מתמטיקה ב׳

הישר y = −4x − 3 (כלומר 4x + y + 3 = 0). מן התנאי MK² − 9 = ML² − 1 הריבועים מתבטלים ונשארת משוואה ממעלה ראשונה

הוכחה: שיפוע KL הוא 14, שיפוע הישר הוא −4, ומכפלתם −1

לא קיימת. לכל M על הישר MK² = ML² + 8, ולכן תמיד MK > ML

y = −1.25x + 2.5 (הפרבולה היא y² = −12.5x, כלומר p = −254)

A(1 , −3 , 0), לכל ערך של k

k = 2 או k = −2

O על ℓ₁ (t = 0), A על שני הישרים ו-B על ℓ₂. שני הישרים מוכלים במישור π, ולכן שלושת הקודקודים, וכל המשולש, במישור π

S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4). שטח הבסיס √7, הגובה SA = 2√14

1z = (1r)(cos(−θ) + i sin(−θ)); 12iz = (12r)(cos(270° − θ) + i sin(270° − θ)); 1−z = (1r)(cos(180° − θ) + i sin(180° − θ)); 1−2iz = (12r)(cos(90° − θ) + i sin(90° − θ))

1r² (מעוין שאלכסוניו 2r ו-1r)

0 (הפתרונות הם 12 שורשי היחידה, w¹² = 1)

r = √33 = 1√3 ≈ 0.577 (שטח המצולע המשוכלל בן 12 הצלעות הוא 3)

x = ln 4 (אנכית); y = 0 כש-x שואף לאינסוף; y = −b16 כש-x שואף למינוס אינסוף

(0 , 1 − b9) עם ציר ה-y, (ln b , 0) עם ציר ה-x

b = 8, נקודת מקסימום (ln 12 , 116)

x ≠ ln 4 וגם x ≠ ln 8

x = ln 8 ו-y = −2 (ב-x = ln 4 אין אסימפטוטה, יש נקודה ריקה (ln 4 , 0))

סקיצה: f בענף שמאלי יורדת מקרבת y = −½ למינוס אינסוף ליד ln 4, דרך (0 , −79); בענף ימני עולה ממינוס אינסוף, חותכת ב-(ln 8 , 0), מקסימום (ln 12 , 116), ויורדת לעבר y = 0. g עולה מקרבת y = −2 עד הנקודה הריקה (ln 4 , 0) דרך (0 , −97); יורדת ממנה למינוס אינסוף ליד ln 8; ומימין ל-ln 8 יורדת מאינסוף למינימום (ln 12 , 16) ועולה לאינסוף

y = −1. מ-f = 1f מקבלים f = ±1, אבל f אינה מגיעה ל-1 (בענף השמאלי f < −½, ובימני f ≤ 116)

קטן מ-1½. בענף השמאלי f יורדת ו-g עולה, ולכן f − g יורד ושואף ל-32 במינוס אינסוף, כלומר f − g < 32 בכל הקטע שאורכו 1

f עולה בכל התחום x > 0 (f′(x) = (ln x)² ≥ 0, מתאפסת רק ב-x = 1). אין תחום ירידה

חיובית בכל התחום x > 0, כי (ln x − 1)² + 1 > 0. אין תחום שליליות

סקיצה: מתחילה סמוך לראשית, עולה כל הזמן מעל ציר ה-x, קעורה כלפי מטה עד נקודת הפיתול (1 , 2) עם משיק אופקי, וקעורה כלפי מעלה אחריה

סקיצה של (ln x)²: אסימפטוטה אנכית x = 0, יורדת עד המינימום (1 , 0) הנוגע בציר ה-x, ואחר כך עולה לאינסוף