מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 5 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בארבעה פרקים: שאלות קצרות (שאלה 1), סדרות והסתברות (שאלות 2 ו-3), גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8).

עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השני, השלישי והרביעי. כל שאלה שווה 25 נקודות, וארבע שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מארבע שאלות, נבדקות לו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת. בשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים א עד ד, וגם שם נבדקות רק שתי התשובות הראשונות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה ארבע שעות וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות, ובשאלה 1 כל ארבעת הסעיפים, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: שאלות קצרות

שאלה 1, ארבעה סעיפים קצרים (25 נקודות)

עונים על שניים מן הסעיפים. כל סעיף כאן עומד בפני עצמו.

סעיף א: הוכחה באינדוקציה

הנתונים. צריך להוכיח שלכל n טבעי זוגי מתקיים

לפני שמתחילים, נבין איך הסכום בנוי. האיבר הכללי הוא 6m(m + 2), ו-m רץ על המספרים הזוגיים 2, 4, 6 וכן הלאה עד n:

מכאן ההחלטה החשובה של השאלה: הטענה נוגעת רק ל-n זוגי, ולכן צעד האינדוקציה עובר מ-n ל-n + 2, ולא ל-n + 1.

בדיקה עבור n = 2. באגף שמאל יש איבר אחד, 48. באגף ימין 2 · 4 · 6 = 48. הטענה נכונה.

הנחת האינדוקציה. נניח שעבור n זוגי מסוים מתקיים

צעד האינדוקציה. נוכיח עבור n + 2. אגף שמאל מקבל איבר אחד נוסף, האיבר של m = n + 2, שהוא 6(n + 2)(n + 4). לפי ההנחה, כל מה שלפניו שווה n(n + 2)(n + 4). לכן

הוצאנו את הגורם המשותף (n + 2)(n + 4) מחוץ לסוגריים. אגף ימין של הטענה עבור n + 2 הוא בדיוק (n + 2)(n + 4)(n + 6). שני האגפים שווים.

מסקנה. הטענה נכונה עבור n = 2, ומנכונותה עבור n זוגי נובעת נכונותה עבור n + 2. לכן היא נכונה לכל n טבעי זוגי.

איפה נופלים בסעיף א. עוברים מ-n ל-n + 1 מתוך הרגל, ואז האיבר שמוסיפים הוא 6(n + 1)(n + 3), שאינו שייך לסכום בכלל. בסכום על מספרים זוגיים הצעד הוא 2.

סעיף ב: מרובע חסום ומשולשים דומים

הנתונים. המרובע BCED חסום במעגל. המשך המיתר BD והמשך המיתר CE נפגשים בנקודה A, כך ש-D נמצאת בין A ל-B, ו-E נמצאת בין A ל-C. נתון AD = CE ו-AE = 2CE.

(1) נשווה את המשולשים AED ו-ABC.

• הזווית A משותפת לשני המשולשים.
• במרובע חסום סכום זוויות נגדיות הוא 180°, ולכן ∢DEC + ∢DBC = 180°.
• הזוויות AED ו-DEC צמודות (A, E, C על ישר אחד), ולכן ∢AED = 180° − ∢DEC.
• משתי השורות האחרונות ∢AED = ∢DBC, כלומר ∢AED = ∢ABC.

שתי זוויות שוות, ולכן △AED ∼ △ABC לפי משפט הדמיון ז.ז. ההתאמה היא A↔A, E↔B, D↔C, ומכאן

(2) נסמן CE = x. לפי הנתונים

נציב ביחס הדמיון ADAC = AEAB:

ומכאן

היחס AB : AC הוא 2.

(3) נתון ∢DEC = 150°. מן הסכום של הזוויות הנגדיות במרובע החסום

עכשיו במשולש ABC ידועים שני צדדים והזווית שמול אחד מהם: AB = 6x, AC = 3x, ∢B = 30°. משפט הסינוסים:

הנקודה E נמצאת על CA, ולכן גם ∢BCE = 90°. זו זווית היקפית במעגל הנתון, והיא נשענת על המיתר BE. זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר.

