מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 5 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בארבעה פרקים: שאלות קצרות (שאלה 1), אינדוקצייה, סדרות והסתברות (שאלות 2 ו-3), גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8).

עונים על חמש שאלות: לפחות על שאלה אחת מן הפרק הראשון או השני, ולפחות על שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי. כל שאלה שווה 20 נקודות, וחמש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מחמש שאלות, נבדקות לו רק חמש התשובות הראשונות שבמחברת. בשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים א עד ד, וגם שם נבדקות רק שתי התשובות הראשונות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שלוש שעות וארבעים וחמש דקות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות, ובשאלה 1 כל ארבעת הסעיפים, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: שאלות קצרות

שאלה 1, ארבעה סעיפים קצרים (20 נקודות)

עונים על שניים מן הסעיפים. כל סעיף כאן עומד בפני עצמו.

סעיף א: אינדוקצייה על סכום של שברים

צריך להוכיח שלכל n טבעי

נבין קודם איך הסכום בנוי. האיבר שבמקום k הוא k²(2k − 1)(2k + 1): במונה ריבוע של מספר המקום, ובמכנה שני האי-זוגיים שמשני צדי 2k. כשנוסיף איבר, נציב k = n + 1 ונקבל (n + 1)²(2n + 1)(2n + 3).

בדיקה עבור n = 1. באגף שמאל יש איבר אחד בלבד, 11 · 3 = 13. באגף ימין 1 · 2 / (2 · 3) = 26 = 13. הטענה נכונה.

הנחת האינדוקצייה. נניח שעבור n טבעי מסוים מתקיים

צריך להוכיח את הטענה עבור n + 1, כלומר

ההוכחה. נחליף את כל האיברים עד המקום n לפי ההנחה. בשני השברים שנשארו יש גורם משותף, n + 12n + 1, ונוציא אותו:

עכשיו הרגע החשוב: מפרקים את 2n² + 5n + 2. שורשי המשוואה 2n² + 5n + 2 = 0 הם n = −2 ו-n = −½, ולכן

הגורם 2n + 1 מצטמצם עם המכנה:

קיבלנו בדיוק את אגף ימין עבור n + 1, כי 2(n + 1) + 1 = 2n + 3. לפי עקרון האינדוקצייה, השוויון מתקיים לכל n טבעי.

סעיף ב: הספרים של יונתן

הנתונים. 60% מן הספרים הם ספרי קומיקס ו-40% ספרי עיון. 70% מן הספרים בעברית ו-30% באנגלית. נסמן ב-p את החלק של הספרים שהם גם קומיקס וגם בעברית.

טענה I: ליונתן אין ספרי קומיקס בעברית.

נחשוב על כל הספרים כעל 100%. ספרי הקומיקס תופסים 60% וספרי העברית 70%. אם שתי הקבוצות היו זרות, הן היו תופסות יחד 130%, ואין דבר כזה. כלומר הקבוצות חייבות לחפוף, והחפיפה היא לפחות

אותה מסקנה בדרך אחרת: יש רק 40% ספרי עיון, ולכן גם אם כל ספרי העיון בעברית, נשארים לפחות 70% − 40% = 30% ספרים בעברית שאינם ספרי עיון, והם ספרי קומיקס.

הטענה לא נכונה. לפחות 30% מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית.

טענה II: P(עברית | קומיקס) גדולה מ-P(קומיקס | עברית).

שתי ההסתברויות המותנות בנויות מאותו מונה, החלק המשותף p, ומכנה שונה:

מטענה I אנחנו יודעים ש-p > 0 (בעצם p ≥ 0.3). כשמחלקים אותו מספר חיובי במספר קטן יותר, מקבלים תוצאה גדולה יותר, ו-0.6 < 0.7.

הטענה נכונה.

סעיף ג: הפונקצייה g(x) = 1(f(x))²

הנתונים מן הגרף. f מוגדרת לכל x. יש לה אסימפטוטה אחת בלבד, y = 0, והגרף מתקרב אליה משני הצדדים: משמאל מלמעלה ומימין מלמטה. נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה-x היא (12 , 0). נקודות הקיצון: מקסימום (6 , a) ומינימום (18 , −2a), ו-a > 1.

נרשום את תחומי העלייה והירידה ואת הסימן של f, כי ממנו נבנה הכול:

(1) תחום ההגדרה. אסור שהמכנה (f(x))² יתאפס, כלומר אסור ש-f(x) = 0. הדבר קורה רק ב-x = 12, ולכן

תחום ההגדרה של g הוא x ≠ 12.

(2) סקיצה. נאסוף את התכונות של g אחת אחת.

