התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35571 · חורף · תשפ״ד · 2024
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: שאלות קצרות
שאלה 1 25 נקודות
ארבעה סעיפים קצרים: הוכחה באינדוקציה, מרובע חסום ודמיון, זיהוי פונקציה לפי גרף, גרף פונקציה וגרף הנגזרת
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה באינדוקציה על n זוגי. בסיס: n = 2 נותן 48 = 2 · 4 · 6. מעבר מ-n ל-n + 2: n(n + 2)(n + 4) + 6(n + 2)(n + 4) = (n + 2)(n + 4)(n + 6), וזה בדיוק אגף ימין עבור n + 2 |
| ב(1) | הוכחה: ∢A משותפת. במרובע החסום BCED ∢DEC + ∢DBC = 180°, ו-∢AED = 180° − ∢DEC, ולכן ∢AED = ∢ABC. מכאן △AED ∼ △ABC לפי ז.ז. (A↔A, E↔B, D↔C) |
| ב(2) | ABAC = 2 |
| ב(3) | כן. ∢ABC = 180° − 150° = 30°, ובמשולש ABC AC = 3x, AB = 6x, ולכן לפי משפט הסינוסים sin∢ACB = 1, כלומר ∢BCE = 90°. זווית היקפית של 90° נשענת על קוטר, ולכן BE קוטר |
| ג(1) | ביטוי II: f(x) = x√x² − 16. תחום ההגדרה x < −4 או x > 4, אסימפטוטות אנכיות x = 4 ו-x = −4, ואסימפטוטות אופקיות y = 1 (כש-x שואף לאינסוף) ו-y = −1 (כש-x שואף למינוס אינסוף) |
| ג(2) | g עולה בתחום x < −5 ובתחום x > 4, ויורדת בתחום −5 < x < −4 |
| ד(1) | גרף II מתאר את f(x). נקודות החיתוך של גרף I עם ציר ה-x נמצאות בדיוק מתחת לנקודות הקיצון A, B, C של גרף II, ובכל תחום שבו גרף II עולה גרף I חיובי, ובכל תחום שבו הוא יורד גרף I שלילי |
| ד(2) | 3 נקודות פיתול, כי לגרף הנגזרת (גרף I) יש שלוש נקודות קיצון: מינימום, מקסימום ומינימום |
| ד(3) | yC = 5 |
פרק שני: סדרות והסתברות
שאלה 2 25 נקודות
סדרה חשבונית עם פרמטר, סדרה חדשה וסכום של הפרשי ריבועים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | k > 2 (ההפרש d = 3k − 6 חיובי) |
| א(2) | k < 2 |
| א(3) | k = 2 |
| ב | k = −3 |
| ג | bₙ = 9n + 40, ולכן bₙ₊₁ − bₙ = 9 לכל n טבעי. ההפרש קבוע, והסדרה B חשבונית |
| ד | −48,465 |
שאלה 3 25 נקודות
הסתברות מותנית בסקר, והתפלגות בינומית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | p + k − 1 |
| ב | p = 0.6, k = 0.7 |
| ג | 3132 = 0.96875 |
| ד | 0.20736 |
פרק שלישי: גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
שאלה 4 25 נקודות
שני מעגלים נחתכים, מרובע בר חסימה, חוצה זווית ומשולש ישר זווית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה: המרובע ABED חסום במעגל השמאלי, ולכן ∢ADE + ∢ABE = 180°. הנקודות E, B, C על ישר אחד, ולכן ∢CBA = 180° − ∢ABE. מכאן ∢EDA = ∢CBA |
| ב | הוכחה: ∢AFC = ∢ABC (זוויות היקפיות במעגל הימני הנשענות על אותה קשת AC), ולפי סעיף א ∢ABC = ∢EDA = ∢GDA. לכן ∢GDA + ∢AFG = ∢AFC + (180° − ∢AFC) = 180°, וזוג זוויות נגדיות משלימות פירושו שהמרובע GDAF בר חסימה |
