התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35571 · חורף · תשפ״ו · 2026
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: שאלות קצרות
שאלה 1 20 נקודות
ארבעה סעיפים קצרים: מעגל ושני משיקים מאונכים, הסתברות בשני משחקי שחמט, זיהוי גרף של פונקציית שורש, סדרה הנדסית עם קוסינוס
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | פי √2 + 1, בערך פי 2.414. OAKE ריבוע שצלעו R, ולכן BK = R(√2 − 1), ויחס השטחים הוא OBBK |
| א(2) | 32(√2 − 1)√32√2, בערך 1.97. R² = 32√2, S(AKB) = 16(√2 − 1), AK = R |
| ב(1) | 5p² |
| ב(2) | אפשרות III, p = 16. המשוואה (1 − 3p)²1 − 5p² = 931 נותנת p = 16 או p = 1127, ו-1127 נפסל כי אז ההסתברות לתיקו 1 − 3p שלילית |
| ג(1) | −4 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 4 |
| ג(2) | גרף IV. התחום שני קטעים נפרדים בלי x = 0 (פוסל את I ואת II); f(1) = 2√15 ≈ 7.75 גדול מ-f(4) = √15 ≈ 3.87, ובכל קשת מקסימום פנימי f(±2) = 5√3 ≈ 8.66 |
| ד(1) | a₁ = 110, a₂ = 120, a₃ = 140 |
| ד(2) | 2ⁿ זוגי, ולכן cos(π · 2ⁿ) = 1 ו-aₙ = 15 · 2ⁿ. a_(n+1)/aₙ = 12 קבוע, הסדרה הנדסית ו-q = 12 |
| ד(3) | 15 |
פרק שני: אינדוקצייה, סדרות והסתברות
שאלה 2 20 נקודות
סדרה הנדסית יורדת: סכום המקומות האי-זוגיים והזוגיים, סדרת מכפלות והוכחת סכום
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | q = 14 (q² = 116, והפתרון −14 נפסל כי הסדרה יורדת) |
| ב | a₁ = √5 (b₁ = 5a₁² = 1, והפתרון −√5 נותן סדרה עולה) |
| ג | bₙ = 16n − 1 |
| ד | הוכחה באינדוקצייה: עבור n = 1 שני האגפים 1; בצעד 16ⁿ − 115 + 16ⁿ = 16n+1 − 115. לחלופין, סכום סדרה הנדסית שאיברה הראשון 1 ומנתה 16 |
שאלה 3 20 נקודות
הסתברות מותנית בטבלה דו-ממדית (מדריכים ורישיונות נהיגה) והתפלגות בינומית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 30%. P(M | L) = P(L | M) = 12, ולכן P(L) = P(M) = 2x עם x = P(M וגם L), ו-3x = 0.45 |
| ב | 314 ≈ 0.214 |
| ג(1) | 78579268912 ≈ 0.292 (בינומית n = 5, p = 314: 1 − P(0) − P(1)) |
| ג(2) | 1380517462 ≈ 0.791 ((P(2) + P(4))/P(X > 1)) |
פרק שלישי: גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
שאלה 4 20 נקודות
משולש קהה זווית חסום במעגל: קוטר, משולש שווה שוקיים, מרובע בר חסימה ודמיון משולשים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה: ∢BAC = ∢BCA נותן BA = BC, ועם AB = BK מקבלים BA = BC = BK. במשולש ACK הזווית ב-C שווה לסכום שתי האחרות, ולכן ∢ACK = 90° ו-∢ACF = 90°. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן AF קוטר |
| ב | הוכחה: AF קוטר, ולכן ∢ABF = 90°, ו-BF הוא האנך האמצעי של AK (B אמצע AK). D על BF, ולכן DA = DK |
| ג(1) | הוכחה: ∢DBK = 90° ו-∢DCK = ∢ACK = 90°. סכום זוויות נגדיות 180°, ולכן BDCK בר חסימה |
| ג(2) | הוכחה: ∢DKC = ∢DBC (נשענות על DC במעגל של BDCK), ו-∢DBC = ∢FBC = ∢FAC (נשענות על הקשת FC במעגל המקורי) |
