מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

בשאלון ארבעה פרקים ובהם שמונה שאלות: שאלות קצרות (שאלה 1), סדרות והסתברות (שאלות 2 ו-3), גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8).

עונים על ארבע שאלות: לפחות על שאלה אחת מן הפרק הראשון או מן הפרק השני, ולפחות על שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי. כל שאלה שווה 25 נקודות, וארבע שאלות הן 100 נקודות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

בשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים א עד ד. מי שעונה על יותר, נבדקות לו רק התשובות הראשונות שבמחברת: ארבע שאלות בבחינה כולה, ושני סעיפים בשאלה 1. לכן מחליטים מראש ולא כותבים "ליתר ביטחון".

משך הבחינה ארבע שעות וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל-5 יחידות לימוד. כותבים את כל שלבי הפתרון ומסבירים כל פעולה, גם כשהחישוב עצמו נעשה במחשבון.

כאן פתורות כל שמונה השאלות, ובשאלה 1 כל ארבעת הסעיפים, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון, שאלות קצרות

שאלה 1 (25 נקודות, עונים על שניים מארבעת הסעיפים)

סעיף א: סכום, באינדוקציה

צריך להוכיח שלכל n טבעי

קודם נבין את הסכום. האיבר שבמקום m הוא 5m² + 3m2:

כדאי לשים לב שהאיבר מתפרק לגורמים: 5m² + 3m2 = m(5m + 3)2. זה יחסוך עבודה בצעד האינדוקציה.

בסיס, n = 1. באגף שמאל יש איבר אחד, 4. באגף ימין

הטענה נכונה עבור n = 1.

הנחת האינדוקציה. נניח שעבור n טבעי מסוים מתקיים

צעד האינדוקציה. נוכיח עבור n + 1. באגף שמאל נוסף האיבר שבמקום n + 1:

כל מה שלפניו שווה, לפי ההנחה, n(n + 1)(5n + 7)6. לכן

נפרק את הטרינום. המבחין הוא 22² − 4 · 5 · 24 = 484 − 480 = 4, והשורשים −22 ± 210, כלומר −2 ו-−2.4. לכן

ואגף שמאל שווה (n + 1)(n + 2)(5n + 12)6.

אגף ימין של הטענה עבור n + 1 הוא

שני האגפים שווים.

מסקנה. הטענה נכונה עבור n = 1, ומנכונותה עבור n נובעת נכונותה עבור n + 1. לכן היא נכונה לכל n טבעי.

איפה נופלים בסעיף א. מוסיפים בצעד את האיבר 5n² + 3n2, כלומר את האיבר האחרון שכבר נמצא בסכום, במקום להציב n + 1. וגם: פותחים את כל הסוגריים לפולינום ממעלה שלישית ומשווים מקדמים, וזה נכון אבל ארוך. הוצאת (n + 1) כגורם משותף מקצרת את הדרך.

סעיף ב: גרף הנגזרת השנייה

הנתונים. f(x), f′(x) ו-f″(x) מוגדרות לכל x ≠ 0. בסרטוט הגרף של f″(x): הוא חותך את ציר ה-x בשלוש נקודות, (a , 0), (b , 0), (d , 0), כאשר a < 0 < b < c < d, ונקודת הקיצון שלו היא (c , e), עם e > 0.

נקרא מן הסרטוט את סימן f″ ואת מגמתה:

ובנוסף: בענף השמאלי (x < 0) הגרף של f″ יורד כל הזמן, מערכים גבוהים בהרבה מ-e (בסרטוט הענף מתחיל בראש הציור) ועד מינוס אינסוף ליד ציר ה-y. בענף הימני (x > 0) f″ עולה ממינוס אינסוף עד המקסימום (c , e), ומשם יורדת.

(1) f″ היא הנגזרת של f′. לכן f′ עולה היכן ש-f″ חיובית, ויורדת היכן ש-f″ שלילית:

• f′ עולה בתחומים x < a ו-b < x < d.
• f′ יורדת בתחומים a < x < 0, 0 < x < b ו-x > d.

אסור לאחד את a < x < 0 ואת 0 < x < b לתחום אחד, כי x = 0 אינו בתחום ההגדרה.

(2) נתון h′(x) = f″(x) − e. כלומר הגרף של h′ הוא הגרף של f″ מוזז e יחידות למטה. הסימן של h′ נקבע לפי השאלה אם f″ גדולה מ-e או קטנה ממנו.

נקודות קיצון של h. מחפשים היכן h′ מחליפה סימן, כלומר היכן הגרף של f″ חוצה את הישר y = e.