כן, BE הוא קוטר במעגל.

איפה נופלים בסעיף ב. בסעיף (3) מציבים 150° כאילו זו זווית של המשולש ABC. הזווית הנתונה היא זווית של המרובע, והזווית שצריך היא המשלימה שלה. בסעיף (2) שוכחים ש-AC כולל גם את CE, ומציבים AC = 2x.

סעיף ג: איזה ביטוי מתאר את הגרף

(1) נקרא מן הסרטוט שלושה דברים:

• בין שתי האסימפטוטות האנכיות אין גרף כלל, ולכן תחום ההגדרה אינו כולל קטע שלם סביב 0.
• הענף הימני כולו מעל ציר ה-x, והענף השמאלי כולו מתחתיו.
• יש אסימפטוטה אופקית אחת מעל ציר ה-x (מימין) ואחת מתחתיו (משמאל).

עכשיו נפסול:

• בביטויים I ו-III מתחת לשורש x² + 16, שהוא חיובי לכל x. הם מוגדרים לכל x, ואין להם אסימפטוטות אנכיות. נפסלים.
• בביטוי IV המונה x² אינו שלילי והמכנה חיובי, ולכן הפונקציה חיובית בכל מקום. בגרף יש ענף שלילי. נפסל.

נשאר ביטוי II, f(x) = x√x² − 16, ונבדוק שהוא מתאים:

כאשר x שואף לאינסוף:

וכאשר x שואף למינוס אינסוף, x שלילי, ולכן הביטוי שואף למינוס 1. סימן הפונקציה הוא סימן של x: חיובית מימין, שלילית משמאל. הכול מתאים לסרטוט.

(2) נתון g′(x) = f(x) + 53, ו-g מוגדרת באותו תחום: x < −4 או x > 4.

נחפש היכן הנגזרת מתאפסת:

אגף שמאל שלילי, ולכן הפתרון חייב לקיים x < −4. נעלה בריבוע:

הפתרון x = 5 נפסל, כי בו אגף שמאל חיובי. נשאר x = −5, ובדיקה: −5√25 − 16 = −53. מתאים.

נבדוק את סימן g′ בכל קטע:

g עולה בתחום x < −5 ובתחום x > 4, ויורדת בתחום −5 < x < −4.

איפה נופלים בסעיף ג. בסעיף (2) שוכחים שאין ל-g תחום בין −4 ל-4, וכותבים "יורדת בתחום −5 < x < 4". ועוד: מקבלים גם את x = 5 אחרי ההעלאה בריבוע בלי לבדוק אותו במשוואה המקורית.

סעיף ד: גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

(1) בכל נקודת קיצון של f, הנגזרת f′ מתאפסת. נבדוק את גרף I: הוא חותך את ציר ה-x שלוש פעמים, ובדיוק מתחת לנקודות A, B, C, שהן נקודות הקיצון של גרף II. גם הסימנים מתאימים: משמאל ל-A גרף II עולה וגרף I חיובי, בין A ל-B גרף II יורד וגרף I שלילי, בין B ל-C גרף II עולה וגרף I חיובי, ומימין ל-C גרף II יורד וגרף I שלילי.

ההפך אינו אפשרי. אילו גרף I היה f, גרף II היה צריך להתאפס בנקודות הקיצון של גרף I, אבל שם גרף II חיובי.

גרף II מתאר את f(x), וגרף I מתאר את f′(x).

(2) בנקודת פיתול של f, הפונקציה f′ עוברת מעלייה לירידה או מירידה לעלייה, כלומר זו נקודת קיצון של f′. לגרף I (הנגזרת) יש שלוש נקודות קיצון: מינימום ליד ציר ה-y, מקסימום בין B ל-C, ומינימום מימין ל-C. נתון שכל נקודות הקיצון מתוארות בסרטוט.

לפונקציה f יש 3 נקודות פיתול.

