התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35571 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ד · 2024
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
הערות על השאלון
- שאלה 5 סעיף ד. נתוני סעיף ב (AE ⊥ BD ושטח ABD = k²4) קובעים את המשולש עד כדי k, ובו ∢ABC ≈ 118.75° (התיכון BD ≈ 0.549k אינו שווה ל-AD ≈ 0.922k, כפי שהיה נדרש בזווית ישרה). לכן התנאי ∢ABC = 90° אינו יכול להתקיים יחד עם כל הנתונים. הצגנו שלוש תשובות: לפי שרשרת הסעיפים (α ו-AC מסעיפים ב ו-ג) R ≈ 1.01k; בקריאה שבה ∢ABC = 90° מחליף את נתון השטח R = 4k√15 ≈ 1.03k; ובקריאה שבה ∢ABC = 90° מחליף את הניצבות R = √17k/5 ≈ 0.82k.
פרק ראשון: שאלות קצרות
שאלה 1 25 נקודות
ארבעה סעיפים קצרים: אינדוקציה, גרף הנגזרת השנייה, ערך מוחלט ופרמטר, קוטר ומשולשים דומים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה באינדוקציה. בסיס: n = 1 נותן 4 = 1 · 2 · 126. צעד: n(n + 1)(5n + 7)6 + (n + 1)(5n + 8)2 = (n + 1)(5n² + 22n + 24)6 = (n + 1)(n + 2)(5n + 12)6, וזה אגף ימין עבור n + 1 |
| ב(1) | f′ עולה בתחומים x < a ו-b < x < d, ויורדת בתחומים a < x < 0, 0 < x < b ו-x > d |
| ב(2) | נקודת קיצון אחת ונקודת פיתול אחת. h′ = f″ − e מחליפה סימן רק בנקודה x₁ < a שבה הענף השמאלי של f″ חוצה את הגובה e (מפלוס למינוס, ולכן מקסימום). ב-x = c h′ מתאפסת בלי להחליף סימן, אבל h″ = f‴ מחליפה סימן, ולכן שם נקודת פיתול (עם משיק אופקי) |
| ג(1) | (0 , 3 − m) |
| ג(2) | מינימום (−5 , m) ו-(5 , m), מקסימום (0 , 3 + m) |
| ג(3) | I לא נכונה: h ≥ m > 0, אבל g מתאפסת בשתי נקודות (שם f(x) = −m). II לא נכונה: h(x) = m + 12 שקול ל-f(x) = ±12, ולכן לישר ולגרף h ארבע נקודות חיתוך לכל m (ול-g שלוש רק עבור m = 1.25) |
| ד(1) | הוכחה: ∢ACD = 90° (היקפית על הקוטר AD), ∢AFB = 90° (נתון), ∢ABF = 180° − ∢ABC = ∢ADC (מרובע חסום, F, B, C על ישר). לכן △ACD ∼ △AFB לפי ז.ז., בהתאמה A↔A, C↔F, D↔B |
| ד(2) | S(ACD) : S(AFB) = 1/sin²24° ≈ 6.04 |
פרק שני: סדרות והסתברות
שאלה 2 25 נקודות
סדרה הנדסית עם מנה שלילית, סדרת מכפלות וסכום אין-סופי
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | bₙ = q2n, bₙ₊₁bₙ = q² קבוע, ולכן B הנדסית עם מנה q² |
| ב | I נכונה (הסימנים מתחלפים). II לא נכונה (B יורדת: איברים חיוביים ומנה בין 0 ל-1). III נכונה (q, q³, q⁵, ... שליליים עם מנה q² בין 0 ל-1, עולה) |
| ג | q = −13 |
| ד | m = 9 |
שאלה 3 25 נקודות
התפלגות בינומית בחידון, ניקוד לפי מספר השאלה והסתברות מותנית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | P = 0.7 |
| ב | 0.3087 |
| ג | 0.2401 (שאלות 2 עד 5 נכונות, כלומר 0.7⁴) |
| ד | 0.05733 (הקבוצות {1,5}, {2,4}, {1,2,3}) |
| ה | 0.1 |
פרק שלישי: גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
שאלה 4 25 נקודות
מרובע חסום, משיק, חוצה זווית ויחסי שטחים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה: ∢EBC זווית חיצונית למשולש ABC, ולכן ∢EBC = ∢BAC + ∢BCA = 2∢BAC (AB = CB), ו-∢BAC = ∢BDC (היקפיות על הקשת BC) |