• בענף הימני הערך הגדול ביותר של f″ הוא e, בנקודה x = c. לכן לכל x > 0 מתקיים f″(x) ≤ e, כלומר h′(x) ≤ 0, ושוויון רק ב-x = c. ב-x = c הנגזרת של h מתאפסת אבל אינה מחליפה סימן (שלילית משני הצדדים). זו לא נקודת קיצון.
• בענף השמאלי f″ יורדת מערכים גדולים מ-e עד מינוס אינסוף, ולכן היא חוצה את הישר y = e פעם אחת בדיוק, בנקודה שנסמן x₁, ו-x₁ < a (כי ב-a הערך כבר 0, קטן מ-e). משמאל ל-x₁ h′ > 0, ומימינו h′ < 0. לכן ב-x₁ יש ל-h מקסימום.

נקודות פיתול של h. h″(x) = f‴(x), כלומר h″ היא הנגזרת של f″. היא מחליפה סימן בדיוק במקום שבו f″ עוברת מעלייה לירידה או להפך.

• בענף השמאלי f″ רק יורדת, ולכן h″ שלילית שם ואינה מחליפה סימן.
• בענף הימני f″ עולה עד x = c ויורדת אחריו. לכן h″ חיובית משמאל ל-c ושלילית מימינו, ול-h יש נקודת פיתול ב-x = c. זו נקודת פיתול עם משיק אופקי, כי h′(c) = e − e = 0.

ל-h יש נקודת קיצון אחת (מקסימום, בנקודה x₁ < a שבה f″(x₁) = e) ונקודת פיתול אחת (ב-x = c).

איפה נופלים בסעיף ב. מסמנים ב-x = c נקודת קיצון של h, רק כי h′(c) = 0. נגזרת שמתאפסת בלי להחליף סימן אינה נותנת קיצון. וגם: שוכחים את הענף השמאלי, שבו f″ עוברת את הגובה e, ומפספסים את המקסימום היחיד שיש.

סעיף ג: ערך מוחלט ופרמטר

הנתונים. מן הסרטוט: f חותכת את ציר ה-x ב-(−5 , 0) וב-(5 , 0), ונקודת המינימום שלה (0 , −3). f יורדת לכל x < 0, עולה לכל x > 0, ושואפת לאינסוף בשני הקצוות. נתון h(x) = |f(x)| + m ו-g(x) = |f(x) + m|, כאשר 0 < m < 2.

(1) נתחיל מ-f(x) + m. זה הגרף של f מוזז m יחידות למעלה, ולכן המינימום שלו הוא (0 , −3 + m). מכיוון ש-m < 2, הערך −3 + m שלילי (הוא בין −3 ל-−1). לכן f(x) + m חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות, וביניהן היא שלילית.

ערך מוחלט משקף כלפי מעלה את החלק שמתחת לציר. המינימום (0 , −3 + m) הופך לנקודה (0 , 3 − m), ומשני צדיה g יורדת עד 0 בנקודות החיתוך. זו נקודת מקסימום.

נקודת המקסימום של g היא (0 , 3 − m). (בנקודות החיתוך של f + m עם ציר ה-x יש ל-g מינימום, בגובה 0.)

(2) |f(x)| משקפת את החלק של f שבין −5 ל-5: המינימום (0 , −3) הופך למקסימום (0 , 3), ובנקודות (−5 , 0) ו-(5 , 0) נוצרים מינימומים (הפונקציה יורדת אליהן ועולה מהן). הוספת m מרימה הכול ב-m.

ל-h(x) מינימום ב-(−5 , m) וב-(5 , m), ומקסימום ב-(0 , 3 + m).

(3)

טענה I: לא נכונה. h(x) ≥ 0 + m > 0, כלומר h אכן חיובית לכל x. אבל g אינה חיובית לכל x: ראינו בתת-סעיף (1) ש-f(x) + m מתאפסת בשתי נקודות, ושם g(x) = 0. אפס אינו חיובי.

טענה II: לא נכונה. די להראות ש-h לא נחתכת בשלוש נקודות.

• f(x) = 12: הערך 12 חיובי, ו-f מקבלת אותו פעם אחת משמאל ל-−5 ופעם אחת מימין ל-5. שני פתרונות.
• f(x) = −12: הערך −12 נמצא בין המינימום −3 לבין 0, ולכן f מקבלת אותו פעם אחת בין −5 ל-0 ופעם אחת בין 0 ל-5. שני פתרונות.

הישר חותך את h בארבע נקודות, לכל m בתחום. (וגם ל-g יש שלוש נקודות חיתוך רק כשהישר עובר דרך המקסימום (0 , 3 − m), כלומר כאשר m + 12 = 3 − m, m = 1.25. עבור m < 1.25 יש ארבע נקודות חיתוך, ועבור m > 1.25 שתיים.)