(3) גרף I חותך את ציר ה-x בשיעורי ה-x של A, B ו-C, והשטח המקווקו נמשך מ-x_A עד x_C. בקטע מ-x_A עד x_B הנגזרת שלילית (השטח מתחת לציר), ובקטע מ-x_B עד x_C היא חיובית (השטח מעל לציר). האינטגרל של f′ הוא f עצמה, ולכן

השטח נתון, 7:

שיעור ה-y של C הוא 5. זה מתאים לסרטוט: C גבוהה מ-B ונמוכה מעט מ-A.

איפה נופלים בסעיף ד. בסעיף (3) מחשבים אינטגרל אחד מ-x_A עד x_C, ואז החלק שמתחת לציר מתקזז עם החלק שמעליו ויוצא y_C − y_A. שטח מחשבים בנפרד בכל קטע שבו הסימן קבוע, ומחליפים סימן לחלק שמתחת לציר.

פרק שני: סדרות והסתברות

שאלה 2, סדרה חשבונית עם פרמטר (25 נקודות)

הנתונים. בסדרה חשבונית A נתון a₁ = −4 − 4k ו-a₃ = −16 + 2k, ו-k פרמטר.

סעיף א: עולה, יורדת, קבועה

בין a₁ ל-a₃ יש שני הפרשים:

סדרה חשבונית עולה כשההפרש חיובי, יורדת כשהוא שלילי, וקבועה כשהוא אפס.

סעיף ב: הערך של k

נתון a₁₇ = −232:

k = −3. מכאן a₁ = −4 + 12 = 8 ו-d = −9 − 6 = −15, ולכן

בדיקה: a₃ = 23 − 45 = −22, וגם −16 + 2 · (−3) = −22. מתאים.

סעיף ג: הסדרה B חשבונית

נחשב את ההפרש בין שני איברים סמוכים:

ההפרש קבוע ואינו תלוי ב-n, ולכן הסדרה B חשבונית, עם b₁ = 49 והפרש 9.

סעיף ד: הסכום

נקבץ זוגות, ובכל זוג נשתמש בהפרש ריבועים:

כי b₁ − b₂ = −9. כך גם בכל זוג אחר: b₃² − b₄² = −9(b₃ + b₄), וכן הלאה עד b₂₉² − b₃₀² = −9(b₂₉ + b₃₀). אחרי הוצאת −9 כגורם משותף, בתוך הסוגריים נשאר סכום כל שלושים האיברים הראשונים של B:

הסכום הוא −48,465.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ד מנסים לחשב שלושים ריבועים אחד אחד, או מסכמים את הריבועים כאילו גם הם סדרה חשבונית. הם אינם. המפתח הוא הפרש ריבועים: כל זוג הופך לסכום של שני איברים כפול ההפרש. ועוד: בהפרש b₁ − b₂ הסימן שלילי, מינוס 9, ומי ששוכח אותו מקבל תשובה חיובית.

שאלה 3, סקר על הקמת פארק (25 נקודות)

הנתונים. בסקר השתתפו מבוגרים וצעירים בלבד, וכל משתתף תמך או התנגד. כל המבוגרים תמכו. בוחרים משתתף באקראי. p היא ההסתברות שהוא צעיר, ו-k ההסתברות שהוא תמך.

סעיף א: צעיר שתומך

כל מי שתמך הוא צעיר שתמך או מבוגר שתמך. כל המבוגרים תמכו, ולכן ההסתברות למבוגר שתמך היא פשוט ההסתברות למבוגר, 1 − p. מכאן

ההסתברות היא p + k − 1.

נוח לסדר את הנתונים בטבלה:

סעיף ב: מציאת p ו-k

שני נתונים חדשים, ושניהם מתארים את אותה משבצת, "צעיר ותומך", מזווית אחרת.

מחצית מן הצעירים תמכו, ולכן P(צעיר ותומך) = p2.

37 מן התומכים היו צעירים, ולכן P(צעיר ותומך) = 3k7.

נשווה כל אחד מהם לביטוי מסעיף א:

נשווה בין שני הביטויים ל-k:

ומכאן k = 7 · 0.6 / 6 = 0.7.

p = 0.6, k = 0.7.

