מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1 עד 3), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5). עונים על שלוש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה

שאלה 1, יריד ספרים ותרומה: סדרה הנדסית וסדרה חשבונית (33⅓ נקודות)

הנתונים. היריד נמשך 7 ימים. בכל יום נמכרו פי 2 ספרים מאשר ביום שלפניו. בשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים.

"פי 2 מן היום הקודם" פירושו שמספרי הספרים בימי היריד הם סדרה הנדסית שהמנה שלה q = 2. נסמן ב-a₁ את מספר הספרים ביום הראשון. מדפי הנוסחאות:

סעיף א: כמה ספרים נמכרו ביום הראשון

ביום הראשון נמכרו 60 ספרים.

בדיקה: 60 + 120 + 240 = 420.

סעיף ב: ההכנסות בכל שבעת הימים

קודם נמצא כמה ספרים נמכרו בכל היריד:

כל ספר נמכר ב-50 שקלים:

סך ההכנסות היה 381,000 שקלים.

סעיף ג: לכמה חודשים פרס המנהל את התרומה

המנהל תרם מחצית מן ההכנסות:

בחודש הראשון 4,315 שקלים, ובכל חודש 315 שקלים יותר מבחודש שלפניו. זו סדרה חשבונית שבה a₁ = 4,315 ו-d = 315, וסכום כל איבריה 190,500. נסמן ב-n את מספר החודשים ונציב בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית, Sₙ = n × (2a₁ + (n − 1)d) : 2:

כל המקדמים מתחלקים ב-5, ונחלק כדי לעבוד עם מספרים קטנים יותר:

מספר חודשים הוא מספר טבעי, ולכן הפתרון השלילי נפסל.

המנהל פרס את התרומה ל-24 חודשים.

בדיקה: S₂₄ = 24 × (8,630 + 23 × 315) : 2 = 12 × 15,875 = 190,500.

סעיף ד: שני החודשים האמצעיים

ב-24 חודשים אין חודש אמצעי אחד, יש שניים: החודש ה-12 והחודש ה-13. לפני החודש ה-12 יש 11 חודשים, ואחרי החודש ה-13 יש 11 חודשים.

בשני החודשים האמצעיים תרם המנהל 15,875 שקלים.

בדיקה בדרך אחרת: בסדרה חשבונית סכום שני איברים שרחוקים באותה מידה מן הקצוות שווה לסכום האיבר הראשון והאחרון. a₂₄ = 4,315 + 23 × 315 = 11,560, ו-4,315 + 11,560 = 15,875. ואם תסתכלו שוב בבדיקה של סעיף ג, תראו שם בדיוק את המספר הזה: 15,875 כפול 12 זוגות.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א מציבים בנוסחה n = 3 אבל כותבים 2³ במקום 2³ − 1, ומקבלים a₁ = 52.5, שאינו מספר שלם של ספרים. סימן אזהרה טוב. בסעיף ב שוכחים להכפיל ב-50 ועונים במספר ספרים במקום בשקלים. בסעיף ג שוכחים לחלק את ההכנסות ב-2, ואז המשוואה לא יוצאת עם פתרון שלם. ובסעיף ד בוחרים את החודשים 12 ו-13 בלי לנמק, או לוקחים את החודש ה-12 בלבד.

שאלה 2, וקטורים במרחב: מנסרה ישרה שבסיסה מקבילית (33⅓ נקודות)

הנתונים. ABCDA′B′C′D′ היא מנסרה ישרה, ובסיסה ABCD הוא מקבילית. M היא אמצע המקצוע C′D′, והנקודה P נמצאת על המקצוע AA′ כך ש-AP = ¾AA′. מסמנים:

סימונים: בשאלה הזאת כל שם של שתי אותיות, כמו CM, הוא הווקטור מן האות הראשונה אל האות השנייה. |v| הוא האורך של הווקטור v, ו-u · v היא המכפלה הסקלרית.

שתי עובדות על המנסרה ילוו אותנו לאורך כל השאלה:

סעיף א: הווקטורים CM ו-PM

הווקטור CM. עולים מ-C אל C′, ומשם הולכים על המקצוע C′D′ חצי מאורכו. הכיוון מ-C′ אל D′ הפוך לכיוון של u:

הווקטור PM. הנקודה P נמצאת שלושה רבעים מן הדרך מ-A אל A′, ולכן מ-P אל A′ נשאר רבע: PA′ = ¼w. משם הולכים אל D′, ואחר כך חצי מן הדרך מ-D′ אל C′:

CM = −½u + w , PM = ½u + v + ¼w.