איפה נופלים בסעיף ג. מבלבלים בין שתי הפונקציות: ב-h הערך המוחלט מופעל לפני ההזזה, וב-g אחריה. בטענה I מסתכלים רק על h, ושוכחים ש-g נוגעת בציר.

סעיף ד: קוטר, ניצב ומשולשים דומים

הנתונים. המרובע ABCD חסום במעגל, ו-AD קוטר. F על המשך הצלע CB (מעבר ל-B), ו-FB ⊥ FA.

(1) נשווה את המשולשים ACD ו-AFB.

• ∢ACD = 90°, כי זו זווית היקפית הנשענת על הקוטר AD.
• ∢AFB = 90°, נתון.
• במרובע החסום ABCD סכום הזוויות הנגדיות B ו-D הוא 180°: ∢ABC + ∢ADC = 180°. הנקודות F, B, C על ישר אחד, ולכן ∢ABF = 180° − ∢ABC. משתי השורות ∢ABF = ∢ADC.

שתי זוויות שוות, ולכן △ACD ∼ △AFB (ז.ז.), בהתאמה A↔A, C↔F, D↔B.

(2) נתון ∢BDA = 24°. היחס בין שטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון. לפי ההתאמה, היתר AD מתאים ליתר AB, ולכן

במשולש ABD הזווית B ישרה, כי גם היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר AD. לכן

היחס הוא 1/sin²24°, בקירוב 6.04.

איפה נופלים בסעיף ד. כותבים את יחס השטחים כיחס הצלעות עצמו, בלי לעלות בריבוע. ובתת-סעיף (2) מחפשים את AB במשולש הלא נכון: הזווית 24° יושבת במשולש ABD, והזווית הישרה שלו נמצאת ב-B.

פרק שני, סדרות והסתברות

שאלה 2, סדרות הנדסיות (25 נקודות)

הנתונים. A סדרה הנדסית עם a₁ = 1 ומנה q, כאשר −1 < q < 0. לכן

הסדרה B מוגדרת על ידי bₙ = aₙ · aₙ₊₂.

סעיף א: B הנדסית

נבדוק את המנה בין שני איברים סמוכים (כל האיברים שונים מאפס, כי q ≠ 0):

המנה קבועה ואינה תלויה ב-n. לכן B סדרה הנדסית, ומנתה q². האיבר הראשון b₁ = q².

סעיף ב: שלוש טענות

טענה I: נכונה. a₁ = 1 חיובי, a₂ = q שלילי, a₃ = q² חיובי, וכן הלאה: הסימנים מתחלפים, כי המנה שלילית. סדרה שעולה וחוזרת לרדת אינה עולה ואינה יורדת.

טענה II: לא נכונה. כל איברי B חיוביים (bₙ = (q²)ⁿ), והמנה q² נמצאת בין 0 ל-1. כל איבר הוא האיבר הקודם כפול מספר חיובי קטן מ-1, ולכן קטן ממנו. B יורדת.

טענה III: נכונה. האיברים שבמקומות הזוגיים הם

נחסר שני איברים סמוכים:

q^{2n − 1} הוא חזקה אי-זוגית של מספר שלילי, ולכן שלילי. q² − 1 שלילי, כי q² < 1. מכפלת שני שליליים חיובית, ולכן כל איבר גדול מקודמו, והסדרה עולה. (דוגמה: עבור q = −0.5 מקבלים −0.5, −0.125, −0.03125, ... , שמתקרבים ל-0 מלמטה.)

סעיף ג: מציאת q

המנה של B היא q², ו-0 < q² < 1, ולכן לסדרה האין-סופית יש סכום:

q שלילי, ולכן q = −13.

סעיף ד: מציאת m

C סדרה הנדסית עם מנה −3. האיברים הראשונים:

הסכום c₃ + c₄ + ... + cₘ הוא סכום של m − 2 איברים, שהראשון בהם 81 והמנה −3:

2,187 = 3⁷, ומעריך אי-זוגי שומר על הסימן השלילי: (−3)⁷ = −2,187. לכן m − 2 = 7, ו-m = 9.

בדיקה: 81 − 243 + 729 − 2,187 + 6,561 − 19,683 + 59,049 = 44,307.

איפה נופלים בשאלה 2. בטענה III מסיקים "המנה חיובית, לכן הסדרה עולה". מנה חיובית קטנה מ-1 נותנת סדרה עולה רק כשהאיברים שליליים, וזה בדיוק המצב כאן. בסעיף ד סופרים m איברים במקום m − 2, כי הסכום מתחיל ב-c₃.