בדיקה: צעירים תומכים 0.3, שהם מחצית מ-0.6. מבוגרים 0.4. סך התומכים 0.7, ומתוכם 0.30.7 = 37 צעירים. הכול מתאים.

סעיף ג: לפחות אחד תמך ולפחות אחד התנגד

בין הצעירים, ההסתברות לתמיכה היא 12 וההסתברות להתנגדות היא 12. יוסי ראיין 6 צעירים באקראי, וכל ריאיון הוא ניסוי בלתי תלוי.

"לפחות אחד תמך ולפחות אחד התנגד" קורה בכל מקרה חוץ משניים: כולם תמכו, או כולם התנגדו. לכן נחשב דרך המשלים:

ההסתברות היא 3132, כלומר 0.96875.

סעיף ד: בדיוק 3 צעירים, והאחרון צעיר

עכשיו מראיינים 5 משתתפים מכלל הסקר, ובכל ריאיון ההסתברות לצעיר היא 0.6.

הדרישה היא שהמרואיין החמישי יהיה צעיר, ושבין ארבעת הראשונים יהיו בדיוק 2 צעירים (כדי שבסך הכול יהיו 3).

ההסתברות היא 0.20736.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב מבלבלים בין "מחצית מן הצעירים תמכו" ובין "מחצית מן התומכים צעירים". הראשון מחלק ב-p, השני ב-k. בסעיף ד מחשבים C(5,3) · 0.6³ · 0.4², ושוכחים את התנאי על המרואיין האחרון. כשהאחרון קבוע, מסדרים רק את ארבעת הראשונים.

פרק שלישי: גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור

שאלה 4, שני מעגלים נחתכים (25 נקודות)

הנתונים. שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. הנקודה C על המעגל הימני. המשך CA חותך את המעגל השמאלי ב-D, והמשך CB חותך אותו ב-E. לכן C, A, D על ישר אחד, ו-C, B, E על ישר אחד. הנקודה F על הקשת BC של המעגל הימני, והמשכי CF ו-DE נפגשים ב-G.

על המעגל השמאלי נמצאות D, A, B, E, ועל המעגל הימני A, B, F, C.

סעיף א: ∢EDA = ∢CBA

המרובע ABED חסום במעגל השמאלי. סכום זוויות נגדיות בו 180°:

הנקודות E, B, C על ישר אחד, ולכן הזוויות ABE ו-CBA צמודות:

משתי השורות ∢EDA = ∢CBA. במילים: הזווית החיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה.

סעיף ב: GDAF בר חסימה

במעגל הימני, הזוויות ABC ו-AFC הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת AC (B ו-F באותו צד של המיתר AC), ולכן

לפי סעיף א, ∢ABC = ∢EDA. הנקודה E על הקטע DG, ולכן ∢EDA = ∢GDA. מכאן

הנקודות G, F, C על ישר אחד, ולכן ∢AFG = 180° − ∢AFC. נחבר את שתי הזוויות הנגדיות של המרובע GDAF:

במרובע שבו זוג זוויות נגדיות משלימות ל-180°, אפשר לחסום מעגל.

סעיף ג: CGCD = GEDE

הנתונים. המיתרים AF ו-BC נפגשים ב-H, ונתון ∢GEC = ∢CHA.

היחס שצריך להוכיח הוא בדיוק משפט חוצה הזווית במשולש DCG, אם CE חוצה את הזווית DCG. לכן המטרה היא להראות ש-∢ECG = ∢ECD.

הזווית GEC. G נמצאת על המשך DE, ולכן GEC זווית חיצונית למשולש DEC. זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

∢EDC היא ∢EDA (A על DC), ולפי סעיפים א ו-ב היא שווה ל-∢AFC. ∢ECD היא ∢BCA. לכן

הזווית CHA. H נמצאת על AF, ולכן CHA זווית חיצונית למשולש HFC:

השוואה. מן הנתון ∢GEC = ∢CHA:

כלומר ∢ECD = ∢ECG, ו-CE חוצה את הזווית DCG. לפי משפט חוצה הזווית במשולש DCG, החוצה מחלק את הצלע DG ביחס הצלעות הסמוכות:

CGCD = GEDE

סעיף ד: אורכי EG ו-CG

הנתונים. CE מאונך ל-AB, CD = 36, DE = 18.

