מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 5 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בארבעה פרקים: שאלות קצרות (שאלה 1), אינדוקצייה, סדרות והסתברות (שאלות 2 ו-3), גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8).

עונים על חמש שאלות: לפחות על אחת מן הפרק הראשון או מן הפרק השני, ולפחות על אחת מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי. כל שאלה שווה 20 נקודות, וחמש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מחמש שאלות, נבדקות לו רק חמש התשובות הראשונות שבמחברת. בשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים א עד ד, וגם שם נבדקות רק שתי התשובות הראשונות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שלוש שעות וארבעים וחמש דקות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות, ובשאלה 1 כל ארבעת הסעיפים, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: שאלות קצרות

שאלה 1, ארבעה סעיפים קצרים (20 נקודות)

עונים על שניים מן הסעיפים. כל סעיף כאן עומד בפני עצמו.

סעיף א: מעגל ושני משיקים מאונכים

הנתונים. מעגל שמרכזו O ורדיוסו R. דרך הנקודות A ו-E שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה, והם נחתכים בנקודה K. הקטע KO חותך את המעגל בנקודה B.

קודם מבינים את הצורה. רדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן ∢OAK = 90° ו-∢OEK = 90°. גם ∢AKE = 90°, כי המשיקים מאונכים. במרובע OAKE יש שלוש זוויות ישרות, ולכן גם הרביעית ישרה, והמרובע הוא מלבן. שתי צלעות סמוכות בו, OA ו-OE, הן רדיוסים ושוות זו לזו. מכאן ש-OAKE הוא ריבוע שאורך צלעו R, והקטע KO הוא האלכסון שלו:

הנקודה B על המעגל, ולכן OB = R, ומכאן

(1) למשולשים AOB ו-AKB יש קודקוד משותף A, והצלעות OB ו-BK שמולו מונחות על אותו ישר, KO. לכן הגובה מן הקודקוד A לשתי הצלעות האלה הוא אותו גובה, ויחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

בצעד האחרון כפלנו את המונה ואת המכנה ב-(√2 + 1), ו-(√2 − 1)(√2 + 1) = 2 − 1 = 1.

שטח המשולש AOB גדול פי √2 + 1 משטח המשולש AKB, כלומר בערך פי 2.414.

(2) במשולש AOB שתי הצלעות OA ו-OB הן רדיוסים. הזווית שביניהן היא חצי מזווית הריבוע, כי אלכסון של ריבוע חוצה את זוויותיו:

נשווה לשטח הנתון:

לפי סעיף (1), שטח המשולש AKB קטן פי √2 + 1:

הצלע AK היא צלע הריבוע, כלומר AK = R. נסמן ב-h את הגובה מ-B אל הצלע AK:

אורך הגובה לצלע AK הוא 32(√2 − 1) / √32√2, בערך 1.97.

בדיקה בדרך אחרת: המרחק של O מן הישר AK הוא הרדיוס OA = R. הקטע OB נוטה ב-45° מן הקטע OA, ולכן B קרובה ל-AK יותר מ-O בשיעור OB · cos45° = R√2. מכאן

אותה תוצאה.

איפה נופלים בסעיף א. מחשבים את BK כאילו הוא R, כלומר שוכחים ש-B יושבת על המעגל ולכן OB הוא רדיוס שלם, ו-BK הוא רק השארית של האלכסון. טעות נוספת היא להפוך את היחס: השאלה שואלת פי כמה גדול שטח AOB, והוא המשולש הגדול.

סעיף ב: שני משחקי שחמט

הנתונים. בכל משחק ההסתברות שנדב ינצח היא p, ההסתברות שיאיר ינצח גדולה פי 2, והשאר הוא תיקו:

ההסתברויות קבועות בכל משחק, ולכן שני המשחקים בלתי תלויים.

(1) "אחד מן השחקנים משיג שני ניצחונות" פירושו שיאיר ניצח בשני המשחקים, או שנדב ניצח בשניהם. אלה שני מקרים זרים, ולכן מחברים:

ההסתברות היא 5p².

(2) המאורע "אף שחקן לא השיג שני ניצחונות" הוא המשלים של סעיף (1), ולכן ההסתברות שלו 1 − 5p². המאורע "שני המשחקים הסתיימו בתיקו" מוכל בו (בשני תיקו אף אחד לא ניצח בכלל), ולכן החיתוך שלהם הוא פשוט "שני תיקו":

נשווה לנתון:

נפתור בנוסחת השורשים:

שני הפתרונות מופיעים באפשרויות, ולכן צריך לבדוק איזה מהם אפשרי בכלל. ההסתברות לתיקו, 1 − 3p, חייבת להיות לפחות 0, כלומר p ≤ 13:

• p = 1127 גדול מ-927 = 13, ונותן הסתברות שלילית לתיקו: 1 − 3327 = −627. נפסל.
• p = 16 נותן נדב 16, יאיר 13, תיקו 12. אפשרי.

