התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35472 · חורף · תשפ״ו · 2026
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה
שאלה 1 33⅓ נקודות
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יריד ספרים ותרומה חודשית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | ביום הראשון נמכרו 60 ספרים |
| ב | 381,000 שקלים (נמכרו 7,620 ספרים) |
| ג | 24 חודשים |
| ד | 15,875 שקלים (בחודש ה-12 תרם 7,780 שקלים ובחודש ה-13 תרם 8,095 שקלים) |
שאלה 2 33⅓ נקודות
וקטורים במרחב: מנסרה ישרה שבסיסה מקבילית, מכפלה סקלרית, נפח, מאונכות ושטח משולש
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | CM = −½u + w , PM = ½u + v + ¼w |
| ב | u · w = 0 , v · w = 0 , u · v = 40 |
| ג | |w| = 12 |
| ד | PM · CM = −16 − 20 + 36 = 0, ולכן PM מאונך ל-CM |
| ה(1) | |PM|² = 16 + 100 + 9 + 40 = 165, ולכן |PM| = √165 |
| ה(2) | 10√66 ≈ 81.24 יחידות שטח |
שאלה 3 33⅓ נקודות
גדילה ודעיכה: שתי ריבות שמתקררות, השוואת אחוזי הדעיכה, זמן, אחוז ורגע השוויון
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | כן. אילו ריבת התות הייתה יורדת באחוז קטן או שווה, הטמפרטורה שלה הייתה נשארת תמיד גבוהה מזו של ריבת השזיפים, כי היא התחילה גבוהה יותר. אבל נתון שבשלב מסוים ריבת השזיפים חמה יותר, ולכן ריבת התות ירדה באחוז גדול יותר. |
| ב | כעבור כ-25.22 דקות |
| ג | כ-2.11% בכל דקה |
| ד | כעבור כ-4.64 דקות (הטמפרטורה המשותפת כ-34.75 מעלות) |
פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 4 33⅓ נקודות
פונקצייה מעריכית: זיהוי גרף הנגזרת, חיתוך, זוגיות, קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | גרף I. סימני הנגזרת בו משמאל לימין הם +, −, +, −, ולכן f עולה, יורדת, עולה ויורדת: שתי נקודות מקסימום ונקודת מינימום אחת. בגרף II הסימנים הם −, +, −, +, ושם היו ל-f שתי נקודות מינימום ומקסימום אחד, בניגוד לנתון. |
| ב | (0 , 0) |
| ג | f(−x) = 6(−x)² : e(−x)²+2 = 6x² : ex²+2 = f(x) לכל x, ולכן f זוגית |
| ד | (−1 , 6e³) מקסימום , (0 , 0) מינימום , (1 , 6e³) מקסימום |
| ה | סקיצה: גרף סימטרי לציר ה-y, כולו מעל ציר ה-x או עליו. משמאל הוא מתקרב לציר ה-x מלמעלה, עולה עד המקסימום (−1 , 6e³), יורד אל הראשית (מינימום, נקודת השקה עם ציר ה-x), עולה עד המקסימום (1 , 6e³), ומשם יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה בלי לגעת בו |
| ו | 12e³ ≈ 0.597 יחידות שטח |
שאלה 5 33⅓ נקודות
פונקצייה לוגריתמית עם פרמטר: תחום, חיתוך, שיפוע משיק, קיצון, זיהוי גרף ופונקצייה g = −2f + 37
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x > 0 |
| א(2) | (e² , 0) |
| ב | a = 4 |
| ג(1) | (e , 4e) מקסימום, כלומר בערך (2.72 , 10.87) |
| ג(2) | גרף II: לפונקצייה מקסימום ולא מינימום (נפסלים III ו-IV), והיא חותכת את ציר ה-x ב-x = e² ושלילית מימין לו (נפסל I). גם העיגול הריק בראשית מתאים, כי x = 0 אינו בתחום |
| ד(1) | (e , 37 − 8e) מינימום, כלומר בערך (2.72 , 15.25) |
| ד(2) | לא. f(x) = g(x) פירושו 3f(x) = 37, כלומר f(x) = 373 ≈ 12.33, אבל הערך הגדול ביותר של f הוא 4e ≈ 10.87. אפשר לומר גם: המקסימום של f (כ-10.87) קטן מן המינימום של g (כ-15.25) |