סעיף ב: שלוש המכפלות הסקלריות

נתון |u| = 8, |v| = 10 ו-∠DAB = 60°.

u · w ו-v · w. המנסרה ישרה, ולכן AA′ מאונך למישור הבסיס, וישר שמאונך למישור מאונך לכל ישר שעובר במישור. AB ו-AD נמצאים במישור הבסיס, ולכן w מאונך גם ל-u וגם ל-v. המכפלה הסקלרית של וקטורים מאונכים היא אפס:

u · v. שני הווקטורים יוצאים מן הנקודה A, והזווית ביניהם היא ∠DAB:

u · w = 0 , v · w = 0 , u · v = 40.

סעיף ג: האורך של w

נפח מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. במנסרה ישרה הגובה הוא אורך המקצוע הצדדי, כלומר |w|.

שטח המקבילית ABCD הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן:

|w| = 12.

מעכשיו נשתמש בריבועי האורכים: u · u = 64, v · v = 100, w · w = 144.

סעיף ד: PM מאונך ל-CM

נוכיח שהמכפלה הסקלרית היא אפס. נפתח סוגריים איבר איבר:

נציב את מה שמצאנו בסעיפים ב ו-ג:

שני הווקטורים אינם וקטור האפס, והמכפלה הסקלרית שלהם אפס. לכן PM מאונך ל-CM.

שימו לב שכאן, בשונה מתיבה, u · v אינו אפס. הבסיס מקבילית ולא מלבן, והאיבר −½u · v הוא שמאזן את החשבון.

סעיף ה: האורך של PM ושטח המשולש PMC

(1) ריבוע האורך של וקטור הוא המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:

|PM|² = 165, ולכן |PM| = √165, כפי שהתבקשנו להראות.

(2) מסעיף ד, PM מאונך ל-CM, ולכן הזווית PMC ישרה. המשולש PMC ישר זווית ב-M, ושני הניצבים שלו הם PM ו-CM. נחשב את האורך של CM באותה דרך:

שטח משולש ישר זווית הוא מכפלת הניצבים לחלק ל-2:

שטח המשולש PMC הוא 10√66, כלומר כ-81.24 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א כותבים C′M = ½u במקום −½u: מ-C′ אל D′ הולכים בכיוון ההפוך ל-AB. בסעיף ב מניחים ש-u · v = 0 מתוך הרגל של תיבה, והבסיס כאן מקבילית עם זווית של 60°. בסעיף ג מחשבים את שטח הבסיס כ-8 × 10 = 80, כאילו היה מלבן, ומקבלים |w| = 6√3. ובסעיף ה(1) שוכחים את האיבר הכפול 2 × ½ × u·v = 40, ואז לא מגיעים ל-165.

שאלה 3, גדילה ודעיכה: שתי ריבות במקרר (33⅓ נקודות)

הנתונים. שתי ריבות נכנסו למקרר באותו רגע. הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות גבוהה מזו של ריבת השזיפים. בכל דקה יורדת הטמפרטורה של כל ריבה באחוז קבוע, לכל אחת אחוז אחר. כעבור זמן מסוים ריבת השזיפים חמה יותר מריבת התות.

נסמן ב-T₁ ו-T₂ את הטמפרטורות ההתחלתיות של ריבת התות ושל ריבת השזיפים, וב-q₁ ו-q₂ את המספרים שבהם מוכפלת הטמפרטורה של כל אחת בכל דקה. שניהם בין 0 ל-1, כי מדובר בדעיכה. לפי נוסחת הגדילה והדעיכה, כעבור t דקות:

ככל שהאחוז שבו הטמפרטורה יורדת גדול יותר, המספר q קטן יותר.

סעיף א: איזו ריבה ירדה באחוז גדול יותר

כן, האחוז של ריבת התות היה גדול יותר. נראה את זה בדרך השלילה.