שאלה 3, חידון ונקודות (25 נקודות)

הנתונים. 5 שאלות, וההסתברות לענות נכון על כל אחת היא P, בלי תלות בין השאלות. מספר התשובות הנכונות מתפלג בינומית: n = 5, הסתברות להצלחה P.

סעיף א: מציאת P

"4 לכל היותר" הוא המשלים של "כל 5 נכונות":

נבדוק: 0.7² = 0.49, 0.7⁴ = 0.2401, 0.7⁵ = 0.16807. לכן P = 0.7.

סעיף ב: בדיוק 3 נכונות

ההסתברות היא 0.3087.

סעיף ג: לפחות 14 נקודות

השאלה ה-i שווה i נקודות. כל השאלות יחד שוות 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 נקודות. 14 נקודות לפחות פירושן 15 (הכול נכון) או 14 (הכול חוץ משאלה 1). בשני המקרים השאלות 2, 3, 4 ו-5 נענו נכון, ושאלה 1 יכולה להיות כל דבר. לכן

(אפשר גם לחבר: 0.7⁵ + 0.3 · 0.7⁴ = 0.16807 + 0.07203 = 0.2401.)

ההסתברות היא 0.2401.

סעיף ד: בדיוק 6 נקודות

נמנה את כל קבוצות השאלות שסכום המספרים שלהן 6:

אין אחרות: קבוצה של שאלה אחת שווה 5 לכל היותר, וקבוצה של ארבע שאלות שווה 1 + 2 + 3 + 4 = 10 לפחות. בכל קבוצה, השאלות שבה נכונות וכל השאר שגויות:

ההסתברות היא 0.05733.

סעיף ה: הסתברות מותנית

ידוע שאחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מבין הקבוצות של סעיף ד, רק {1 , 2 , 3} היא של שלוש שאלות. לכן

דרך קצרה יותר: יש C(5,3) = 10 אפשרויות לבחור אילו שלוש שאלות נענו נכון, ולכולן אותה הסתברות, 0.7³ · 0.3². רק אחת מהן נותנת 6 נקודות, ולכן 110.

ההסתברות היא 0.1.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ג מנסים לחשב "14 לפחות" דרך מספר התשובות הנכונות, ושוכחים שהנקודות תלויות באיזו שאלה נענתה. בסעיף ד מפספסים את הקבוצה {1 , 2 , 3}. בסעיף ה כופלים במקום לחלק, או מחלקים ב-0.05733 במקום ב-0.3087.

פרק שלישי, גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור

שאלה 4, מרובע חסום, משיק וחוצה זווית (25 נקודות)

הנתונים. ABCD חסום במעגל, והאלכסונים נחתכים ב-F. המשיק ב-C חותך את המשך המיתר AB ב-E (B בין A ל-E). נתון AB = CB.

נסמן ∢BAC = α. כדאי לאסוף כבר עכשיו את כל הזוויות שוות α:

• AB = CB, ולכן המשולש ABC שווה שוקיים: ∢BCA = ∢BAC = α.
• ∢BDC = ∢BAC = α (זוויות היקפיות על הקשת BC).
• ∢ADB = ∢ACB = α (זוויות היקפיות על הקשת AB).
• ∢ECB = ∢BAC = α (זווית בין משיק למיתר CB שווה לזווית ההיקפית שנשענת על הקשת BC מן הצד השני).

סעיף א: ∢EBC = 2∢BDC

∢EBC היא זווית חיצונית למשולש ABC (הנקודות A, B, E על ישר אחד). זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

ו-∢BDC = α, ולכן ∢EBC = 2∢BDC.

סעיף ב: AC = AD, היחס ADCD ויחס שטחים

נתון: AC חוצה את הזווית ECD, ו-CDCF = 74.

(1) הזווית ECA היא זווית בין המשיק CE למיתר CA. היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת CA מן הצד השני, כלומר לזווית ADC. ומן החוצה, ∢ECA = ∢ACD. לכן

במשולש ACD מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ולכן AC = AD.

(2) ראינו ש-∢ADB = α ו-∢BDC = α. כלומר DB, ואיתו DF, חוצה את הזווית ADC במשולש ACD. לפי משפט חוצה הזווית:

נסמן AD = AC = p ו-CD = s. אז

ולפי הנתון

ADCD = 43.

(3) למשולשים ABF ו-CBF קודקוד משותף B, והבסיסים AF ו-FC מונחים על אותו ישר AC. לכן יש להם אותו גובה מ-B, ויחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

היחס הוא 4 : 3.