| ב(1) | הוכחה: ∢ECA = ∢ADC (זווית בין משיק למיתר), ו-∢ECA = ∢ACD (חוצה). לכן ∢ACD = ∢ADC ו-AC = AD |
| ב(2) | ADCD = 43 |
| ב(3) | S(ABF) : S(CBF) = 4 : 3 |
| ג | S(AEC) = 11S4 |
שאלה 5 25 נקודות
תיכון במשולש, משפט הסינוסים ורדיוסים של מעגלים חוסמים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | AP = k · sin β / sin(α + β), BP = k · sin α / sin(α + β) |
| ב | α ≈ 24.3° (sin 2α = 34, 2α חד כי α < β ו-α + β = 90°) |
| ג | R(AEC) : R(AEB) = ACAB = 2√5 + √73 ≈ 1.84 |
| ד | הנתונים סותרים: נתוני סעיף ב קובעים ∢ABC ≈ 118.75°, ולא 90°. לפי שרשרת הסעיפים (α ≈ 24.3° מסעיף ב ו-AC ≈ 1.843k מסעיף ג, עם ∢AEC = 90° + α): R(AEC) = AC2 cos α ≈ 1.01k. אם נתון השטח יורד (AE ⊥ BD ו-∢ABC = 90°): R(AEC) = 4k√15 ≈ 1.03k. אם הניצבות יורדת (שטח ABD = k²4 ו-∢ABC = 90°): R(AEC) = √17k/5 ≈ 0.82k השאלון סותר את עצמו בסעיף הזה |
פרק רביעי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 25 נקודות
פונקציה רציונלית עם פרמטר, פונקציה קדומה ומכפלת פונקציות
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≠ √a, x ≠ −√a |
| א(2) | x = √a, x = −√a (אנכיות), y = 0 (אופקית) |
| א(3) | עולה בתחום −√a < x < √a, יורדת בתחומים x < −√a ו-x > √a (f′(x) = −4(3x² + a)(x² − a)³, אין קיצון) |
| ב | סקיצה: פונקציה אי-זוגית דרך הראשית. משמאל ל-−√a שלילית ויורדת מ-0 למינוס אינסוף; בין −√a ל-√a עולה ממינוס אינסוף לאינסוף דרך (0 , 0); מימין ל-√a חיובית ויורדת מאינסוף לעבר 0 |
| ג | קעורה כלפי מעלה בתחום −√a < x < √a, קעורה כלפי מטה בתחומים x < −√a ו-x > √a |
| ד(1) | g(x) = −2x² − a − 2a = 2x²a(a − x²) |
| ד(2) | סקיצה: g זוגית, מינימום (0 , 0), אסימפטוטות x = ±√a ו-y = −2a. בין האסימפטוטות g ≥ 0 ועולה לאינסוף לכיוונן; מחוץ להן g שלילית ומתקרבת ל-y = −2a מלמטה |
| ה(1) | x = √a, x = −√a, y = 0 |
| ה(2) | x < −√a או 0 < x < √a |
שאלה 7 25 נקודות
פונקציה טריגונומטרית עם שורש: חקירה, גרף הנגזרת ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | −π2 ≤ x ≤ π2 |
| א(2) | הוכחה: התחום סימטרי ו-cos(−x) = cos x, ולכן f(−x) = f(x) |
| א(3) | (−π2 , 0), (0 , 0), (π2 , 0) |
| א(4) | מקסימום (0 , 0); מינימום (1.32 , −0.25) ו-(−1.32 , −0.25) (cos x = 14); מקסימום קצה (π2 , 0) ו-(−π2 , 0), כלומר (±1.57 , 0) |
| ב | סקיצה: צורת W מתחת לציר ה-x, מ-(−π2 , 0) למינימום (−1.32 , −0.25), למקסימום (0 , 0), למינימום (1.32 , −0.25) ועד (π2 , 0), עם כניסה כמעט אנכית לנקודות הקצה |
| ג | שלילית בתחומים −π2 < x < 0 ו-0 < x < π2. אין תחום חיוביות |
| ד | גרף IV |
| ה | k = 6Sπ |
שאלה 8 25 נקודות
בעיית קיצון: מלבן בין קוטר, משיק ומיתר
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x = 3R2 |
| ב | 3√3R²/8 (סכום השטחים תמיד חצי משטח המלבן, ולכן מקסימלי כש-x = 3R2) |