סימן. (f(x))² > 0 בכל התחום, ולכן g(x) > 0 תמיד. הגרף כולו מעל ציר ה-x.

אסימפטוטות. כש-x מתקרב ל-12, f(x) מתקרבת ל-0, ולכן 1(f(x))² שואפת ל-∞. זו אסימפטוטה אנכית x = 12. כש-x → ∞ או x → −∞, גם אז f(x) → 0, ולכן g(x) → ∞. אין ל-g אסימפטוטה אופקית.

עלייה, ירידה וקיצון. לפי כלל השרשרת

הסימן של g′ הפוך לסימן של f′ במקום שבו f חיובית, וזהה לו במקום שבו f שלילית:

ההיגיון מאחורי הטבלה פשוט: g גדולה כש-|f| קטן, וקטנה כש-|f| גדול. במקום שבו |f| מגיע לשיא, ל-g יש שפל. לכן שתי נקודות הקיצון של f הופכות לשתי נקודות מינימום של g:

תיאור הסקיצה. משמאל לאסימפטוטה x = 12: הגרף יורד מ-∞ עד המינימום (6 , 1a²), ואז עולה ל-∞ כש-x מתקרב ל-12. מימין לאסימפטוטה: הגרף יורד מ-∞ עד המינימום (18 , 14a²), ואז עולה ל-∞. שתי "קערות" מעל ציר ה-x, והקערה הימנית יורדת נמוך יותר, כי 14a² < 1a².

(3) הערך של a. הישר y = a27 אופקי. נספור כמה פעמים ישר אופקי y = c חותך כל קערה:

כדי לקבל בדיוק 3 נקודות צריך 1 + 2. האפשרות היחידה: הישר משיק לקערה השמאלית, כלומר עובר בדיוק בגובה המינימום שלה, וכך הוא בהכרח גבוה מן המינימום של הקערה הימנית וחותך אותה פעמיים. (אם הישר בגובה 14a², הוא נוגע בקערה הימנית בלבד, ויש נקודה אחת.)

התוצאה מקיימת a > 1. a = 3.

סעיף ד: מן f אל g, וזיהוי הגרף

הנתונים. f(x) = −30x² / (x³ − 8)², בתחום x ≠ 2. נתון ש-g′(x) = f(x), ש-g מוגדרת בתחום x ≠ 2, ושהגרף של g עובר דרך (0 , 0.75).

(1) מציאת g. צריך פונקצייה קדומה של f. שימו לב שבמונה יש x², וזו בדיוק הנגזרת של x³ (עד כדי פי 3). זה סימן להציב u = x³ − 8:

בדיקה בגזירה: (10 · (x³ − 8)⁻¹)′ = −10 · 3x² / (x³ − 8)² = −30x² / (x³ − 8)². נכון.

נציב את הנקודה (0 , 0.75):

g(x) = 10x³ − 8 + 2.

הערה קטנה לתלמיד המדויק: התחום x ≠ 2 בנוי משני קטעים נפרדים, והנקודה (0 , 0.75) קובעת את הקבוע רק בקטע x < 2. השאלה מבקשת פונקצייה המקיימת את התנאים, ולכן מותר לבחור את אותו קבוע גם בקטע השני, וזו הבחירה הטבעית.

(2) איזה גרף. נאסוף מה ידוע על g:

• g יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה. g′(x) = f(x) = −30x²(x³ − 8)², ובשבר הזה המונה x² ≥ 0 והמכנה ריבוע חיובי. לכן f(x) ≤ 0 בכל התחום, ומתאפסת רק ב-x = 0. גם בגרף של f רואים זאת: הוא כולו מתחת לציר ה-x או עליו.
• משיק אופקי ב-x = 0. g′(0) = f(0) = 0. זו לא נקודת קיצון, כי g′ לא מחליפה סימן שם (שלילית משני הצדדים), אלא נקודה שבה הגרף "מתיישר" לרגע וממשיך לרדת.
• הנקודה (0 , 0.75) נמצאת מעל ציר ה-x.
• אסימפטוטות. x = 2 אנכית: משמאל g → −∞ (המכנה x³ − 8 קטן ושלילי), ומימין g → +∞. y = 2 אופקית, כי 10x³ − 8 → 0 כש-x → ±∞. משמאל הגרף מתקרב ל-2 מלמטה, ומימין מלמעלה.
• חיתוך עם ציר ה-x. 10x³ − 8 = −2 נותן x³ = 3, כלומר x = ∛3 ≈ 1.44, בין ציר ה-y לבין האסימפטוטה.