סעיף ג: שטח המשולש AEC

S = S(ABF). מתת-סעיף (3), S(CBF) = 3S4, ולכן

המשולשים EBC ו-ECA דומים. הזווית E משותפת, ו-∢ECB = ∢EAC = α. ההתאמה E↔E, C↔A, B↔C, ויחס הדמיון הוא BCCA. לכן

נמצא את (BCCA)². נסמן שוב AC = AD = 4t ו-CD = 3t (לפי סעיף ב). במשולש שווה השוקיים ACD הגובה מ-A חוצה את הבסיס CD, ולכן

מה גודל ∢ACD? ∢ECA = ∢ECB + ∢BCA = α + α = 2α, והחוצה נותן ∢ACD = ∢ECA = 2α. לכן cos 2α = 38, ו-

במשולש שווה השוקיים ABC (AB = BC) הגובה מ-B חוצה את AC, ולכן AC = 2 · BC · cos α.

עכשיו השטח. S(ECA) = S(EBC) + S(ABC), כי B על הצלע EA. לכן

S(AEC) = 11S4.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב(2) מחפשים פתרון טריגונומטרי ארוך, ולא שמים לב ש-DB חוצה את הזווית ADC, וזה כל הסעיף. בסעיף ג משתמשים ביחס הדמיון בלי לעלות בריבוע, או מחשבים את S(EBC) ושוכחים שהשטח המבוקש הוא של המשולש הגדול AEC.

שאלה 5, תיכון ומשפט הסינוסים (25 נקודות)

הנתונים. במשולש ABC, BD תיכון לצלע AC (D אמצע AC). E על BC, ו-AE חותך את BD ב-P. נתון BP = 3 · PD. AB = k, ∢BAP = α, ∢ABP = β, α < β.

סעיף א: AP ו-BP

במשולש ABP הזווית P היא 180° − (α + β), ו-sin(180° − (α + β)) = sin(α + β). לפי משפט הסינוסים:

AP = k · sin β / sin(α + β), BP = k · sin α / sin(α + β).

סעיף ב: מציאת α

AE ⊥ BD, ולכן ∢APB = 90°, כלומר α + β = 90° ו-sin(α + β) = 1. לפי סעיף א:

PD = BP3, ולכן

AP מאונך ל-BD, ולכן AP הוא הגובה מ-A לצלע BD במשולש ABD:

נשווה לנתון:

לזה שני פתרונות: 2α ≈ 48.59° או 2α ≈ 131.41°. אבל α < β ו-α + β = 90°, ולכן α < 45°, כלומר 2α < 90°. נשאר 2α ≈ 48.59°.

α ≈ 24.3°.

סעיף ג: יחס רדיוסי המעגלים החוסמים

לשני המשולשים AEC ו-AEB יש צלע משותפת, AE, והזוויות AEC ו-AEB צמודות, ולכן sin∢AEC = sin∢AEB. לפי משפט הסינוסים בכל משולש:

נמצא את AC. המשולש APD ישר זווית ב-P:

מ-sin 2α = 34 ו-2α חד: cos 2α = √1 − 916 = √74. לכן

היחס הוא בקירוב 1.84.

סעיף ד: רדיוס המעגל החוסם את AEC כש-∢ABC = 90°

לפני שמחשבים, עצירה. הנתונים של סעיף ב (AE ⊥ BD ושטח ABD = k²4) כבר קובעים את המשולש כולו, ובמשולש הזה הזווית B אינה ישרה. הדרך המהירה לראות את זה: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר, כלומר היה צריך להתקיים BD = AD. אבל לפי סעיפים ב ו-ג

(חישוב מלא נותן ∢ABC ≈ 118.75°.) לכן אי אפשר לקיים את התנאי ∢ABC = 90° יחד עם כל הנתונים שלפניו, ואחד מהם צריך לרדת. נציג את שלוש הקריאות האפשריות.

קריאה 1, לפי שרשרת הסעיפים. משאירים את α ≈ 24.3° מסעיף ב ואת AC ≈ 1.843k מסעיף ג, ומוסיפים ∢ABC = 90°. אז המשולש ABE ישר זווית ב-B:

ובדרך של סעיף ג: AE הוא יתר במשולש ABE, ולכן R(AEB) = AE2 = k2 cos α ≈ 0.549k, ו-R(AEC) ≈ 1.84 · 0.549k ≈ 1.01k. זו הדרך שהשאלה בנויה אליה, אבל המשולש שהיא מתארת אינו קיים.

קריאה 2, עקבית. משאירים את המבנה (תיכון, BP = 3PD, AB = k) ואת הניצבות AE ⊥ BD, ובמקום נתון השטח באה הזווית הישרה ב-B.