אפשרות I אינה פותרת את המשוואה: עבור p = 110 מקבלים 0.49 / 0.95 = 4995, ולא 931.

אפשרות III, p = 16.

איפה נופלים בסעיף ב. פותרים את המשוואה, רואים ש-1127 מופיע ברשימה, ומסמנים את II. המשוואה לבדה לא מספיקה: כל הסתברות במודל חייבת להיות בין 0 ל-1, ובערך הזה ההסתברות לתיקו יוצאת שלילית.

סעיף ג: איזה גרף מתאר את הפונקצייה

הנתונים.

(1) תחום ההגדרה. כל ביטוי שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי:

צריך ששני התנאים יתקיימו יחד:

−4 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 4.

(2) בחירת הגרף. נפסול גרפים בשלבים.

שלב ראשון: צורת התחום. התחום בנוי משני קטעים נפרדים, ו-x = 0 אינו שייך לו. גרף I הוא קשת רציפה אחת שעוברת מעל ציר ה-y, וגרף II עובר בראשית הצירים. שניהם נפסלים.

שלב שני: ערכים בקצוות. נשארו III ו-IV, ושניהם בנויים משתי קשתות. הפונקצייה זוגית (מופיע בה רק x²), ולכן מספיק לבדוק את הקשת הימנית:

הקצה הפנימי, הקרוב לציר ה-y, גבוה מן הקצה החיצוני. בגרף IV הקצוות הפנימיים גבוהים מן החיצוניים, ובגרף III ההפך.

שלב שלישי, לאישור: הנגזרת. בתחום 1 < x < 4:

הנגזרת מתאפסת כאשר √16 − x² = 2√x² − 1. נעלה בריבוע:

הערך ב-x = 2 גבוה משני הקצוות, ולכן בכל קשת יש נקודת מקסימום פנימית, כלומר הקשת היא "כיפה". זה בדיוק המראה של גרף IV, ואילו בגרף III לכל קשת יש מינימום.

הגרף המתאים הוא IV.

איפה נופלים בסעיף ג. מחפשים בגרפים את ההבדל בצורה הכללית ושוכחים לבדוק מספרים. ההבדל בין III ל-IV מוכרע בשתי הצבות פשוטות, f(1) ו-f(4).

סעיף ד: סדרה עם קוסינוס

הנתונים.

(1) שלושת האיברים הראשונים.

a₁ = 110, a₂ = 120, a₃ = 140.

(2) הסדרה הנדסית. לכל n טבעי המספר 2ⁿ זוגי, כלומר 2ⁿ = 2m עבור m טבעי. לכן π · 2ⁿ = 2πm הוא מספר שלם של סיבובים מלאים, והקוסינוס שלו שווה 1. מכאן שלכל n:

נחלק איבר באיבר שלפניו:

המנה קבועה ואינה תלויה ב-n, ולכן הסדרה הנדסית, ומנתה q = 12.

(3) הסכום. |q| < 1, ולכן הסכום האין-סופי מתכנס:

סכום הסדרה הוא 15.

איפה נופלים בסעיף ד. מתבלבלים עם cos(πn), שמחליף סימן בין 1 ל-(−1). כאן הזווית היא π · 2ⁿ, ו-2ⁿ תמיד זוגי, ולכן הקוסינוס תמיד 1 והסדרה כולה חיובית.

פרק שני: אינדוקצייה, סדרות והסתברות

שאלה 2, סדרה הנדסית וסדרת מכפלות (20 נקודות)

הנתונים. aₙ סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס, ומנתה q. T הוא סכום האיברים במקומות האי-זוגיים, R סכום האיברים במקומות הזוגיים, ונתון T²R² = 16.

סעיף א: הערך של q

האיברים במקומות האי-זוגיים, a₁, a₃, a₅ וכן הלאה, הם סדרה הנדסית שאיברה הראשון a₁ ומנתה q², כי בין כל שניים מהם מדלגים שני צעדים. האיברים במקומות הזוגיים, a₂, a₄, a₆ וכן הלאה, הם סדרה הנדסית שאיברה הראשון a₁q ומנתה גם היא q². הסדרה המקורית מתכנסת, כלומר |q| < 1, ולכן גם q² < 1 ושני הסכומים מתכנסים:

נחלק:

בסדרה הנדסית עם מנה שלילית הסימנים מתחלפים, והיא אינה יורדת. הסדרה נתונה כיורדת, ולכן

q = 14.