| ג | הוכחה: ∢GEC זווית חיצונית למשולש DEC, ולכן ∢GEC = ∢EDC + ∢ECD = ∢AFC + ∢BCA. ∢CHA זווית חיצונית למשולש HFC, ולכן ∢CHA = ∢AFC + ∢FCB. מן הנתון ∢GEC = ∢CHA נובע ∢BCA = ∢FCB, כלומר CE חוצה את הזווית DCG, ולפי משפט חוצה הזווית במשולש DCG: CGCD = GEDE |
| ד | EG = 30, CG = 60 |
שאלה 5 25 נקודות
משיק, מיתר ומרובע בר חסימה: זוויות, משפט הסינוסים ורדיוס מעגל חוסם
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | ∢ODE = 90°, ∢OCE = 90°, ∢DOC = 60° + 2α, ∢DEC = 120° − 2α |
| ב | DE = 2R · sin α · sin(60° + α) / sin(120° − 2α) |
| ג | cos α = 78, ולכן α ≈ 28.96° |
| ד | היחס בקירוב 0.55 (בערך 1 : 1.82). הערך המדויק 2884 − 1260√5121 |
פרק רביעי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 25 נקודות
חקירת פונקציה עם שורש, פונקציה קדומה, משיק, נקודת פיתול ואינטגרל
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≥ 0, x ≠ 4 |
| א(2) | x = 4 (אנכית), y = 0 (אופקית) |
| א(3) | (0 , −1) ו-(16 , 0) |
| א(4) | (36 , 18) נקודת מקסימום. בקצה התחום, (0 , −1) נקודת מקסימום קצה |
| ב | הגרף מתחיל ב-(0 , −1), יורד לכיוון מינוס אינסוף כש-x מתקרב ל-4 משמאל, עולה מימין לאסימפטוטה ממינוס אינסוף, חותך את ציר ה-x ב-(16 , 0), מגיע למקסימום (36 , 18), ויורד לאט לכיוון y = 0 מלמעלה |
| ג | g′(x) = [2(√x − 2) − 2x · 12√x] / (√x − 2)² = √x − 4(√x − 2)² = f(x) |
| ד(I) | לא נכונה. שיפוע המשיק לגרף g הוא g′(x) = f(x), ו-f(x) ≤ 18 בכל התחום (בקטע 0 ≤ x < 4 אפילו f(x) ≤ −1), ולכן f(x) = 2 אין לה פתרון |
| ד(II) | נכונה. g″(x) = f′(x), ו-f′ מחליפה סימן בתחום רק ב-x = 36. לכן ל-g נקודת פיתול אחת בלבד, (36 , 18) |
| ה | 3518 ≈ 1.94 |
שאלה 7 25 נקודות
חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר, מספר פתרונות ואינטגרל ופונקציה קעורה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | a = 1 |
| ב(1) | −2π ≤ x ≤ 2π, x ≠ −π2, x ≠ 3π2 |
| ב(2) | (0 , −1), (π2 , 0), (−3π2 , 0) |
| ב(3) | (π2 , 0) ו-(−3π2 , 0) נקודות מקסימום. בקצוות התחום: (−2π , −1) מינימום קצה, (2π , −1) מקסימום קצה |
| ג | אסימפטוטות אנכיות x = −π2 ו-x = 3π2. הגרף כולו מתחת לציר ה-x או עליו: מ-(−2π , −1) עולה למקסימום (−3π2 , 0), יורד למינוס אינסוף ליד x = −π2, עולה דרך (0 , −1) למקסימום (π2 , 0), יורד למינוס אינסוף ליד x = 3π2, ועולה עד (2π , −1) |
| ד | 5 פתרונות: f(x) = −1 שקולה ל-sin x = 0, ובתחום x = −2π, −π, 0, π, 2π |
| ה | נכונה. בקטע 0 ≤ x ≤ π הפונקציה f(x) + 1 מוגדרת וקעורה כלפי מטה, ערכיה 0, 1, 0 ב-x = 0, π2, π, ולכן גרפה מעל שני המיתרים שמחברים נקודות אלה. השטח שמתחתיו גדול משטח המשולש, π · 1 / 2 = π2 |
שאלה 8 25 נקודות
בעיית קיצון: יחס בין שטחים של שתי גינות
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | SA = t(k − t − 1) |
| ב | t = √k − 1 |
| ג | t = √k − 1. היחס SASB הוא ההופכי של SBSA, ושני היחסים חיוביים, ולכן הוא מקסימלי בדיוק במקום שבו SBSA מינימלי |