• BE : EC = 3 : 2. דרך D נעביר ישר מקביל ל-AE, שיחתוך את BC ב-G. D אמצע AC, ולכן G אמצע EC (קטע אמצעים במשולש AEC). במשולש BDG הקטע PE מקביל ל-DG, ולכן BEEG = BPPD = 3. אם EG = u, אז BE = 3u, EC = 2u, BC = 5u.
• β = ∢BAC. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר: DB = DA. לכן המשולש ABD שווה שוקיים, ו-∢ABD = ∢BAD, כלומר β = ∢BAC.
• ∢BCA = α. ∢BCA = 90° − ∢BAC = 90° − β = α (כי α + β = 90°).
• AB² = BE · BC. במשולשים BAE ו-BCA הזווית B ישרה בשניהם, ו-∢BAE = α = ∢BCA. הם דומים, ולכן ABBC = BEAB.

במשולש AEC הזווית C היא α, ומן המשולש ABE, sin α = BEAE. לפי משפט הסינוסים:

(בקריאה הזאת sin² α = 38, α ≈ 37.8° ו-β ≈ 52.2°, כך ש-α < β מתקיים.)

קריאה 3, עקבית גם היא. משאירים את נתון השטח, ובמקום הניצבות באה הזווית הישרה ב-B. BD תיכון, ולכן S(ABD) הוא חצי מ-S(ABC):

המשולש ABC ישר זווית ושווה שוקיים, ו-∢ACB = 45°. היחס BE : EC = 3 : 2 מקריאה 2 לא השתמש בניצבות, ולכן גם כאן BE = 3k5:

(כאן β = 45°, כי התיכון ליתר חוצה את הזווית הישרה במשולש שווה שוקיים, ו-tan α = BEAB = 35, α ≈ 31°. גם כאן α < β.)

התשובה: לפי שרשרת הסעיפים R ≈ 1.01k. אם נתון השטח יורד, R = 4k√15 ≈ 1.03k. אם הניצבות יורדת, R = √17k/5 ≈ 0.82k.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב לוקחים גם את 2α ≈ 131.4°, ושוכחים את התנאי α < β. בסעיף ג מחפשים את שני הרדיוסים בנפרד, כשמשפט הסינוסים עם הצלע המשותפת AE והזוויות הצמודות נותן את היחס בשורה אחת.

פרק רביעי, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה רציונלית עם פרמטר (25 נקודות)

הנתונים. f(x) = 4x / (x² − a)², כאשר a > 0.

סעיף א: תחום, אסימפטוטות, עלייה וירידה

(1) המכנה מתאפס כאשר x² = a.

תחום ההגדרה: x ≠ √a ו-x ≠ −√a.

(2) ב-x = ±√a המכנה מתאפס והמונה (±4√a) אינו מתאפס, ולכן אלה אסימפטוטות אנכיות. מעלת המונה 1 ומעלת המכנה 4, ולכן f(x) שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

אסימפטוטות: x = √a, x = −√a, y = 0.

(3) נגזור כמנה, או כמכפלה 4x · (x² − a)⁻²:

המונה −4(3x² + a) שלילי לכל x, כי a > 0. לכן f′ לעולם אינה מתאפסת, ואין נקודות קיצון. הסימן של f′ הפוך לסימן של (x² − a)³, שהוא הסימן של x² − a:

f עולה בתחום −√a < x < √a, ויורדת בתחומים x < −√a ו-x > √a.

סעיף ב: סקיצה

עוד שני דברים לפני הציור: f(0) = 0, ו-f(−x) = −f(x), כלומר f אי-זוגית והגרף סימטרי ביחס לראשית. הסימן של f הוא הסימן של x (המכנה ריבוע).

• x < −√a: f שלילית, יורדת מ-0 (קרוב לציר ה-x משמאל) למינוס אינסוף ליד x = −√a.
• −√a < x < √a: f עולה ממינוס אינסוף, עוברת בראשית, ועולה לאינסוף ליד x = √a.
• x > √a: f חיובית, יורדת מאינסוף ומתקרבת ל-0 מלמעלה.

סעיף ג: קעירות של g

g′(x) = f(x), ולכן g″(x) = f′(x). g קעורה כלפי מעלה היכן ש-f′ > 0, וכלפי מטה היכן ש-f′ < 0. לפי הטבלה בסעיף א(3):

g קעורה כלפי מעלה בתחום −√a < x < √a, וקעורה כלפי מטה בתחומים x < −√a ו-x > √a.

סעיף ד: מציאת g וסקיצה

(1) נשים לב שהמונה 4x הוא פעמיים הנגזרת של x² − a:

נציב את הנקודה (0 , 0):

g(x) = 2x² / (a(a − x²)). בדיקה: g(0) = 0, ו-g′(x) = 4x(x² − a)² = f(x).