סעיף ב: הערך של a₁

הנתונים. bₙ = (1 + q) / (aₙ · a_(n+1)), ו-b₁ = 1.

עם q = 14 מתקיים a₂ = a₁4 ו-1 + q = 54. נציב n = 1:

אם a₁ = −√5, הסדרה היא −√5, −√54, −√516 וכן הלאה, והאיברים עולים לעבר 0. זו סדרה עולה, לא יורדת. לכן

a₁ = √5.

סעיף ג: bₙ באמצעות n

ולכן

בדיקה: עבור n = 1 מקבלים 16⁰ = 1, כמו הנתון.

bₙ = 16^{n − 1}.

סעיף ד: הוכחת הסכום

צריך להוכיח שלכל n טבעי

כלומר 1 + 16 + 16² + ... + 16^{n − 1} = (16ⁿ − 1) / 15.

בדיקה עבור n = 1. אגף שמאל: b₁ = 1. אגף ימין: 16 − 115 = 1. הטענה נכונה.

הנחה. נניח שהטענה נכונה עבור n מסוים:

צעד. נוכיח עבור n + 1. נוסיף לשני האגפים את האיבר הבא, b_(n+1) = 16ⁿ:

זה בדיוק אגף ימין עבור n + 1. לפי עקרון האינדוקצייה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

דרך אחרת, קצרה. לפי סעיף ג, bₙ היא סדרה הנדסית שאיברה הראשון 1 ומנתה 16. לפי נוסחת הסכום של n איברים:

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א משאירים גם את q = −14, ושוכחים שהשאלה אומרת "יורדת". בסעיף ג טועים בחזקה של aₙ · a_(n+1): המעריכים הם n − 1 ו-n, וסכומם 2n − 1, לא 2n.

שאלה 3, מדריכים ורישיונות נהיגה (20 נקודות)

הנתונים. נסמן: M, התלמיד מדריך בתנועת נוער; L, יש לתלמיד רישיון נהיגה. בוחרים תלמיד אחד באקראי מכל השכבה.

• חצי מבעלי הרישיון מדריכים: P(M | L) = 12.
• אחוז המדריכים מבין בעלי הרישיון שווה לאחוז חסרי הרישיון מבין המדריכים: P(M | L) = P(לא L | M). לכן גם P(לא L | M) = 12, ומכאן P(L | M) = 12.
• P(M או L) = 0.45.

סעיף א: אחוז המדריכים

נסמן x = P(M וגם L), המשבצת המשותפת. שני התנאים המותנים נותנים:

לפי נוסחת האיחוד:

נמלא את הטבלה כולה:

בדיקה: מבין בעלי הרישיון, 0.150.30 = חצי מדריכים. מבין המדריכים, 0.150.30 = חצי בלי רישיון, אותו אחוז. "מדריך או רישיון" הוא הכול חוץ מ-0.55, כלומר 0.45. הכול מתאים.

30% מן התלמידים בשכבה הם מדריכים.

סעיף ב: מדריך מבין חסרי הרישיון

המדגם מצטמצם לעמודה "אין רישיון":

ההסתברות היא 314, בערך 0.214.

סעיף ג: חמישה תלמידים בלי רישיון

התיכון גדול, ולכן כל בחירה של תלמיד מבין חסרי הרישיון היא בקירוב ניסוי בלתי תלוי, וההסתברות שהנבחר מדריך היא 314 בכל פעם. מספר המדריכים X מבין החמישה מתפלג בינומית, עם n = 5 ו-p = 314. ההסתברות שלא מדריך היא 1114.

המכנה המשותף בכל החישובים הוא 14⁵ = 537824.

(1) יותר ממדריך אחד. נחשב דרך המשלים, "אפס או אחד":

ההסתברות היא 157158537824 = 78579268912, בערך 0.292.

(2) מספר זוגי של מדריכים, בידיעה שנבחר יותר ממדריך אחד. בתוך המאורע X > 1 הערכים האפשריים הם 2, 3, 4, 5, והזוגיים ביניהם הם 2 ו-4. (הערך 0 זוגי, אבל הוא מחוץ לתנאי.)

