של g, ו-(4 + e , 14e²) היא נקודת מקסימום של g, כלומר בערך (6.72 , 1.89).

בדיקה בהצבה: g(5) = f(1) = 0 , g(4 + e) = f(e) = 14e².

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א סופרים את השיא ואת השפל של הגרף של f′ כנקודות קיצון של f, ומקבלים ארבע, או שלוש. נקודות הקיצון של f הן רק המקומות שבהם f′ חוצה את ציר ה-x. בסעיף ב(2) שוכחים את 1x שיוצא מנגזרת ln x, או מצמצמים x אחד מוקדם מדי ומאבדים את החזקה של המכנה. ובסעיף ד(2) מזיזים את הנקודות שמאלה, כי רואים "מינוס 4". f(x − 4) היא הזזה ימינה.

התשובות בקצרה