עכשיו נעבור על הגרפים:

• גרף IV עולה לאורך כל התחום. נפסל, כי g יורדת.
• גרף III עולה בחלק השמאלי, ליד האסימפטוטה האנכית, ויש לו שם מינימום. נפסל מאותה סיבה.
• גרף II יורד, אבל בנקודה שבה הוא חוצה את ציר ה-y השיפוע שלו שלילי בבירור, ואין בה משיק אופקי. נפסל, כי g′(0) = 0.
• גרף I יורד בשני הקטעים, "מתיישר" בדיוק על ציר ה-y מעל ציר ה-x, חוצה את ציר ה-x לפני האסימפטוטה האנכית ומתקרב לאסימפטוטה האופקית משני צדדיה כמו שחישבנו.

התשובה: גרף I.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א, מי שלא מוציא גורם משותף לפני שהוא מכנס את השברים נתקע עם מכנה ענק. החוכמה היא להוציא את n + 12n + 1 מיד, ואחר כך לפרק את 2n² + 5n + 2. בסעיף ג, טעות נפוצה היא לחשוב שהמקסימום של f נשאר מקסימום של g. הפוך: 1f² מחליפה גבוה בנמוך. ועוד טעות: לשכוח ש-g שואפת ל-∞ גם בקצוות, ולכן אין לה אסימפטוטה אופקית. בסעיף ד, נקודה שבה g′ = 0 אינה בהכרח קיצון. כאן היא נקודת פיתול עם משיק אופקי.

פרק שני: אינדוקצייה, סדרות והסתברות

שאלה 2, שלוש סדרות הנדסיות (20 נקודות)

הנתונים. a(n) סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה q. b(n) סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה 2q. הסדרה c(n) מוגדרת על ידי c(n) = a(n) · b(n).

סעיף א: c(n) הנדסית

סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לקודמו קבועה. נחשב את המנה הזאת עבור c(n):

(אין כאן חלוקה באפס: בסדרה הנדסית אין איבר שווה אפס.) המנה אינה תלויה ב-n, ולכן c(n) היא סדרה הנדסית, ומנתה 2q².

סעיף ב: הערך של q

נתון: a₁ = b₁ ו-c₂ = (18) · (a₁)².

נבטא את c₂ באמצעות a₁ ו-q:

נשווה לנתון. a₁ ≠ 0, ולכן מותר לחלק ב-a₁²:

נפסול את q = −14. בסדרה הנדסית עם מנה שלילית הסימנים של האיברים מתחלפים: חיובי, שלילי, חיובי וכן הלאה. סדרה כזאת קופצת למעלה ולמטה, ואינה יכולה להיות עולה. נתון שהסדרות עולות, ולכן

q = 14.

מכאן מנת b(n) היא 2q = 12, ומנת c(n) היא 2q² = 18.

סעיף ג: סימן ומגמה

(1) הסימן של a₁. נבדוק את ההפרש בין שני איברים עוקבים:

הסדרה עולה, ולכן ההפרש חיובי. מכפלה של a(n) במספר שלילי חיובית רק אם a(n) שלילי. כך כל איברי הסדרה שליליים, ובפרט

a₁ שלילי.

אפשר גם לחשוב על זה בלי נוסחה: כשהמנה בין 0 ל-1, כל איבר קרוב יותר לאפס מן הקודם. אם האיברים חיוביים, הם קטנים, והסדרה יורדת. כדי שהסדרה תעלה, האיברים חייבים להיות שליליים ולהתקרב לאפס מלמטה.

(2) המגמה של c(n). האיבר הראשון

חיובי, והמנה 2q² = 18 בין 0 ל-1. סדרה הנדסית עם איבר ראשון חיובי ומנה בין 0 ל-1 קטנה מאיבר לאיבר:

הסדרה c(n) יורדת.

סעיף ד: הערך של a₁

כל שלוש המנות בין −1 ל-1 (14, 12, 18), ולכן לכל שלוש הסדרות יש סכום אין-סופי. לפי נוסחת הסכום S = a₁ / (1 − q):

נציב בנתון S1 + S2 + S3 = 434:

נכפול ב-21 כדי להיפטר מן המכנים:

נפתור בנוסחת השורשים:

מסעיף ג(1) a₁ שלילי, ולכן a₁ = −21.

בדיקה: S1 = 4 · −213 = −28, S2 = 2 · (−21) = −42, S3 = 8 · 4417 = 504, והסכום −28 − 42 + 504 = 434. נכון.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב שוכחים לפסול את q = −14, או פוסלים אותו "כי מנה לא יכולה להיות שלילית", וזה נימוק שגוי: מנה שלילית מותרת, אבל סדרה כזאת אינה עולה. בסעיף ד, מי שלא זוכר את התוצאה של ג(1) נשאר עם שתי תשובות. והמלכודת הכי עדינה: סדרה עולה עם מנה בין 0 ל-1 היא בהכרח סדרה של מספרים שליליים.