CE ו-AB נחתכים ב-B, ולכן ∢ABE = 90°. במעגל השמאלי זו זווית היקפית בת 90°, ולכן AE קוטר במעגל השמאלי. גם ∢ADE נשענת על הקוטר AE, ולכן ∢ADE = 90°, כלומר המשולש EDC ישר זווית ב-D, וגם המשולש GDC ישר זווית ב-D.

במשולש EDC:

לפי סעיף ג, CE חוצה את הזווית DCG, ולכן ∢DCG = 2 · ∢ECD. נסמן ∢ECD = β:

במשולש GDC:

EG = 30, CG = 60.

בדיקה מול סעיף ג: CGCD = 6036 = 53, וגם GEDE = 3018 = 53.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג מחפשים דמיון משולשים, כי היחס נראה כמו יחס דמיון, ומתקדמים בלי סוף. ארבעה קטעים על שתי צלעות ועל הצלע השלישית של אותו משולש הם סימן ההיכר של משפט חוצה הזווית. בסעיף ד שוכחים להשתמש בסעיף ג, ואז חסר נתון כדי למצוא את G.

שאלה 5, משיק, מיתר ומעגל חוסם (25 נקודות)

הנתונים. מעגל שמרכזו O ורדיוסו R. מן הנקודה E שמחוץ למעגל עובר ישר החותך את המעגל ב-A וב-B. הנקודה D על הקשת הגדולה AB, ו-ED משיק למעגל. C אמצע המיתר AB. ∢DOA = 2α, כאשר α < 60°. המרחק של O מן המיתר AB הוא 0.5R.

סעיף א: זוויות המרובע DOCE

• ED משיק, ו-OD רדיוס לנקודת ההשקה. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: ∢ODE = 90°.
• C אמצע המיתר AB. הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר: ∢OCE = 90°. לכן OC הוא המרחק של O מן המיתר, OC = 0.5R.
• במשולש ישר הזווית OCA, היתר OA = R והניצב OC = 0.5R:

הקרן OA נמצאת בין OD ל-OC, ולכן ∢DOC = 2α + 60°.

• סכום הזוויות במרובע 360°:

הזוויות: ∢ODE = 90°, ∢OCE = 90°, ∢DOC = 60° + 2α, ∢DEC = 120° − 2α.

סעיף ב: אורך DE

נעבוד במשולש ADE, ונמצא בו צלע אחת ושלוש זוויות.

הצלע DA. במשולש DOA, OD = OA = R והזווית ביניהן 2α. המשולש שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שוות:

לפי משפט הסינוסים במשולש DOA:

הזווית ADE. ∢ODE = 90°, ולכן ∢ADE = 90° − ∢ODA = 90° − (90° − α) = α.

הזווית DAE. במשולש OCA, ∢OAC = 180° − 90° − 60° = 30°. הנקודות B, C, A, E על ישר אחד, ולכן שלוש הזוויות שליד A, מן הקרן AC עד הקרן AE, משלימות ל-180°:

הזווית AED. 180° − α − (60° + α) = 120° − 2α, בהתאמה לסעיף א.

משפט הסינוסים במשולש ADE:

DE = 2R · sinα · sin(60° + α) / sin(120° − 2α)

סעיף ג: מציאת α

נתון שרדיוס המעגל החוסם את המשולש AOD הוא 4R7. לפי משפט הסינוסים, צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה שווה לפעמיים הרדיוס החוסם. נבחר את הצלע OA, שמולה הזווית ODA = 90° − α:

α ≈ 28.96° (כלומר cos α = 78). זה מקיים את התנאי α < 60°.

