מתמטיקה א׳

הוכחה באינדוקצייה. בסיס: n = 1 נותן 13 בשני האגפים. מעבר: n(n + 1)2(2n + 1) + (n + 1)²(2n + 1)(2n + 3) = (n + 1)(2n² + 5n + 2)2(2n + 1)(2n + 3) = (n + 1)(n + 2)2(2n + 3), וזה בדיוק אגף ימין עבור n + 1

הטענה לא נכונה. 60% + 70% = 130%, ולכן לפחות 30% מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית

הטענה נכונה. שתי ההסתברויות הן אותו חלק משותף p > 0 מחולק במכנה אחר: P(עברית | קומיקס) = p0.6 ו-P(קומיקס | עברית) = p0.7, ומכיוון ש-0.6 < 0.7 ההסתברות הראשונה גדולה יותר

סקיצה: g חיובית לכל x בתחום. אסימפטוטה אנכית x = 12, ואין אסימפטוטה אופקית (g → ∞ כש-x → ±∞). שתי נקודות מינימום: (6 , 1a²) ו-(18 , 14a²). משמאל ל-12 הגרף יורד מ-∞ עד המינימום ב-x = 6 ועולה ל-∞ ליד x = 12. מימין ל-12 הוא יורד מ-∞ עד המינימום ב-x = 18 ועולה ל-∞

גרף I. הפונקצייה g יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה (כי g′ = f ≤ 0), יש לה משיק אופקי ב-x = 0 (כי f(0) = 0) והיא עוברת ב-(0 , 0.75) מעל ציר ה-x, האסימפטוטה האנכית שלה x = 2 והאופקית y = 2. גרפים III ו-IV עולים בחלק מן התחום, ובגרף II המשיק ב-x = 0 אינו אופקי

c(n+1)/c(n) = q · 2q = 2q², מנה קבועה, ולכן c(n) הנדסית ומנתה 2q²

שלילי. a(n+1) − a(n) = a(n)(q − 1), ו-q − 1 = −34 < 0, ולכן כדי שהסדרה תעלה חייב a(n) < 0, ובפרט a₁ < 0

יורדת. c₁ = a₁ · b₁ = a₁² > 0, והמנה 2q² = 18 נמצאת בין 0 ל-1

OE = OK ו-OB = OC (רדיוסים), ולכן OEOB = OKOC, ולשני המשולשים OEK ו-OBC זווית משותפת O. המשולשים דומים (צ.ז.צ), ולכן ∠OEK = ∠OBC, וזוויות מתאימות שוות נותנות BC ∥ EK

O ו-M שתיהן על האנך האמצעי של EK (OE = OK, ME = MK), ולכן OM ⊥ EK, ומסעיף א OM ⊥ BC. הזווית ACB היקפית הנשענת על הקוטר AB, ולכן AC ⊥ BC. שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים: OM ∥ AC

במשולש שווה השוקיים ABC (AB = BC) גם ∠BAC = α. האנך מ-B לבסיס AC חוצה אותו. בכל אחד משני המשולשים ישרי הזווית שנוצרים, הניצב שליד הזווית α שווה k · cos α, והוא חצי מ-AC. לכן AC = 2k · cos α

∠ADC ≈ 53.13° (cos ∠ADC = 0.6, והזווית DAC ישרה)

x = 3 ו-y = 0

(−3 , −a12), מינימום

סקיצה: משמאל הגרף מתקרב ל-y = 0 מלמטה, יורד עד המינימום (−3 , −a12), עולה דרך הראשית ל-∞ ליד x = 3. מימין ל-3 הוא יורד מ-∞ ומתקרב ל-y = 0 מלמעלה. נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא (0 , 0)

חיובית: −3 < x < 3. שלילית: x < −3 או x > 3 (מתאפסת ב-x = −3)

17128 ≈ 0.133 יחידות שטח

זוגית, כי cos(−x) = cos x ולכן f(−x) = f(x) לכל x בתחום

(−π , 0) ו-(π , 0)

מינימום (−π3 , −98) ו-(π3 , −98). מקסימום (0 , −1). נקודות הקצה (−π , 0) ו-(π , 0) הן מקסימום

סקיצה: הגרף כולו מתחת לציר ה-x או עליו, בצורת W: מ-(−π , 0) יורד עד (−π3 , −98), עולה עד (0 , −1), יורד עד (π3 , −98) ועולה עד (π , 0). הוא סימטרי סביב ציר ה-y

שווה אפס. f(x) ≤ 0 בכל התחום, ולכן |f(x)| = −f(x) ו-h(x) = 0 לכל x

x ≤ −1 או x ≥ 1

(1 , 0) ו-(2.6 , 4.8)