שאלה 3, שני שקים והוצאה עם החזרה (20 נקודות)

הנתונים. בשק א' 10 כדורים: 4 רכים ו-6 קשים. בשק ב' 12 כדורים: x רכים ו-12 − x קשים. גלית בוחרת שק באקראי, כלומר כל שק בהסתברות ½, ומוציאה ממנו שני כדורים עם החזרה. לכן שתי ההוצאות מאותו שק בלתי תלויות, וההסתברות לסוג מסוים זהה בשתיהן.

סעיף א: הערך של x

נבנה עץ: בענף הראשון בוחרים שק, ובשניים הבאים מוציאים כדורים.

נשווה לנתון 41200 = 0.205:

(x מספר כדורים ולכן אינו שלילי.) x = 6. בשק ב' יש 6 כדורים רכים ו-6 קשים.

סעיף ב: שני כדורים מאותו סוג, מאיזה שק?

זו הסתברות מותנית: יודעים שהכדורים מאותו סוג, ושואלים מה הסיכוי שזה היה שק א'.

ההסתברות היא 2651, בערך 0.51.

סעיף ג: בדיוק פעמיים שני כדורים קשים מתוך 4

גלית חוזרת על אותו תהליך 4 פעמים, והפעמים בלתי תלויות זו בזו. נחשב קודם את ההסתברות ל"הצלחה" בפעם אחת, כלומר ששני הכדורים קשים:

זה ניסוי ברנולי: 4 חזרות, הסתברות הצלחה 0.305 ואי-הצלחה 0.695. בדיוק 2 הצלחות:

ההסתברות היא בערך 0.2696.

סעיף ד: פעמיים שני קשים ופעמיים שני רכים

עכשיו לכל פעם יש שלוש תוצאות אפשריות: שני קשים (0.305), שני רכים (0.205, מסעיף א), או כדורים מסוגים שונים (השאר). אנחנו רוצים שתי פעמים מן הסוג הראשון ושתי פעמים מן הסוג השני.

מספר הסידורים: בוחרים אילו 2 מתוך 4 הפעמים יהיו "שני קשים", ושתי הפעמים האחרות הן אוטומטית "שני רכים". יש C(4,2) = 6 סידורים כאלה (קקרר, קרקר, קררק, רקקר, רקרק, ררקק). כל סידור קורה בהסתברות 0.305² · 0.205²:

ההסתברות היא בערך 0.02346.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ג מתבלבלים ומחשבים את ההצלחה כ"כדור קשה" בודד, במקום "שני כדורים קשים בפעם אחת". בסעיף ד שוכחים את המקדם 6, כאילו הפעמים חייבות להגיע בסדר קבוע. ועוד מלכודת: בחירת השק נעשית מחדש בכל פעם, ולכן 0.305 היא ההסתברות לכל פעם, כולל בחירת השק.

פרק שלישי: גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור

שאלה 4, מעגל ודלתון (20 נקודות)

הנתונים. מעגל שמרכזו O, ו-AB קוטר. C על המעגל. M מחוץ למעגל, והקטע AM חותך את הקטע CO בנקודה K. הנקודה E על הקטע BO, והמרובע EMKO הוא דלתון: MK = ME ו-OK = OE. נסמן ב-R את רדיוס המעגל.

סעיף א: BC ∥ EK

נסתכל על המשולשים OEK ו-OBC. הנקודה E על OB והנקודה K על OC, ולכן לשני המשולשים יש זווית משותפת בקודקוד O.

• OE = OK (נתון, צלעות הדלתון).
• OB = OC = R (רדיוסים).

לכן OEOB = OKOC. שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה, ולכן

מן הדמיון ∠OEK = ∠OBC. אלה זוויות מתאימות בין הישרים EK ו-BC עם החותך OB, וזוויות מתאימות שוות פירושן ישרים מקבילים:

BC ∥ EK.

(אפשר גם כך: שני המשולשים שווי שוקיים עם אותה זווית ראש O, ולכן זוויות הבסיס שלהם שוות.)

סעיף ב: OM ∥ AC

נשתמש בתכונה של דלתון: האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני.

• MK = ME, ולכן M נמצאת על האנך האמצעי של הקטע EK.
• OK = OE, ולכן גם O נמצאת על האנך האמצעי של EK.

שתי נקודות קובעות ישר אחד, ולכן הישר OM הוא האנך האמצעי של EK:

מסעיף א EK ∥ BC, ולכן גם OM ⊥ BC.

מצד שני, הזווית ACB היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר AB, ולכן היא ישרה:

שני הישרים OM ו-AC מאונכים שניהם לאותו ישר BC, ולכן הם מקבילים:

OM ∥ AC.