(הערה: הנקודה (0 , 0) קובעת את הקבוע רק בתחום האמצעי. בשני התחומים החיצוניים אפשר היה לבחור קבוע אחר, ולכן השאלה מבקשת "פונקציה". הבחירה הטבעית היא אותו קבוע בכל התחום, וזו הפונקציה שלמעלה.)

(2) נאסוף את התכונות:

• g זוגית (תלויה רק ב-x²).
• אסימפטוטות אנכיות x = ±√a.
• כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, g(x) שואפת ל-2x²−ax² = −2a. אסימפטוטה אופקית y = −2a. מכיוון ש-g(x) + 2a = −2x² − a < 0 כאשר x² > a, הגרף מתקרב אליה מלמטה.
• בתחום −√a < x < √a: g ≥ 0, מינימום ב-(0 , 0) (g′ = f עוברת שם ממינוס לפלוס), ועלייה לאינסוף ליד שתי האסימפטוטות. קעורה כלפי מעלה.
• בתחום x > √a: g שלילית, עולה ממינוס אינסוף (ליד x = √a) ומתקרבת ל-−2a מלמטה. קעורה כלפי מטה. בתחום x < −√a תמונת ראי.

סעיף ה: h(x) = f(x) · g(x)

(1) ב-x = ±√a המכנה מתאפס והמונה לא, ולכן אסימפטוטות אנכיות. מעלת המונה 3 ומעלת המכנה 6, ולכן h שואפת ל-0 בשני הקצוות.

אסימפטוטות: x = √a, x = −√a, y = 0.

(2) הסימן של h הוא סימן f כפול סימן g:

h חיובית בתחומים x < −√a ו-0 < x < √a.

איפה נופלים בשאלה 6. בגזירה שוכחים את הנגזרת הפנימית 2x של (x² − a)², ומקבלים מונה שגוי. בסעיף ד(1) מוצאים פונקציה קדומה ושוכחים להציב את (0 , 0), ואז האסימפטוטה האופקית של g יוצאת y = 0 במקום y = −2a. בסעיף ה(2) כוללים את x = 0, שבו h(0) = 0, כלומר אינה חיובית.

שאלה 7, פונקציה טריגונומטרית עם שורש (25 נקודות)

הנתונים. f(x) = cos x − √cos x, בתחום −π ≤ x ≤ π.

כלי עזר שמקצר כמעט כל סעיף: נסמן t = √cos x. אז f = t² − t = t(t − 1), ו-t נע בין 0 ל-1.

סעיף א: חקירה

(1) השורש מוגדר כאשר cos x ≥ 0. בתחום −π ≤ x ≤ π זה קורה בדיוק כאשר

−π2 ≤ x ≤ π2.

(2) התחום סימטרי סביב 0, ו-cos(−x) = cos x, ולכן

f זוגית.

(3) חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = 1 − 1 = 0, הנקודה (0 , 0).

חיתוך עם ציר ה-x: t(t − 1) = 0, כלומר t = 0 או t = 1.

נקודות החיתוך: (−π2 , 0), (0 , 0), (π2 , 0).

(4) נגזור (בתוך התחום, כאשר cos x > 0):

f′(x) = 0 כאשר:

הערך ב-cos x = 14: f = 14 − 12 = −14.

טבלת סימנים בצד הימני (הצד השמאלי תמונת ראי, כי f זוגית):

ובצד השמאלי: f יורדת בתחום −π2 < x < −1.32 ועולה בתחום −1.32 < x < 0.

• ב-x = 0 f עוברת מעלייה לירידה: מקסימום (0 , 0).
• ב-x = ±1.32 f עוברת מירידה לעלייה: מינימום (1.32 , −0.25) ו-(−1.32 , −0.25).
• בקצוות התחום f(±π2) = 0. ליד π2 הפונקציה עולה אל הקצה, וליד −π2 היא יורדת מן הקצה. לכן (π2 , 0) ו-(−π2 , 0) נקודות מקסימום קצה (π2 ≈ 1.57).

סעיף ב: סקיצה

צורת W רדודה: מתחילים ב-(−1.57 , 0), יורדים למינימום (−1.32 , −0.25), עולים למקסימום (0 , 0), יורדים למינימום (1.32 , −0.25), ועולים עד (1.57 , 0). כל הגרף מתחת לציר ה-x או עליו. ליד הקצוות f′ שואפת לאינסוף בערכה המוחלט, ולכן הגרף נכנס לנקודות הקצה כמעט אנכית.