נניח שריבת התות ירדה באחוז קטן או שווה לזה של ריבת השזיפים, כלומר q₁ ≥ q₂. אז לכל t ≥ 0 מתקיים q₁ᵗ ≥ q₂ᵗ. נתון גם T₁ > T₂. כשמכפילים מספר חיובי גדול יותר במספר חיובי גדול או שווה, התוצאה גדולה יותר:

כלומר ריבת התות הייתה נשארת חמה יותר כל הזמן. אבל נתון שבשלב מסוים ריבת השזיפים חמה יותר, וזו סתירה. לכן q₁ < q₂.

ריבת התות ירדה בכל דקה באחוז גדול יותר מריבת השזיפים.

במילים פשוטות: ריבת התות התחילה חמה יותר, ובכל זאת ריבת השזיפים עקפה אותה. זה אפשרי רק אם ריבת התות מתקררת מהר יותר.

סעיף ב: מתי ריבת התות הגיעה ל-15 מעלות

T₁ = 42, והטמפרטורה יורדת ב-4% בכל דקה, ולכן q₁ = 1 − 0.04 = 0.96:

ריבת התות הגיעה ל-15 מעלות כעבור כ-25.22 דקות.

בדיקה: 42 × 0.96^25.22 ≈ 15.00.

סעיף ג: האחוז של ריבת השזיפים

כעבור 6 דקות נשארו 88% מן הטמפרטורה ההתחלתית. את T₂ איננו יודעים, אבל אין בו צורך, כי הוא מצטמצם:

בכל דקה נשאר מן הטמפרטורה כ-97.89%, ולכן היא יורדת ב-

הטמפרטורה של ריבת השזיפים ירדה בכ-2.11% בכל דקה.

וזה מתאים לסעיף א: 4% של ריבת התות גדול מ-2.11% של ריבת השזיפים.

סעיף ד: מתי הטמפרטורות היו שוות

שלב 1: הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים. כעבור 10 דקות היא הייתה 31 מעלות:

בדיקה מול הנתונים: 38.36 קטן מ-42, ואכן ריבת התות התחילה חמה יותר.

שלב 2: משוואת השוויון.

נעביר את החזקות לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני:

הטמפרטורות של שתי הריבות היו זהות כעבור כ-4.64 דקות.

בדיקה: 42 × 0.96^4.64 ≈ 34.75 וגם 38.36 × 0.97892^4.64 ≈ 34.75. הטמפרטורה המשותפת הייתה כ-34.75 מעלות. מאותו רגע ריבת השזיפים חמה יותר, למשל כעבור 10 דקות: 31 מעלות לעומת 42 × 0.96¹⁰ ≈ 27.92.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א עונים "כן" בלי נימוק, או מנמקים בדוגמה מספרית אחת. צריך טיעון שמכסה כל מקרה, והשלילה עושה את זה בשלוש שורות. בסעיף ג עונים 97.89%, וזה מה שנשאר מן הטמפרטורה, לא האחוז שבו היא יורדת. או מחלקים 12% ב-6 ומקבלים 2%: דעיכה באחוז קבוע היא כפל חוזר, לא חיסור קבוע. ובסעיף ד מנסים להשוות כבר בדקה ה-10, במקום למצוא קודם את T₂.

פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, פונקצייה מעריכית זוגית (33⅓ נקודות)

הנתונים. הפונקצייה f(x) והנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפונקצייה f(x) יש נקודת מינימום אחת בלבד ושתי נקודות מקסימום. לפנינו שני גרפים, I ו-II, ואחד מהם הוא הגרף של f′(x). בכל גרף מופיעות כל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-x.

סעיף א: איזה גרף מתאר את f′(x)

הסימן של הנגזרת קובע אם הפונקצייה עולה או יורדת. בנקודת מקסימום הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי, ובנקודת מינימום היא עוברת משלילי לחיובי. נקרא את הסימנים בכל גרף משמאל לימין.

• גרף I: מתחיל מעל ציר ה-x, חוצה אותו כלפי מטה בשיעור x שלילי, חוזר וחוצה כלפי מעלה בראשית, וחוצה שוב כלפי מטה בשיעור x חיובי. הסימנים: +, −, +, −. לכן f עולה, יורדת, עולה ויורדת: מקסימום, מינימום, מקסימום. שתי נקודות מקסימום ונקודת מינימום אחת, בדיוק כמו בנתון.
• גרף II: מתחיל מתחת לציר ה-x, והסימנים הם −, +, −, +. לכן f יורדת, עולה, יורדת ועולה: מינימום, מקסימום, מינימום. שתי נקודות מינימום, בניגוד לנתון.