סעיף ג: היחס OMAC

נתון: BCEK = 53.

מן הדמיון בסעיף א, יחס הדמיון של △OEK ל-△OBC הוא

כלומר OK = 3R5, ומכאן KC = OC − OK = R − 3R5 = 2R5.

עכשיו נסתכל על המשולשים KOM ו-KCA, שנפגשים בנקודה K:

• ∠OKM = ∠CKA (זוויות קודקודיות).
• ∠KOM = ∠KCA (זוויות מתחלפות, כי OM ∥ AC והחותך הוא OC).

לכן △KOM ∼ △KCA (ז.ז), והצלעות המתאימות:

OMAC = 32.

סעיף ד: שטח המשולש AOC באמצעות S

נפרק את המשולש AOC לשני חלקים לאורך הקטע AK: המשולש AOK והמשולש AKC. נחשב כל אחד מהם בעזרת שטח הדלתון.

שלב 1: חצי דלתון. הדלתון סימטרי סביב האלכסון OM. המשולשים OKM ו-OEM חופפים (צ.צ.צ: OK = OE, MK = ME, OM משותפת), ולכן

שלב 2: המשולש AOK. למשולשים AOK ו-MOK יש קודקוד משותף O, והבסיסים שלהם, AK ו-KM, מונחים על אותו ישר AM. לכן יש להם אותו גובה מ-O, והיחס בין השטחים הוא היחס בין הבסיסים. מסעיף ג KAKM = 23, ולכן

שלב 3: המשולש AKC. למשולשים AKC ו-AOK יש קודקוד משותף A, והבסיסים KC ו-OK מונחים על הישר OC. שוב אותו גובה, והיחס הוא KCOK = 23:

שלב 4: מחברים.

שטח המשולש AOC הוא 5S9.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג, כדאי לזכור שהיחס 35 שייך ל-OKOC, ולא ל-OKKC. מי שמציב 35 ישר בדמיון של המשולשים KOM ו-KCA מקבל תשובה שגויה. בסעיף ד, הטעות הנפוצה היא להשתמש ביחס הדמיון בריבוע (94) בין משולשים שאינם דומים זה לזה. כאן המשולשים AOK ו-MOK אינם דומים, והם רק חולקים גובה, ולכן היחס בין השטחים הוא יחס הבסיסים, בלי ריבוע.

שאלה 5, טרפז ומעגל חסום (20 נקודות)

הנתונים. ABCD טרפז, AB ∥ DC. AB = BC = k, ∠ACB = α, ו-0° < α < 90°.

סעיף א: AC = 2k · cos α

במשולש ABC הצלעות AB ו-BC שוות, ולכן הוא שווה שוקיים עם הבסיס AC, וזוויות הבסיס שוות:

נוריד גובה מ-B לבסיס AC ונסמן את עקבו ב-H. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן AH = HC = AC2. במשולש ישר הזווית BHC:

ולכן AC = 2 · HC = 2k · cos α.

סעיף ב: הערך של α

נתון: DC = 2k, AD = 1.2k.

נעבור למשולש ACD. נמצא בו את הזווית ACD: היא והזווית BAC הן זוויות מתחלפות בין הבסיסים המקבילים AB ו-DC, עם החותך AC. לכן

עכשיו במשולש ACD ידועות שתי צלעות, AC ו-DC, והזווית שביניהן, α, וידועה גם הצלע השלישית AD. זה המקום של משפט הקוסינוסים:

נחלק ב-4k²:

(α חדה, ולכן sin α חיובי.) α ≈ 36.87°.

מכאן גם cos α = 0.8, ונזדקק לזה בהמשך.

סעיף ג: הזווית ADC

נחשב את AC:

ועכשיו נסתכל על שלוש הצלעות של המשולש ACD: AD = 1.2k, AC = 1.6k, DC = 2k. אלה בדיוק פי 0.4k מן המספרים 3, 4, 5:

לפי המשפט ההפוך למשפט פיתגורס, ∠DAC = 90°. במשולש ישר הזווית ACD:

∠ADC ≈ 53.13°. (וזה גם 90° − α, כמו שמתבקש במשולש ישר זווית.)

סעיף ד: הערך של k

המשכי הצלעות DA ו-CB נחתכים בנקודה E. נבנה את המשולש EDC.

הצלעות של EDC. AB ∥ DC, ולכן △EAB ∼ △EDC, ויחס הדמיון הוא

כלומר A היא אמצע ED ו-B היא אמצע EC:

המשולש EDC שווה שוקיים: EC = DC = 2k. (אפשר לראות את זה גם מן הזוויות: ∠D ≈ 53.13°, ∠C = ∠BCA + ∠ACD = 2α ≈ 73.74°, ולכן ∠E ≈ 53.13°, שווה ל-∠D.)