בדיקה: P(X = 3) = 10 · 27 · 121 / 537824 = 32670 / 537824 ו-P(X = 5) = 243 / 537824. סכום ארבעת הערכים 119790 + 32670 + 4455 + 243 = 157158, בדיוק המכנה מסעיף (1).

ההסתברות היא 1380517462, בערך 0.791.

איפה נופלים בשאלה 3. המשפט הארוך על האחוזים מתורגם בטעות ל-P(L | M) = 12 בלי לעבור דרך המשלים. כאן זה יצא אותו מספר, כי 1 − 12 = 12, אבל צריך לכתוב את הצעד. בסעיף ב מחלקים ב-0.3 (המדריכים) במקום ב-0.7 (חסרי הרישיון). בסעיף ג(2) מוסיפים את X = 0 למונה, אף שהתנאי X > 1 כבר הוציא אותו.

פרק שלישי: גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור

שאלה 4, משולש קהה זווית במעגל (20 נקודות)

הנתונים. משולש קהה זווית ABC חסום במעגל. הנקודה K על המשך הצלע AB, כך ש-AB = BK. המשך הקטע KC חותך את המעגל שוב בנקודה F. נתון ∢BAC = ∢BCA. בסרטוט, סדר הנקודות על המעגל הוא A, B, C, F.

סעיף א: AF קוטר

במשולש ABC הזוויות שמול הצלעות BC ו-BA שוות (∢BAC = ∢BCA), ולכן הצלעות שוות:

ונתון ש-BA = BK, ולכן

במשולש BCK שתי צלעות שוות, BC = BK, ולכן זוויות הבסיס שוות: ∢BCK = ∢BKC.

עכשיו נסתכל על המשולש ACK. הזווית שלו ב-C מתחלקת על ידי CB לשני חלקים:

(∢ACB = ∢CAK לפי הנתון, ו-∢BCK = ∢CKA לפי מה שהראינו.) כלומר הזווית ב-C שווה לסכום שתי הזוויות האחרות. סכום הזוויות במשולש 180°, ולכן

הנקודה F על המשך KC מעבר ל-C, ולכן הזוויות ACK ו-ACF צמודות:

∢ACF היא זווית היקפית במעגל שנשענת על המיתר AF. זווית היקפית של 90° נשענת על קוטר, ולכן AF קוטר במעגל.

(אפשר לנסח את אותו רעיון כך: B אמצע AK ו-CB = AK2. במשולש שבו התיכון לצלע שווה למחצית הצלע, הזווית שמול הצלע ישרה.)

סעיף ב: המשולש ADK שווה שוקיים

AF קוטר, ולכן כל זווית היקפית שנשענת עליו ישרה. בפרט

כלומר FB מאונך ל-AK בנקודה B. הנקודה B היא אמצע AK (AB = BK), ולכן הישר BF הוא האנך האמצעי של הקטע AK. הנקודה D על המיתר BF, כלומר על האנך האמצעי, וכל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה משני קצותיו:

המשולש ADK שווה שוקיים.

(דרך שקולה: במשולשים ABD ו-KBD יש AB = KB, צלע משותפת BD, ו-∢ABD = ∢KBD = 90°. הם חופפים לפי צ.ז.צ., ולכן DA = DK.)

סעיף ג: המרובע BDCK

(1) בר חסימה. נבדוק שתי זוויות נגדיות במרובע BDCK:

• הזווית ב-B: D על BF, ו-K על המשך AB. לפי סעיף ב, BF מאונך ל-AK, ולכן ∢DBK = 90°.
• הזווית ב-C: D על המיתר AC, ולכן ∢DCK = ∢ACK, ולפי סעיף א ∢ACK = 90°.

במרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180°, אפשר לחסום מעגל. המרובע BDCK בר חסימה.

(2) ∢DKC = ∢FAC. נלך בשני צעדים, כל אחד במעגל אחר.

במעגל שחוסם את BDCK: הזוויות DKC ו-DBC הן זוויות היקפיות שנשענות על אותו מיתר, DC, משני קודקודים שבאותו צד שלו. לכן

D על הקטע BF, ולכן ∢DBC היא אותה זווית כמו ∢FBC.

במעגל המקורי: הזוויות FBC ו-FAC הן זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת, FC. לכן

משתי השורות יחד: ∢DKC = ∢FAC.

סעיף ד: AC · AD = KC · AF

נחפש שני משולשים שהצלעות האלה נמצאות בהם. ננסה את המשולשים DCK ו-FCA:

• ∢DCK = 90° (סעיף ג(1)) ו-∢FCA = 90° (סעיף א), ולכן ∢DCK = ∢FCA.
• ∢DKC = ∢FAC (סעיף ג(2)).

שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז., בהתאמה D↔F, C↔C, K↔A:

מן הדמיון:

ומכפלה בהצלבה:

לפי סעיף ב DK = AD. נציב ונקבל AC · AD = KC · AF, כפי שהיה צריך להוכיח.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א מנסים להוכיח ישירות ש-∢AFC או ∢ABF ישרה, ולא רואים שהמפתח הוא שלושת הקטעים השווים BA = BC = BK. בסעיף ד כותבים את יחס הדמיון בהתאמה לא נכונה. כדאי לרשום את ההתאמה D↔F, C↔C, K↔A לפני שכותבים יחסים.

שאלה 5, דלתון ושני מעגלים חוסמים (20 נקודות)

הנתונים. דלתון ABCD עם AB = AD ו-CB = CD. נתון ∢BAD = ∢CDB = 2α, כאשר 0° < α < 45°, ו-AB = k. בסרטוט, C למעלה, A למטה, והאלכסון BD אופקי ביניהם.

סעיף א: רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB

האורך BD. המשולש ABD שווה שוקיים (AB = AD = k), וזווית הראש שלו 2α. הגובה מ-A ל-BD הוא גם חוצה זווית וגם תיכון, ולכן חצי הבסיס הוא k · sinα:

הזוויות במשולש CDB. CB = CD, ולכן זוויות הבסיס שוות:

(הזווית חיובית, כי α < 45°.)

משפט הסינוסים במשולש CDB. נסמן ב-r את רדיוס המעגל החוסם:

אפשר לפשט: sin4α = 2sin2α · cos2α = 4sinα · cosα · cos2α, ולכן

r = k · sinα / sin4α, ובצורה מקוצרת r = k / (4cosα · cos2α).

סעיף ב: הזווית BAD

נסמן ב-R את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD. לפי משפט הסינוסים במשולש ABD:

נתון R = (43) · r:

נחלק את שני האגפים ב-kcosα (שונה מ-0):

בדיקה: 0° < 2α < 90°, וזה מתאים לתנאי 0° < α < 45°.

∢BAD ≈ 48.19° (הזווית שהקוסינוס שלה 23).

סעיף ג: הערך של k

איפה O. O הוא מרכז המעגל החוסם את ABD, ולכן הוא על האנך האמצעי של BD. בדלתון, האלכסון AC הוא האנך האמצעי של BD (גם A וגם C נמצאות במרחק שווה מ-B ומ-D). לכן O על AC, ו-AO = R = k / (2cosα). הישר AE מקביל ל-BD, ו-AC מאונך ל-BD, ולכן AO מאונך ל-AE. המשולש AOE ישר זווית ב-A:

האורך AE. נסתכל על המשולש ADE.

• AE מקביל ל-BD, ולכן ∢DAE = ∢ADB (זוויות מתחלפות). ∢ADB היא זווית בסיס במשולש ABD: 180° − 2α2 = 90° − α.
• ∢ADC = ∢ADB + ∢BDC = (90° − α) + 2α = 90° + α. הנקודה E על המשך CD מעבר ל-D, ולכן ∢ADE = 180° − (90° + α) = 90° − α.

שתי זוויות שוות, ולכן המשולש ADE שווה שוקיים, EA = ED, וזווית הראש שלו ∢AED = 180° − 2(90° − α) = 2α. לפי משפט הסינוסים במשולש ADE:

השטח.

לפי סעיף ב, cos2α = 23 והזווית 2α חדה, ולכן

נשווה ל-70:

בדיקה: עם k ≈ 14.45 ו-α ≈ 24.09° מקבלים AO ≈ 7.91 ו-AE ≈ 17.69, ו-½ · 7.91 · 17.69 ≈ 70.

k = √280√5 / 3, בערך 14.45.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א שוכחים ש-sin(180° − 4α) = sin4α, ונתקעים עם הביטוי. בסעיף ג מחפשים את O בחישוב ארוך, במקום לשים לב שהוא על ציר הסימטריה של הדלתון, ולכן המשולש AOE ישר זווית. עוד טעות: לעגל את 2α ל-48° ולחשב ממנו את הסינוס. עדיף להישאר עם sin2α = √53 המדויק.

פרק רביעי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקצייה עם שורש במונה (20 נקודות)

הנתונים. k פרמטר חיובי, ו-

סעיף א: תחום ההגדרה

שני תנאים: הביטוי שמתחת לשורש אי-שלילי, והמכנה שונה מ-0.