הגרף I מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

מעכשיו נתון:

עובדה שתעזור לאורך כל השאלה: e בחזקת כל מספר הוא חיובי, ולכן המכנה e^x²+2 חיובי לכל x, ולעולם אינו אפס.

סעיף ב: חיתוך עם ציר ה-x

שבר מתאפס רק כאשר המונה מתאפס:

נקודת החיתוך עם ציר ה-x היא (0 , 0).

סעיף ג: f זוגית

פונקצייה זוגית מקיימת f(−x) = f(x) לכל x בתחום. התחום כאן הוא כל המספרים, ולכן x ו-−x תמיד שניהם בתחום. נציב −x:

הסיבה היא ש-x מופיע בפונקצייה רק בתוך x², ו-(−x)² = x².

לכן f(x) היא פונקצייה זוגית, והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y.

סעיף ד: נקודות הקיצון

נגזור לפי כלל המנה, (u : v)′ = (u′v − uv′) : v². כאן u = 6x² ולכן u′ = 12x, ו-v = e^x²+2 ולכן לפי כלל השרשרת v′ = 2x × e^x²+2:

המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של f′(x) הוא הסימן של 12x(1 − x²):

נציב כדי למצוא את שיעורי ה-y:

(0 , 0) היא נקודת מינימום. (1 , 6e³) ו-(−1 , 6e³) הן נקודות מקסימום, כלומר בערך (±1 , 0.299).

וזה מתאים לסעיף א: הסימנים +, −, +, − הם בדיוק הסימנים של גרף I.

סעיף ה: סקיצה

לפני הציור נאסוף עוד שני דברים:

• הסימן של f: המונה 6x² אינו שלילי והמכנה חיובי, ולכן f(x) ≥ 0 לכל x. הגרף נמצא מעל ציר ה-x, ונוגע בו רק בראשית.
• כאשר x מתרחק מן הראשית לכל אחד מן הכיוונים, המכנה e^x²+2 גדל מהר הרבה יותר מן המונה 6x², ולכן f(x) שואפת ל-0. הגרף מתקרב לציר ה-x מלמעלה, משני הצדדים.

ועכשיו הציור, משמאל לימין:

• משמאל הגרף קרוב מאוד לציר ה-x, מעליו, ועולה עד נקודת המקסימום (−1 , 6e³), בגובה של כ-0.3.
• משם הוא יורד אל הראשית, נוגע בה (נקודת מינימום) ולא חוצה את הציר.
• הוא עולה שוב עד נקודת המקסימום (1 , 6e³).
• משם הוא יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה, בלי לגעת בו.

הגרף סימטרי ביחס לציר ה-y, ונראה כמו שתי "גבעות" נמוכות שנפגשות בראשית.

סעיף ו: השטח בין גרף הנגזרת לציר ה-x

הגרף של f′(x) חותך את ציר ה-x בשלוש נקודות, x = −1, x = 0 ו-x = 1. משמאל ל-−1 ומימין ל-1 הוא רק מתקרב לציר ואינו פוגש אותו שוב, ולכן השטח הסגור הוא בין x = −1 ל-x = 1, והוא בנוי משני חלקים:

• בקטע −1 < x < 0 הנגזרת שלילית, והחלק נמצא מתחת לציר ה-x.
• בקטע 0 < x < 1 הנגזרת חיובית, והחלק נמצא מעל ציר ה-x.

כאן לא צריך לחפש פונקצייה קדומה: f(x) עצמה היא פונקצייה קדומה של f′(x). לכן:

השטח הוא 12e³, כלומר כ-0.597 יחידות שטח.

הערה: אילו היינו מחשבים אינטגרל אחד מ-−1 עד 1, היינו מקבלים f(1) − f(−1) = 0, כי החלק שמתחת לציר מבטל את החלק שמעליו. לכן מפרידים את הקטעים.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א בוחרים גרף לפי הצורה של f′ במקום לפי המקומות שבהם f′ חוצה את הציר ובאיזה כיוון. בסעיף ד שוכחים את 2x שיוצא מנגזרת המעריך, או מאבדים את הפתרון x = 0, וכך מפספסים את נקודת המינימום. ובסעיף ו מחשבים אינטגרל אחד מ-−1 עד 1, מקבלים 0, ולא שמים לב שזה לא ייתכן לשטח.