| ד | הוכחה: △DCK ∼ △FCA לפי ז.ז. (∢DCK = ∢FCA = 90°, ∢DKC = ∢FAC), ולכן DK · CA = CK · FA, ו-DK = AD לפי סעיף ב |
שאלה 5 20 נקודות
דלתון: משפט הסינוסים, רדיוסים של מעגלים חוסמים ושטח משולש
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | r = k · sinα / sin4α = k / (4cosα · cos2α) |
| ב | ∢BAD = 2α ≈ 48.19°, כאשר cos∢BAD = 23 (RABD = k2cosα, והשוואה ל-(43)r נותנת cos2α = 23) |
| ג | k = √280√53 ≈ 14.45. AO = k2cosα, AE = k2sinα, ∢OAE = 90°, ולכן S = k²4sin2α = 3k²4√5 = 70 |
פרק רביעי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 20 נקודות
פונקצייה עם שורש במונה ופרמטר: תחום, חקירה, ריבוע הפונקצייה, השוואת אינטגרלים ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x < 0 או x ≥ k5 |
| ב | k = 8 (החיתוך של f ו-(−f) הוא ב-f(x) = 0, כלומר x = k5 = 1.6) |
| ג(1) | x = 0 (אסימפטוטה אנכית, משמאל) ו-y = 0 (אסימפטוטה אופקית) |
| ג(2) | (2 , 14) נקודת מקסימום; (1.6 , 0) נקודת מינימום קצה. f′(x) = 20 − 10xx³√5x² − 8x |
| ג(3) | סקיצה: הענף השמאלי (x < 0) מתחת לציר ה-x, יורד מקרבת y = 0 למינוס אינסוף ליד x = 0; הענף הימני מתחיל ב-(1.6 , 0), עולה ל-(2 , 14) ויורד לעבר ציר ה-x מלמעלה |
| ד | סקיצה: g ≥ 0. הענף השמאלי מעל ציר ה-x, עולה מקרבת y = 0 לאינסוף ליד x = 0; הענף הימני מ-(1.6 , 0) עולה למקסימום (2 , 116) ויורד לעבר ציר ה-x. אסימפטוטות x = 0 ו-y = 0 |
| ה | קטן. עבור x > 2 מתקיים 0 < f(x) < 14 < 1, ולכן g(x) = (f(x))² < f(x) בכל הקטע |
| ו | 25324 ≈ 0.077 |
שאלה 7 20 נקודות
פונקצייה טריגונומטרית זוגית, חקירה, והפונקצייה 1f(x) + b עם אסימפטוטות
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה: התחום סימטרי, ו-f(−x) = (sin(−x))² + cos(−x) − 1 = (sin x)² + cos x − 1 = f(x) |
| ב(1) | (−π2 , 0), (0 , 0), (π2 , 0) |
| ב(2) | מקסימום (π3 , 14) ו-(−π3 , 14); מינימום (0 , 0); מינימום קצה (π , −2) ו-(−π , −2) |
| ג | סקיצה: סימטרית סביב ציר ה-y; מ-(−π , −2) עולה דרך (−π2 , 0) למקסימום (−π3 , 14), יורדת למינימום (0 , 0), עולה ל-(π3 , 14) ויורדת דרך (π2 , 0) עד (π , −2) |
| ד | b = 1 (חיובי; כל 0 < b ≤ 2 מתאים, וב-b = 2 שתי האסימפטוטות הן x = ±π בקצוות התחום) ו-b = −14 (שלילי; הערך השלילי היחיד) |
| ה(1) | −π ≤ x ≤ π, x ≠ ±π3 |
| ה(2) | (0 , −4) נקודת מקסימום; (π , −49) ו-(−π , −49) נקודות מקסימום קצה; אין נקודות מינימום |
| ו | סקיצה: אסימפטוטות אנכיות x = ±π3, וליד כל אחת g שואפת למינוס אינסוף משני הצדדים; כל הגרף מתחת לציר ה-x וסימטרי; מ-(−π , −49) יורדת; בין −π3 ל-π3 כיפה הפוכה עם מקסימום (0 , −4); מימין ל-π3 עולה עד (π , −49) |
שאלה 8 20 נקודות
פולינום עם פרמטר: נקודת פיתול, רביע ובעיית קיצון של סכום שטחי ריבועים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | A(1k , 8 − 2k²) |
| ב | k > 12 |
| ג | k = √831 ≈ 0.508 (S = (8 − 2k²)² + 1k², ועם t = 1k² הקודקוד ב-t = 318) |