סעיף ד: יחס השטחים

במרובע DOCE שתי זוויות נגדיות ישרות, ∢ODE = ∢OCE = 90°, וסכומן 180°, ולכן אפשר לחסום אותו במעגל. הזווית ODE בת 90° היא זווית היקפית במעגל הזה, ולכן היא נשענת על קוטר: OE הוא קוטר המעגל החוסם את DOCE.

נמצא את DE עם α מסעיף ג:

במשולש ישר הזווית ODE:

רדיוס המעגל החוסם הוא OE2, ולכן

היחס הוא בקירוב 0.55, כלומר בערך 1 : 1.82. למי שמעדיף ערך מדויק: 2884 − 1260√5121.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב מחפשים את DE במשולש ODE, וחסרה שם זווית. הדרך היא המשולש ADE, ובו כל הזוויות יוצאות מ-α ומן הזווית של 30° שבמשולש OCA. בסעיף ד מחפשים את רדיוס המעגל החוסם בעזרת משפט הסינוסים, במקום לשים לב שהזווית הישרה ב-D הופכת את OE לקוטר.

פרק רביעי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה עם שורש (25 נקודות)

הנתונים.

סעיף א: חקירה

(1) תחום ההגדרה. השורש דורש x ≥ 0, והמכנה דורש √x ≠ 2, כלומר x ≠ 4.

x ≥ 0, x ≠ 4.

(2) אסימפטוטות. ב-x = 4 המכנה מתאפס והמונה שווה 2 − 4 = −2, ולכן זו אסימפטוטה אנכית. כאשר x שואף לאינסוף, המונה גדל כמו √x והמכנה כמו x, ולכן השבר שואף ל-0.

אסימפטוטה אנכית x = 4, ואסימפטוטה אופקית y = 0.

(3) חיתוך עם הצירים.

(0 , −1) ו-(16 , 0).

(4) נקודות קיצון. נגזור לפי כלל המנה. נסמן u = √x − 4 ו-v = (√x − 2)²:

נוציא את √x − 2√x מן המונה ונצמצם:

הנגזרת מתאפסת כאשר √x = 6, כלומר x = 36. נבדוק סימנים:

(36 , 18) נקודת מקסימום. בנוסף, הפונקציה מתחילה ב-x = 0 ויורדת מיד אחריו, ולכן (0 , −1) היא נקודת מקסימום קצה.

סעיף ב: סקיצה

• מ-(0 , −1) הגרף יורד, וכש-x מתקרב ל-4 משמאל הוא צולל למינוס אינסוף.
• מימין ל-x = 4 הגרף עולה ממינוס אינסוף, חותך את ציר ה-x ב-(16 , 0), ומגיע למקסימום (36 , 18).
• מימין ל-36 הגרף יורד לאט, ומתקרב לציר ה-x מלמעלה בלי לגעת בו.

שימו לב שמשני צדי האסימפטוטה x = 4 הגרף יורד למינוס אינסוף, כי המכנה הוא ריבוע והמונה שלילי ליד 4.

סעיף ג: f(x) = g′(x)

נגזור לפי כלל המנה, עבור x > 0 בתחום:

השתמשנו בכך ש-x√x = √x. הדרישה x > 0 נחוצה כי ב-x = 0 הנגזרת של √x אינה מוגדרת.

סעיף ד: שתי טענות על g

טענה I: יש משיק לגרף g ששיפועו 2. שיפוע המשיק לגרף g הוא g′(x) = f(x). לכן צריך לבדוק אם f(x) = 2 אפשרי. לפי החקירה:

• בקטע 0 ≤ x < 4 הפונקציה יורדת מן הערך −1, ולכן f(x) ≤ −1.
• בתחום x > 4 הערך הגדול ביותר הוא המקסימום, 18.

f אינה מגיעה ל-2 לעולם. הטענה לא נכונה.

טענה II: לפונקציה g יש נקודת פיתול אחת בלבד. נקודת פיתול של g היא נקודה שבה g″ מחליפה סימן, ו-g″ = f′. לפי טבלת הסימנים, f′ מחליפה סימן בתחום רק ב-x = 36. ב-x = 4 היא אמנם מחליפה סימן, אבל זו נקודה מחוץ לתחום ההגדרה.

