מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 5 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1 עד 3), וגדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5).

עונים על שלוש שאלות לבחירה. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש שאלות, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שלוש שעות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים

שאלה 1, שני מעגלים ומשיקים שווים (33⅓ נקודות)

הנתונים. מעגל I הוא (x − 3)² + (y − 4)² = 9, מרכזו K(3 , 4) ורדיוסו 3. מעגל II הוא (x + 5)² + (y − 2)² = 1, מרכזו L(−5 , 2) ורדיוסו 1. מן הנקודה M יוצאים משיק למעגל I, שנוגע בו בנקודה A, ומשיק למעגל II, שנוגע בו בנקודה B.

סעיף א: המקום הגאומטרי של M

הכלי המרכזי כאן הוא המשולש ישר הזווית שיוצר משיק. הרדיוס KA מאונך למשיק MA בנקודת ההשקה, ולכן המשולש MAK ישר זווית ב-A. לפי משפט פיתגורס:

באותו אופן במעגל II:

נסמן M(x , y). שני האורכים חיוביים, ולכן התנאי MA = MB שקול לתנאי MA² = MB²:

נפתח סוגריים. באגף שמאל x² − 6x + 9 + y² − 8y + 16 − 9, ובאגף ימין x² + 10x + 25 + y² − 4y + 4 − 1:

x² ו-y² מופיעים בשני האגפים ומתבטלים. זה בדיוק הרגע שבו רואים שהתוצאה תהיה ישר, כי נשארת משוואה ממעלה ראשונה:

המקום הגאומטרי הוא הישר y = −4x − 3.

בדיקה שכדאי לעשות: האם מכל נקודה של הישר אפשר באמת להעביר משיקים? המרחק בין המרכזים הוא KL = √8² + 2² = √68 ≈ 8.25, וזה יותר מסכום הרדיוסים 3 + 1 = 4. לכן המעגלים זרים, ואף אחד מהם אינו בתוך השני. אילו נקודה של הישר הייתה בתוך מעגל I או עליו, היה מתקיים MK² − 9 ≤ 0, ואז גם ML² − 1 ≤ 0, כלומר היא הייתה גם בתוך מעגל II או עליו. זה בלתי אפשרי כשהמעגלים זרים. לכן כל נקודה של הישר נמצאת מחוץ לשני המעגלים, ומכל אחת מהן יוצאים משיקים לשניהם.

סעיף ב

(1) השיפוע של KL:

השיפוע של הישר מסעיף א הוא −4, ומכפלת השיפועים:

מכפלת השיפועים היא −1, ולכן הישרים מאונכים זה לזה.

(2) מסעיף א, בכל נקודה M של המקום הגאומטרי מתקיים:

כלומר MK² גדול מ-ML² ב-8 בכל נקודה, ולכן תמיד MK > ML.

לא קיימת נקודה M שבעבורה ML = MK.

אותה מסקנה בדרך גאומטרית: הנקודות ששוות מרחק מ-K ומ-L יושבות על האנך האמצעי של הקטע KL. גם האנך האמצעי מאונך ל-KL, ולכן הוא מקביל לישר y = −4x − 3. אמצע הקטע KL הוא (−1 , 3), והצבתו בישר נותנת −4 × (−1) − 3 = 1, ולא 3. אלה שני ישרים מקבילים ושונים, ואין להם נקודה משותפת.

סעיף ג: הנקודה M שבעבורה שטח המשולש KLM הוא 9

ניקח את KL כבסיס. אורכו √68 = 2√17, והגובה אליו הוא המרחק של M מן הישר KL.

משוואת הישר KL, בשיפוע 14 דרך K(3 , 4):

(בדיקה עם L: −5 − 8 + 13 = 0.)

מן השטח מקבלים את הגובה:

M על הישר מסעיף א, ולכן אפשר לכתוב M(t , −4t − 3). נציב בנוסחת המרחק בין נקודה לישר:

יצאו שתי נקודות, אחת מכל צד של KL. נבדוק איזו מהן מעל הישר. משוואת KL בצורה מפורשת היא y = x + 134.