זו פרבולה "מחייכת" שמתאפסת ב-0 וב-k5 (ו-k5 > 0), ולכן היא אי-שלילית מחוץ לקטע שבין שני השורשים: x ≤ 0 או x ≥ k5. המכנה x³ מוציא את x = 0.

x < 0 או x ≥ k5.

סעיף ב: הערך של k

h(x) = −f(x). בנקודת חיתוך של שני הגרפים

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: √5x² − kx = 0, כלומר x = 0 או x = k5. הנקודה x = 0 אינה בתחום, ולכן החיתוך היחיד הוא ב-x = k5:

k = 8.

סעיף ג: חקירה עבור k = 8

מעכשיו

(1) אסימפטוטות. כדי לראות מה קורה ליד 0 ובאין-סוף, נוציא x² מן השורש: √5x² − 8x = |x| · √5 − 8x. לכן

• ליד x = 0 משמאל: 8x שואף למינוס אינסוף, ולכן √5 − 8x שואף לאינסוף, וגם 1x² שואף לאינסוף. f שואפת למינוס אינסוף. x = 0 אסימפטוטה אנכית.
• כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף: √5 − 8x שואף ל-√5, ו-1x² שואף ל-0. f שואפת ל-0. y = 0 אסימפטוטה אופקית.

האסימפטוטות: x = 0 ו-y = 0.

(2) נקודות קיצון. נסמן u = √5x² − 8x. לפי כלל השרשרת

לפי כלל המנה

נכפול את המונה ואת המכנה ב-√5x² − 8x, כדי להיפטר מן השבר שבתוך המונה:

בסוגר השני 3x²(5x² − 8x) = 3x³(5x − 8). נוציא x³ גורם משותף ונצמצם:

הנגזרת מתאפסת ב-x = 2, שנמצא בתחום. השורש במכנה חיובי בפנים התחום, ולכן הסימן נקבע על ידי 20 − 10x ו-x³:

(2 , 14) נקודת מקסימום. הפונקצייה מתחילה ב-x = 1.6 ועולה מיד אחריו, ולכן (1.6 , 0) היא נקודת מינימום קצה. בתחום x < 0 הפונקצייה יורדת כל הזמן, ואין בו נקודות קיצון.

(3) סקיצה.

• הענף השמאלי, x < 0: כולו מתחת לציר ה-x (המונה אי-שלילי והמכנה שלילי). הוא מתחיל קרוב לציר ה-x משמאל, מתחתיו, יורד כל הזמן, וצולל למינוס אינסוף כש-x מתקרב ל-0.
• הענף הימני, x ≥ 1.6: מתחיל בנקודה (1.6 , 0) על ציר ה-x, עולה עד המקסימום (2 , 14), ואחר כך יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה בלי לגעת בו.
• אין חיתוך עם ציר ה-y, כי x = 0 אינו בתחום. החיתוך היחיד עם ציר ה-x הוא (1.6 , 0).

סעיף ד: סקיצה של g(x) = (f(x))²

נגזור לפי כלל השרשרת: g′(x) = 2f(x) · f′(x). מכאן כל התכונות של g:

• סימן: g ≥ 0 בכל התחום, ו-g = 0 רק ב-x = 1.6.
• בתחום x ≥ 1.6: f ≥ 0, ולכן ל-g′ יש אותו סימן כמו ל-f′. g עולה מ-1.6 עד 2 ויורדת אחרי 2. (2 , 116) נקודת מקסימום, ו-(1.6 , 0) מינימום קצה.
• בתחום x < 0: f < 0 ו-f′ < 0, ולכן g′ = 2f · f′ > 0. g עולה כל הזמן.
• אסימפטוטות: כש-x מתקרב ל-0 משמאל, f שואפת למינוס אינסוף, ולכן g שואפת לאינסוף. x = 0 אסימפטוטה אנכית. באין-סוף ובמינוס אין-סוף f שואפת ל-0, ולכן גם g. y = 0 אסימפטוטה אופקית.

הסקיצה: הענף השמאלי כולו מעל ציר ה-x. הוא מתחיל קרוב לציר ה-x משמאל, מעליו, ועולה כל הזמן לאינסוף כש-x מתקרב ל-0. הענף הימני מתחיל ב-(1.6 , 0), עולה עד (2 , 116), ויורד לעבר ציר ה-x מלמעלה.