השטח. מסעיף ג, CA ⊥ ED, ולכן CA הוא הגובה מ-C לצלע ED, ואורכו 1.6k:

רדיוס המעגל החסום. בכל משולש S = r · p, כאשר p חצי ההיקף:

נשווה לנתון r = 14:

k = 703 ≈ 23.33.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב, הזווית שצריך במשולש ACD היא ACD, ולא ACB. רק המקבילות AB ∥ DC מעבירות את α לשם. בסעיף ד, מי שלא שם לב ש-A היא אמצע ED מחפש את E בחישובים ארוכים. וגם: כדאי לבדוק ש-1.2, 1.6, 2 הם 3, 4, 5 בקנה מידה. ברגע שמזהים את המשולש ישר הזווית, כל השאר נפתר בשורה.

פרק רביעי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקצייה רציונלית עם פרמטר (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = ax / (x − 3)², בתחום x ≠ 3, ו-a פרמטר חיובי.

סעיף א: אסימפטוטות וקיצון

(1) אסימפטוטות המאונכות לצירים.

אנכית. המכנה מתאפס ב-x = 3, והמונה שם שווה 3a ≠ 0. לכן x = 3 אסימפטוטה אנכית.

אופקית. מעלת המונה 1 קטנה ממעלת המכנה 2, ולכן f(x) → 0 כש-x → ±∞. לכן y = 0 אסימפטוטה אופקית.

(2) נקודת הקיצון. נגזור לפי כלל המנה, ונוציא את (x − 3) מן המונה כדי לצמצם:

f′(x) = 0 רק כאשר x = −3. נבדוק את סימן הנגזרת (a > 0):

ב-x = −3 הנגזרת עוברת משלילית לחיובית, ולכן זה מינימום:

נקודת מינימום (−3 , −a12).

סעיף ב: סקיצה

נוסיף נקודת חיתוך: f(x) = 0 רק כאשר x = 0, ולכן הגרף חותך את הצירים רק בראשית (0 , 0). סימן: המכנה תמיד חיובי, ולכן f שלילית עבור x < 0 וחיובית עבור x > 0 (x ≠ 3).

תיאור הסקיצה:

• משמאל, כש-x → −∞, הגרף מתקרב לאסימפטוטה y = 0 מלמטה.
• הוא יורד עד המינימום (−3 , −a12).
• עולה, עובר בראשית, וממשיך לעלות ל-+∞ כש-x מתקרב ל-3 משמאל.
• מימין ל-x = 3 הוא יורד מ-+∞, ומתקרב ל-y = 0 מלמעלה כש-x → ∞.

סעיף ג: הערך של a

g(x) = f(x) + 0.5 היא הזזה של f חצי יחידה כלפי מעלה. g(x) = 0 פירושו f(x) = −0.5. כלומר צריך שהישר y = −0.5 יפגוש את הגרף של f בדיוק פעם אחת.

מן הסקיצה: f מקבלת ערכים שליליים רק בתחום x < 0, ושם הערך הנמוך ביותר הוא המינימום −a12. משמאל ל-−3 הגרף יורד מ-0 ל-−a12, ומימין ל-−3 הוא עולה מ-−a12 בחזרה ל-0. ישר אופקי שלילי y = c:

לכן צריך ש-y = −0.5 יעבור בדיוק דרך המינימום:

בדיקה אלגברית: ax(x − 3)² = −12 נותן x² + (2a − 6)x + 9 = 0. עבור a = 6 זה x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0, ופתרון יחיד x = −3. נכון.

a = 6.

סעיף ד: הפונקצייה h(x) = g(x) · g′(x)

נציב a = 6. קודם נפשט את g, כי יש פה הפתעה נעימה:

וזה מסתדר עם סעיף ג: g נוגעת בציר ה-x בנקודה אחת, x = −3, וחיובית בכל מקום אחר. הנגזרת של g זהה לזו של f, כי הוספת קבוע לא משנה נגזרת:

(1) תחומי חיוביות ושליליות.

חזקה אי-זוגית שומרת על הסימן: הסימן של (x + 3)³ הוא הסימן של x + 3, והסימן של (x − 3)⁵ הוא הסימן של x − 3. בגלל המקדם −3, h חיובית בדיוק כשהמנה x + 3x − 3 שלילית:

h חיובית בתחום −3 < x < 3, ושלילית בתחומים x < −3 ו-x > 3. ב-x = −3 היא מתאפסת.

אפשר להגיע לאותה תוצאה בלי לפשט: g(x) ≥ 0 תמיד, ולכן הסימן של h הוא הסימן של g′, כלומר h חיובית בדיוק במקום שבו g עולה (−3 < x < 3) ושלילית במקום שבו g יורדת.