סעיף ג: חיוביות ושליליות

t(t − 1) ≤ 0 לכל 0 ≤ t ≤ 1, ושוויון רק ב-t = 0 או t = 1, כלומר ב-x = 0 וב-x = ±π2.

f שלילית בתחומים −π2 < x < 0 ו-0 < x < π2. אין תחום חיוביות.

סעיף ד: איזה גרף הוא f′

נאסוף את מה שידוע על f′:

• f זוגית, ולכן f′ אי-זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית.
• f′ אינה מוגדרת ב-x = ±π2. כאשר x מתקרב ל-π2 משמאל, cos x שואף ל-0 מלמעלה ו-sin x ל-1, ולכן f′ שואפת לאינסוף. כאשר x מתקרב ל-−π2 מימין, f′ שואפת למינוס אינסוף. כלומר יש שתי אסימפטוטות אנכיות.
• סימנים: שלילית, חיובית, שלילית, חיובית, עם אפסים ב-−1.32, 0, 1.32.

גרפים I ו-II חסומים ואין להם אסימפטוטות, ולכן נפסלים. בגרף III ה"גבעה" שמשמאל לציר ה-y גבוהה בהרבה מן ה"עמק" שמימינו, ולכן הוא אינו סימטרי ביחס לראשית ונפסל. גרף IV מקיים את כל התכונות.

סעיף ה: מציאת k

g(x) = k − f(x), k > 0. S הוא השטח בין f לציר ה-x בתחום 0 ≤ x ≤ π2. f ≤ 0 שם, ולכן

f ≤ 0 ו-k > 0, ולכן g(x) = k − f(x) ≥ k > 0 ≥ f(x): בכל התחום g מעל f. השטח ביניהן:

f זוגית, ולכן האינטגרל על כל התחום כפול האינטגרל על חציו: 2 · (−S) = −2S.

לפי הנתון השטח הוא 10S:

k = 6Sπ.

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף א(4) שוכחים את נקודות הקצה, או מסמנים אותן כמינימום כי "שם הגרף נוגע בציר". f שלילית ליד הקצוות, ולכן הקצוות הם מקסימום. בסעיף ה מנסים לחשב את ∫√cos x, שאין לו פונקציה קדומה אלמנטרית. בדיוק בשביל זה השאלה נותנת את S.

שאלה 8, מלבן חסום בין קוטר למשיק (25 נקודות)

הנתונים. AB קוטר במעגל שרדיוסו R. C על הקוטר ו-D על המעגל, כך ש-CD ⊥ AB. AC = x, ו-AC > R, כלומר R < x < 2R. דרך D עובר ישר מקביל ל-AB, ובנקודה A משיק למעגל (מאונך ל-AB). הם נחתכים ב-E, ו-ACDE מלבן.

סעיף א: המלבן המקסימלי

אורך CD. ∢ADB = 90°, כי זו זווית היקפית הנשענת על הקוטר. במשולש ישר הזווית ADB, DC הוא הגובה ליתר, ולכן

(אותו דבר מקבלים ממשפט פיתגורס במשולש OCD, כאשר O מרכז המעגל: OC = x − R.)

שטח המלבן:

A(x) חיובי, ולכן הוא מקסימלי בדיוק כאשר A(x)² מקסימלי. נגזור את

u′(x) = 0 בתחום רק ב-x = 3R2. משמאל לנקודה (x < 3R2) u′ > 0, ומימינה u′ < 0. לכן זו נקודת מקסימום, והיחידה בתחום.

x = 3R2. (השטח המקסימלי: (3R2) · √ (3R2)(R2) = (3R2) · (√3R/2) = 3√3R²/4.)

סעיף ב: סכום שטחי המשולשים CDF ו-AFE

F על הצלע DE. במלבן, DE ניצב ל-CD ול-AE.

• במשולש CDF ניקח את CD כבסיס. הגובה מ-F לישר CD הוא DF, כי DE ⊥ CD.
• במשולש AFE ניקח את AE כבסיס. הגובה מ-F לישר AE הוא FE, כי DE ⊥ AE.

הסכום הוא תמיד חצי משטח המלבן, בלי קשר למקום של F על DE. לכן הוא מקסימלי בדיוק כאשר המלבן מקסימלי, כלומר ב-x = 3R2:

הסכום המקסימלי הוא 3√3R²/8.

איפה נופלים בשאלה 8. בסעיף א מבטאים את CD בעזרת זווית או שוכחים ש-C נמצאת מעבר למרכז, ומקבלים CD² = x(2R + x). בסעיף ב מכניסים משתנה חדש למיקום של F ומתחילים לגזור, כשהמקום של F כלל אינו משפיע על הסכום.

התשובות בקצרה