סעיף ה: השוואת שני אינטגרלים

a > 2, ולכן כל x בקטע a ≤ x ≤ a + 1 גדול מ-2. לפי טבלת הסימנים, מימין ל-2 הפונקצייה f יורדת מן הערך 14 ונשארת חיובית, ולכן בכל הקטע

כשמספר נמצא בין 0 ל-1, הריבוע שלו קטן ממנו (למשל 0.2² = 0.04). לכן בכל הקטע

אינטגרל של פונקצייה קטנה יותר, על אותו קטע, קטן יותר.

ערך האינטגרל של g מ-a עד a + 1 קטן מערך האינטגרל של f מ-a עד a + 1.

סעיף ו: השטח

בקטע 2 ≤ x ≤ 6 מתקיים g(x) ≥ 0, ולכן השטח שווה לאינטגרל. נפרק את השבר לשני איברים:

פונקצייה קדומה:

(בדיקה בגזירה: (−53) · −3x⁴ = 5x⁴, ו-2 · −4x⁵ = −8x⁵.)

השטח הוא 25324 יחידות שטח, בערך 0.077.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף א שוכחים את התנאי שמתחת לשורש ומסתפקים ב-x ≠ 0. בסעיף ג(1) רואים 00 ליד x = 0 ומוותרים על האסימפטוטה; ההוצאה של x² מן השורש פותרת את זה. בסעיף ה עונים "קטן" בלי נימוק. הנימוק הוא ש-f חיובית וקטנה מ-1 בכל הקטע, ולכן הריבוע שלה קטן ממנה.

שאלה 7, פונקצייה טריגונומטרית וההופכית שלה (20 נקודות)

הנתונים.

סעיף א: f זוגית

התחום סימטרי סביב 0. נציב −x:

f(−x) = f(x) לכל x בתחום, ולכן הפונקצייה זוגית.

סעיף ב: חיתוך עם ציר ה-x ונקודות קיצון

נשתמש בזהות (sin x)² = 1 − (cos x)²:

(1) חיתוך עם ציר ה-x. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס:

(−π2 , 0), (0 , 0), (π2 , 0).

(2) נקודות קיצון.

הנגזרת מתאפסת כאשר sin x = 0, כלומר x = 0 או x = ±π, או כאשר cos x = 12, כלומר x = ±π3. f זוגית, ולכן מספיק לבדוק את הסימן בצד הימני:

בצד השמאלי התמונה הפוכה בגלל הזוגיות: f עולה מ-−π עד −π3 ויורדת מ-−π3 עד 0.

(π3 , 14) ו-(−π3 , 14) נקודות מקסימום. (0 , 0) נקודת מינימום. (π , −2) ו-(−π , −2) נקודות מינימום קצה.

סעיף ג: סקיצה

הגרף סימטרי סביב ציר ה-y. הוא מתחיל ב-(−π , −2), עולה, חותך את ציר ה-x ב-(−π2 , 0), מגיע למקסימום (−π3 , 14), יורד ונוגע בציר ה-x במינימום (0 , 0), עולה שוב למקסימום (π3 , 14), יורד, חותך את ציר ה-x ב-(π2 , 0) ומסתיים ב-(π , −2). כל ערכי הפונקצייה בין −2 ל-14.

סעיף ד: שני ערכים של b

המונה הוא 1 ואינו מתאפס, ולכן בכל נקודה שבה המכנה מתאפס יש אסימפטוטה אנכית. המכנה מתאפס כאשר f(x) = −b. לכן צריך שהישר האופקי y = −b יחתוך את גרף f בדיוק בשתי נקודות. נעבור על הגבהים לפי הסקיצה:

ערך שלילי של b: הגובה −b חיובי, והאפשרות היחידה היא −b = 14, כלומר b = −14.

ערך חיובי של b: הגובה −b שלילי, וכל גובה שקטן מ-0 וגדול מ-−2 או שווה לו מתאים, כלומר כל 0 < b ≤ 2. ניקח b = 1. בדיקה: f(x) = −1 נותן (cos x)² − cos x − 1 = 0, ומכאן cos x = 1 − √52 ≈ −0.618 (הפתרון השני גדול מ-1). בתחום יש לזה בדיוק שני פתרונות, x ≈ ±2.24.

(ב-b = 2 המכנה מתאפס רק בקצוות התחום, x = ±π. אז התחום של g הוא −π < x < π, וכש-x מתקרב לקצה מבפנים המכנה שואף ל-0 מצד חיובי ו-g שואפת לאינסוף. לכן גם כאן יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות, x = π ו-x = −π, ו-b = 2 שייך לתחום. בכל זאת נוח יותר לבחור ערך פנימי כמו b = 1.)

b = 1 (חיובי) ו-b = −14 (שלילי).