לפונקציה g יש נקודת פיתול אחת, (36 , 18). הטענה נכונה.

סעיף ה: האינטגרל

לפי סעיף ג, f = g′. לכן המכפלה היא g·g′, וזו הנגזרת של g²2 (לפי כלל השרשרת, (g²2)′ = g·g′). הקטע מ-0.25 עד 1 נמצא בתוך התחום ואינו חוצה את x = 4.

ערך הביטוי 3518, כלומר בערך 1.94.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף א(4) גוזרים (√x − 2)² בלי כלל השרשרת ומקבלים 2(√x − 2) בלי הגורם 12√x. בסעיף ה מנסים לחשב את האינטגרל ישירות, ושוכחים שסעיף ג נכתב בדיוק בשבילו: המכפלה g·f היא g·g′.

שאלה 7, פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר (25 נקודות)

הנתונים.

הפונקציה מוגדרת כאשר sin x ≠ −a. הגרף משיק לציר ה-x בכל נקודות הקיצון שלו.

סעיף א: הערך של a

a > 0, ולכן הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן בדיוק כאשר cos x = 0, כלומר כאשר sin x = 1 או sin x = −1.

"משיק לציר ה-x בנקודת קיצון" פירושו שערך הפונקציה שם הוא 0. בנקודות שבהן sin x = 1 הפונקציה תמיד מוגדרת (המכנה 1 + a חיובי), וערכה

הערך הזה מתאפס רק כאשר a = 1. לכן a = 1 הכרחי.

נבדוק שהוא גם מספיק. עבור a = 1, הנקודות שבהן sin x = −1 מחוץ לתחום ההגדרה, ולכן נקודות הקיצון היחידות הן אלה שבהן sin x = 1, ובהן f = 0. מתאים.

סעיף ב: חקירה עבור a = 1 בתחום −2π ≤ x ≤ 2π

(1) תחום ההגדרה. sin x ≠ −1. בתחום הנתון sin x = −1 ב-x = −π2 וב-x = 3π2.

−2π ≤ x ≤ 2π, x ≠ −π2, x ≠ 3π2.

(2) חיתוך עם הצירים.

(0 , −1), (π2 , 0), (−3π2 , 0).

(3) נקודות קיצון. f′ מתאפסת כאשר cos x = 0. בתחום: x = ±π2, ±3π2, אבל −π2 ו-3π2 מחוץ לתחום. נשארות x = π2 ו-x = −3π2, ובשתיהן f = 0.

המכנה (sin x + 1)² חיובי, ולכן סימן f′ הוא סימן cos x:

(π2 , 0) ו-(−3π2 , 0) נקודות מקסימום. אפשר לראות זאת גם בלי טבלה: המונה sin x − 1 לעולם אינו חיובי והמכנה חיובי, ולכן f(x) ≤ 0, והערך 0 הוא הגדול ביותר.

בקצוות התחום, f(−2π) = f(2π) = −1. ב-x = −2π הפונקציה עולה מיד אחריו, ולכן (−2π , −1) מינימום קצה. ב-x = 2π היא עולה עד אליו, ולכן (2π , −1) מקסימום קצה.

סעיף ג: סקיצה

• אסימפטוטות אנכיות: x = −π2 ו-x = 3π2. ליד כל אחת מהן, משני הצדדים, הגרף צולל למינוס אינסוף, כי המונה שם קרוב למינוס 2 והמכנה חיובי וקטן.
• הגרף כולו מתחת לציר ה-x, ונוגע בו רק בשתי נקודות המקסימום.
• המהלך משמאל לימין: מ-(−2π , −1) עולה ל-(−3π2 , 0), יורד למינוס אינסוף ליד x = −π2, עולה ממינוס אינסוף דרך (0 , −1) עד (π2 , 0), יורד למינוס אינסוף ליד x = 3π2, ועולה עד (2π , −1).

סעיף ד: מספר הפתרונות של f(x) = −1

בתחום הנתון: x = −2π, −π, 0, π, 2π. כל החמישה בתחום ההגדרה.