(2) השטח בתחום −9 ≤ x ≤ 0.

הטריק: h = g · g′ היא בדיוק הנגזרת של ½g², לפי כלל השרשרת:

לכן ½g² היא פונקצייה קדומה של h, ואין צורך לפתח שום שבר.

h מחליפה סימן ב-x = −3, ולכן מחלקים את התחום לשניים. נחשב את ערכי g בנקודות הרלוונטיות:

בתחום −9 ≤ x ≤ −3: h שלילית, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

בתחום −3 ≤ x ≤ 0: h חיובית:

השטח הוא 17128 ≈ 0.133 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ד(2), מי שמחשב את האינטגרל ישר מ-−9 עד 0 בלי לפצל ב-x = −3 מקבל 18 − 1128 = 15128, כי החלק השלילי מקוזז. ועוד: מי שלא מזהה ש-h = g · g′ היא נגזרת של ½g² נכנס לאינטגרל של שבר ממעלה חמישית. הצורה "פונקצייה כפול הנגזרת שלה" היא רמז מובהק.

שאלה 7, פונקצייה טריגונומטרית עם פרמטר (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = (1 + cos x)(−1 + b cos x), בתחום −π ≤ x ≤ π, ו-0 < b < 1.

סעיף א: זוגית או אי-זוגית

הפונקצייה cos x זוגית: cos(−x) = cos x. לכן

גם התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. f זוגית.

(היא אינה אי-זוגית: f(0) = 2(b − 1) ≠ 0, ואילו פונקצייה אי-זוגית המוגדרת ב-0 חייבת להתאפס שם.)

סעיף ב: נקודות החיתוך עם ציר ה-x

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס.

• 1 + cos x = 0, כלומר cos x = −1. בתחום הנתון: x = −π או x = π.
• −1 + b cos x = 0, כלומר cos x = 1b. אבל 0 < b < 1, ולכן 1b > 1, ו-cos x לעולם אינו גדול מ-1. אין פתרון.

נקודות החיתוך: (−π , 0) ו-(π , 0).

סעיף ג: הערך של b

נגזור לפי כלל המכפלה:

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת. ב-x = π3: sin(π3) = √32 ≠ 0, ו-cos(π3) = ½, ולכן הגורם השני חייב להתאפס:

נוודא שזו באמת נקודת קיצון: עם b = ½, f′(x) = sin x · (½ − cos x). סביב π3 sin x חיובי, ו-½ − cos x עובר משלילי (משמאל, שם cos x > ½) לחיובי (מימין). הנגזרת מחליפה סימן, ולכן זה קיצון. b = 12.

סעיף ד: קיצון וסקיצה (b = ½)

(1) נקודות הקיצון. f′(x) = 0 כאשר:

• sin x = 0: בתחום, x = −π, 0, π.
• cos x = ½: בתחום, x = −π3, π3.

נחשב את הערכים:

טבלת סימנים של f′. נעבור על החצי הימני, והשמאלי זהה בשיקוף כי f זוגית:

נקודות הקיצון:

• מינימום: (−π3 , −98) ו-(π3 , −98).
• מקסימום: (0 , −1).
• נקודות הקצה (−π , 0) ו-(π , 0) הן נקודות מקסימום: מ-(−π , 0) הפונקצייה יורדת, ואל (π , 0) היא עולה.

(2) סקיצה. הגרף מתחיל ב-(−π , 0), יורד עד המינימום (−π3 , −98), עולה עד המקסימום (0 , −1), יורד שוב עד המינימום (π3 , −98) ועולה עד (π , 0). צורה של האות W, סימטרית סביב ציר ה-y, וכולה מתחת לציר ה-x פרט לשתי נקודות הקצה, שבהן היא נוגעת בו.

סעיף ה: הנקודה A על הגרף של h(x) = f(x) + |f(x)|

נזכור את הכלל של ערך מוחלט: אם מספר אי-שלילי, |f| = f; אם הוא שלילי, |f| = −f. לכן

השאלה היא אם כן איפה f חיובית. מסעיף ד, הערך הגבוה ביותר של f בתחום הוא 0 (בנקודות הקצה). אפשר לראות את זה גם ישירות מן הגורמים: 1 + cos x ≥ 0 תמיד, ו-−1 + ½ cos x ≤ −1 + ½ = −½ < 0 תמיד, ולכן המכפלה אינה חיובית אף פעם:

לכן |f(x)| = −f(x) בכל התחום (גם במקומות שבהם f = 0), ו-

הגרף של h הוא הקטע של ציר ה-x מ-−π עד π, וכל נקודה עליו היא בגובה 0.