סעיף ה: חקירה עבור b = −14

(1) תחום ההגדרה. המכנה מתאפס כאשר f(x) = 14, כלומר ב-x = ±π3.

−π ≤ x ≤ π, x ≠ π3, x ≠ −π3.

(2) נקודות קיצון. לפי כלל השרשרת

המכנה ריבוע חיובי, ולכן הסימן של g′ הפוך לסימן של f′. בנוסף, f(x) ≤ 14 בכל התחום, ולכן f(x) − 14 ≤ 0, ו-g שלילית בכל מקום שבו היא מוגדרת.

(0 , −4) נקודת מקסימום. (π , −49) ו-(−π , −49) נקודות מקסימום קצה. אין לפונקצייה נקודות מינימום: ליד ±π3 היא יורדת בלי גבול.

סעיף ו: סקיצה של g

• שתי אסימפטוטות אנכיות, x = −π3 ו-x = π3. ליד כל אחת מהן, משני הצדדים, g שואפת למינוס אינסוף, כי המכנה f(x) − 14 מתקרב ל-0 מצד השליליים.
• כל הגרף מתחת לציר ה-x, והוא סימטרי סביב ציר ה-y (g זוגית, כי f זוגית).
• החלק השמאלי: מתחיל ב-(−π , −49) ויורד למינוס אינסוף כש-x מתקרב ל-−π3.
• החלק האמצעי: עולה ממינוס אינסוף ליד −π3 עד המקסימום (0 , −4), ויורד חזרה למינוס אינסוף ליד π3. זו "כיפה" הפוכה שכולה מתחת לציר.
• החלק הימני: עולה ממינוס אינסוף ליד π3 עד (π , −49).

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף ב(2) שוכחים את נקודות הקצה ±π, ואז מפספסים את המינימום הנמוך ביותר. בסעיף ד בוחרים b שלילי כמו −0.1, ושוכחים שגובה בין 0 ל-14 חותך את הגרף ארבע פעמים. בסעיף ה(2) מעתיקים את סוגי הקיצון של f כמו שהם, ושוכחים שההופכי הופך את כיוון העלייה והירידה.

שאלה 8, נקודת פיתול ושני ריבועים (20 נקודות)

הנתונים. k פרמטר שונה מ-0, ו-

סעיף א: נקודת הפיתול A

f″ היא פונקצייה קווית ששיפועה 6k ≠ 0, ולכן היא מחליפה סימן ב-x = 1k, וזו אכן נקודת פיתול. נציב:

A(1k , 8 − 2k²).

סעיף ב: A ברביע הראשון

ברביע הראשון שני השיעורים חיוביים:

עם k > 0, התנאי השני הוא k > 12.

k > 12.

סעיף ג: סכום שטחי הריבועים מינימלי

AB הוא האנך מ-A לציר ה-x, ולכן אורכו שיעור ה-y של A. AC הוא האנך מ-A לציר ה-y, ולכן אורכו שיעור ה-x של A. שני השיעורים חיוביים, כי A ברביע הראשון:

סכום שטחי הריבועים:

נוח להציב t = 1k². התנאי k > 12 שקול ל-0 < t < 4:

זו פרבולה "מחייכת" ב-t, והמינימום שלה בקודקוד:

הקודקוד בתוך התחום 0 < t < 4, ולכן הוא אכן המינימום. נחזור ל-k:

(k חיובי, ו-0.508 > 0.5, כמו שדורש סעיף ב.)

דרך הנגזרת, לאישור. נגזור לפי k:

S′ מתאפסת כאשר 1k² = 6216 = 318, אותו ערך. עבור 12 < k < √831 המונה שלילי (1k² גדול מ-318), ועבור k > √831 הוא חיובי. S יורדת ואחר כך עולה, כלומר זה מינימום. הסכום המינימלי הוא 4 · (318)² − 31 · 318 + 64 = 6316.

k = √831, בערך 0.508.

איפה נופלים בשאלה 8. מחליפים בין AB ל-AC: האנך לציר ה-x נמדד לאורך ציר ה-y, ולכן אורכו שיעור ה-y. וגם שוכחים לבדוק שהקודקוד t = 318 נמצא בתחום 0 < t < 4, כלומר שהערך של k שמתקבל מקיים k > 12.

התשובות בקצרה