למשוואה 5 פתרונות. זה מתאים לסקיצה: הישר y = −1 חוצה את הגרף שלוש פעמים בתוך התחום (בנקודות x = −π, x = 0, x = π), ופוגש אותו גם בשני קצות התחום.

סעיף ה: האם ∫(f(x) + 1)dx מ-0 עד π גדול מ-π2

הקטע 0 ≤ x ≤ π נמצא כולו בתוך חלק אחד של תחום ההגדרה, −π2 < x < 3π2, ולכן בו f קעורה כלפי מטה. הוספת 1 מזיזה את הגרף למעלה ואינה משנה את הקעירות, ולכן גם f(x) + 1 קעורה כלפי מטה בקטע.

ערכי f(x) + 1 בשלוש נקודות:

גרף של פונקציה קעורה כלפי מטה נמצא מעל כל מיתר שמחבר שתי נקודות עליו. לכן בקטע מ-0 עד π2 הגרף מעל הקטע שמחבר את (0 , 0) ל-(π2 , 1), ובקטע מ-π2 עד π הוא מעל הקטע שמחבר את (π2 , 1) ל-(π , 0). שני הקטעים יוצרים משולש שבסיסו π וגובהו 1. בנוסף, f(x) + 1 = 2sin xsin x + 1 אינה שלילית בקטע, ולכן האינטגרל הוא השטח שמתחת לגרף.

הגרף מעוקל ואינו מתלכד עם צלעות המשולש, ולכן השטח שמתחתיו גדול ממש מ-π2.

הטענה נכונה. (למי שרוצה לבדוק: הערך המדויק של האינטגרל הוא 2π − 4 ≈ 2.28.)

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף א מציבים רק sin x = −1 ומקבלים a שאינו מתאים, או שוכחים שעבור a = 1 הנקודות האלה נעלמות מן התחום. בסעיף ב(1) שוכחים את x = 3π2, כי מחפשים רק בצד השלילי. בסעיף ה מנסים לחשב את האינטגרל, והשאלה מכוונת לנימוק דרך הקעירות.

שאלה 8, שתי גינות (25 נקודות)

הנתונים. שתי גינות מלבניות צמודות, A מתחת ל-B. רוחב A הוא t מטרים. רוחב B הוא 2 מטרים ושטחה 2t + 2 מ"ר. האורך הכולל של שתי הגינות, זו מעל זו, הוא k מטרים, ו-k קבוע.

סעיף א: שטח הגינה A

אורך הגינה B הוא השטח חלקי הרוחב:

אורך הגינה A הוא מה שנשאר מן האורך הכולל:

שטח הגינה A הוא t(k − t − 1) מ"ר. כדי שהאורכים יהיו חיוביים, 0 < t < k − 1.

סעיף ב: היחס S_BS_A מינימלי

נגזור לפי כלל המנה:

נפתח את המונה:

נשווה לאפס:

רק השורש החיובי בתחום: t = √k − 1, והוא אכן קטן מ-k − 1 כאשר k > 1.

סימן המונה הוא סימן של פרבולה מחייכת: שלילי משמאל ל-√k − 1 וחיובי מימינו. לכן r יורדת ואחר כך עולה, ובנקודה זו מינימום.

t = √k − 1.

סעיף ג: היחס S_AS_B מקסימלי

שני השטחים חיוביים, ולכן r(t) > 0. כאשר מספר חיובי קטן, ההופכי שלו גדל. לכן S_AS_B מקבל את הערך הגדול ביותר בדיוק בנקודה שבה r(t) מקבל את הערך הקטן ביותר.

t = √k − 1, אותו ערך כמו בסעיף ב.

איפה נופלים בשאלה 8. בסעיף א שוכחים לחשב את אורך B מן השטח, ומחסרים מן k את 2, שהוא הרוחב של B ולא האורך שלה. בסעיף ג גוזרים מחדש מן ההתחלה, וזה נכון אבל מיותר. הנימוק דרך ההופכי קצר, והשאלה מבקשת אותו במפורש.

התשובות בקצרה