שיעור ה-y של הנקודה A שווה אפס.

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף ב שוכחים לנמק למה הגורם −1 + b cos x אינו מתאפס. "אין פתרון" צריך להגיע עם הסבר: 1b > 1. בסעיף ד(1) נוטים לשכוח את נקודות הקצה, ובתחום סגור הן נקודות קיצון. בסעיף ה, התשובה "אי אפשר לקבוע" מפתה, כי A היא "נקודה כלשהי". אבל דווקא משום שהגרף של h כולו על ציר ה-x, אפשר לקבוע לכל נקודה.

שאלה 8, פונקציית שורש וישר (20 נקודות)

הנתונים. f(x) = 2√x² − 1, והישר y = 3x − 3.

סעיף א: תחום ההגדרה

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

x ≤ −1 או x ≥ 1.

סעיף ב: נקודות החיתוך עם הישר

לפני שמעלים בריבוע: אגף שמאל שורש, ולכן אי-שלילי. לכן גם אגף ימין חייב להיות אי-שלילי: 3x − 3 ≥ 0, כלומר x ≥ 1. נעלה בריבוע:

לא מחלקים ב-(x − 1), כי כך הולך לאיבוד פתרון. מעבירים אגף ומוציאים גורם משותף:

שני הפתרונות מקיימים x ≥ 1. נחשב את שיעורי ה-y בעזרת הישר:

בדיקה בפונקצייה: f(2.6) = 2√6.76 − 1 = 2√5.76 = 2 · 2.4 = 4.8. נכון.

נקודות החיתוך: (1 , 0) ו-(2.6 , 4.8).

סעיף ג: אורכי הקטעים AB ו-AC

הנקודה A על הגרף, ושיעור ה-x שלה t, ולכן

מי למעלה? בין שתי נקודות החיתוך, הגרף של f מעל הישר. נבדוק בנקודה אחת, למשל t = 2: f(2) = 2√3 ≈ 3.46, ואילו הישר נותן 3. גם הסרטוט מראה זאת.

(1) AB. הישר דרך A המקביל לציר ה-y הוא x = t. הוא פוגש את הישר הנתון בנקודה B(t , 3t − 3). לשתי הנקודות אותו שיעור x, ולכן האורך הוא הפרש שיעורי ה-y, הגבוה פחות הנמוך:

AB = 2√t² − 1 − (3t − 3) = 2√t² − 1 − 3t + 3.

(2) AC. הישר דרך A המקביל לציר ה-x הוא y = 2√t² − 1. נמצא איפה הוא פוגש את הישר הנתון:

זה שיעור ה-x של C. הנקודה A מעל הישר, והישר עולה, ולכן כדי להגיע לאותו גובה צריך ללכת ימינה: C מימין ל-A. האורך הוא הפרש שיעורי ה-x:

AC = 1 + (23)√t² − 1 − t.

שימו לב: AC = AB3. זה לא מקרה. במשולש ישר הזווית ABC, הניצב האנכי AB והניצב האופקי AC מקיימים ABAC = 3, וזה בדיוק שיפוע הישר.

סעיף ד: מתי הסכום AB + AC מקסימלי

מספיק למצוא מקסימום של AB, כי הכפל ב-43 לא משנה את מקומו. נגזור:

נשווה לאפס:

(לקחנו את השורש החיובי, כי 1 < t < 2.6, והערך נמצא בתחום.)

האם זה מקסימום? נבדוק את סימן הנגזרת משני הצדדים:

• כש-t קרוב ל-1 מימין, √t² − 1 קרוב לאפס, והשבר 2t√t² − 1 ענק. הנגזרת חיובית.
• ב-t = 2: 4√3 − 3 ≈ 2.31 − 3 < 0. הנגזרת שלילית.

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ולכן זו נקודת מקסימום.

t = 3√5 ≈ 1.34.

לשם השלמה, הסכום המקסימלי עצמו: √t² − 1 = √45 = 2√5, ולכן AB = 4√5 − 9√5 + 3 = 3 − √5, והסכום (43)(3 − √5) = 4 − 4√53 ≈ 1.02.

איפה נופלים בשאלה 8. בסעיף ב, מי שמחלק ב-(x − 1) מאבד את הפתרון x = 1, ומי שלא בודק את התנאי 3x − 3 ≥ 0 עלול להשאיר פתרון זר בבעיות אחרות מאותו סוג. בסעיף ג, האורך הוא תמיד הגדול פחות הקטן; כדאי לברר קודם מי מעל מי, אחרת מתקבל אורך שלילי. בסעיף ד, הקיצור AC = AB3 חוסך את גזירת שני הביטויים.

התשובות בקצרה