שאלה 5, פונקצייה לוגריתמית עם פרמטר (33⅓ נקודות)

הנתונים.

סעיף א: תחום ההגדרה וחיתוך עם ציר ה-x

(1) הביטוי ln x מוגדר רק כאשר x > 0. אין בפונקצייה מכנה או שורש נוספים.

תחום ההגדרה: x > 0.

(2) מכפלה מתאפסת רק כאשר אחד הגורמים מתאפס, ו-a ≠ 0:

נקודת החיתוך עם ציר ה-x היא (e² , 0), כלומר בערך (7.39 , 0).

סעיף ב: הערך של a

נגזור לפי כלל המכפלה. הנגזרת של ax היא a, והנגזרת של 2 − ln x היא −1x:

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה. ב-x = e³ מתקיים ln e³ = 3:

a = 4.

מעכשיו f(x) = 4x(2 − ln x), ו-f′(x) = 4(1 − ln x).

סעיף ג: נקודת הקיצון וזיהוי הגרף

(1)

נבדוק את הסימן של f′(x) = 4(1 − ln x) משני צדי x = e. הפונקצייה ln x עולה, ולכן:

(e , 4e) היא נקודת מקסימום, כלומר בערך (2.72 , 10.87).

(2) נסכם מה אנחנו יודעים על f:

• יש לה נקודת קיצון אחת, והיא מקסימום. בגרפים III ו-IV יש נקודת מינימום, ולכן הם נפסלים.
• היא חותכת את ציר ה-x ב-x = e². מימין ל-e² מתקיים ln x > 2, ולכן 2 − ln x < 0 ו-f(x) שלילית. בגרף I הגרף יורד אל ציר ה-x ומתקרב אליו בלי לחצות אותו, כלומר נשאר חיובי. לכן גם הוא נפסל.
• בגרף II הגרף עולה עד מקסימום, יורד, חוצה את ציר ה-x וממשיך לרדת. זה בדיוק מה שמצאנו. גם העיגול הריק בראשית מתאים: x = 0 אינו בתחום ההגדרה.

הגרף II מתאר את הפונקצייה f(x).

סעיף ד: הפונקצייה g(x) = −2f(x) + 37

(1) נגזור. הנגזרת של מספר קבוע היא אפס:

הכפל ב-−2 הופך את הסימן של הנגזרת: לפני x = e הנגזרת f′ חיובית, ולכן g′ שלילית, ואחרי x = e היא חיובית. g יורדת ואחר כך עולה, ולכן זו נקודת מינימום:

(e , 37 − 8e) היא נקודת מינימום של g, כלומר בערך (2.72 , 15.25).

זה גם הגיוני גרפית: כפל ב-−2 הופך את הגרף של f ומותח אותו, וכך המקסימום של f הופך למינימום של g, באותו שיעור x.

(2) נבדוק אם יש x שבו f(x) = g(x):

מסעיף ג, הערך הגדול ביותר של f הוא 4e ≈ 10.87, וזה קטן מ-12.33. לכן אין אף x שבו f(x) = 373.

לא, הגרף של f אינו חותך את הגרף של g.

אפשר לנמק גם כך: לכל x בתחום, f(x) ≤ 4e ≈ 10.87, ואילו g(x) ≥ 37 − 8e ≈ 15.25. כל ערך של g גדול מכל ערך של f, ולכן הגרף של g נמצא כולו מעל הגרף של f.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(2) כותבים גם את (0 , 0) כנקודת חיתוך, אבל x = 0 אינו בתחום. בסעיף ב שוכחים את המחובר ax × (−1x) בכלל המכפלה, ומקבלים f′(x) = a(2 − ln x) ו-a = 8. בסעיף ד(1) מעתיקים מ-f את סוג הנקודה, "מקסימום", בלי לשים לב שהכפל במספר שלילי הופך אותו. ובסעיף ד(2) עונים "כן" כי "שני גרפים רציפים בדרך כלל נפגשים", בלי לבדוק את הערכים.

התשובות בקצרה