• t = −2 נותן M(−2 , 5). על הישר KL, ב-x = −2, הגובה הוא 114 = 2.75, ו-5 גדול ממנו. הנקודה מעל הישר.
• t = −1617 נותן M(−1617 , 1317). כאן 1317 ≈ 0.76, ואילו הישר באותו x נמצא בגובה 20568 ≈ 3.01. הנקודה מתחת לישר, ולכן נפסלת.

M(−2 , 5).

בדיקה בנוסחת השטח לפי שיעורי הקודקודים K(3 , 4), L(−5 , 2), M(−2 , 5):

סעיף ד: המשיק לפרבולה בנקודה M

M(−2 , 5) נמצאת על הפרבולה y² = 2px, ולכן:

הפרבולה היא y² = −12.5x. היא נפתחת שמאלה, וזה מתאים: M משמאל לציר ה-y.

משוואת המשיק לפרבולה y² = 2px בנקודה (x₁ , y₁) שעליה היא y·y₁ = p(x + x₁). נציב x₁ = −2, y₁ = 5:

משוואת המשיק: y = −1.25x + 2.5.

בדיקה: נבודד x מן המשיק, x = 10 − 4y5, ונציב בפרבולה:

פתרון יחיד, y = 5, כלומר הישר פוגש את הפרבולה רק בנקודה M. כך נראה משיק.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א כותבים MA = MK − 3, כאילו אורך המשיק הוא המרחק מן המרכז פחות הרדיוס. אורך המשיק מגיע מפיתגורס, לא מחיסור. בסעיף ג מקבלים שתי נקודות ושוכחים לבחור את זו שמעל KL. ובסעיף ד נבהלים מ-p שלילי, אף שזה תקין לגמרי: הפרבולה פשוט נפתחת שמאלה.

שאלה 2, שני ישרים במרחב ופירמידה (33⅓ נקודות)

הנתונים.

k הוא פרמטר, ו-A היא נקודת החיתוך של שני הישרים.

סעיף א: הנקודה A

נשווה את שלושת הרכיבים:

מן המשוואה השלישית m = 0, ומן הראשונה t = −1. נציב במשוואה השנייה:

המשוואה מתקיימת לכל k, ולכן הישרים נחתכים לכל ערך של k.

A(1 , −3 , 0). שימו לב שזו בדיוק נקודת המוצא בהצגה של ℓ₂.

סעיף ב: הערך של k

הזווית בין שני ישרים היא הזווית החדה (או הישרה) בין וקטורי הכיוון שלהם, ולכן בנוסחה לוקחים את הערך המוחלט של המכפלה הסקלרית:

נעלה את שני האגפים בריבוע:

k = 2 או k = −2. שני הערכים נותנים את אותה זווית בין הישרים. מכאן ממשיכים עם k = 2, כמו שהשאלון מורה.

סעיף ג: משוואת המישור π

עבור k = 2 וקטורי הכיוון הם u = (−1 , 3 , 0) ו-v = (0 , 2 , 1). הנורמל למישור מאונך לשניהם. נסמן n = (a , b , c):

נבחר b = 1 ונקבל n = (3 , 1 , −2).

המישור עובר בראשית הצירים, כי ℓ₁ עוברת בה (ב-t = 0). לכן המספר החופשי הוא 0:

π : 3x + y − 2z = 0

בדיקה עם A(1 , −3 , 0): 3 − 3 − 0 = 0.

סעיף ד: למה המשולש AOB נמצא במישור π

• O נמצאת על ℓ₁, בפרמטר t = 0.
• A נמצאת על שני הישרים.
• B נמצאת על ℓ₂, לפי הנתון.

שני הישרים מוכלים כולם במישור π, ולכן גם שלושת הקודקודים O, A ו-B נמצאים בו. מישור שמכיל את שלושת הקודקודים של משולש מכיל את כל המשולש.

לכן המשולש AOB נמצא במישור π.

סעיף ה: הנקודה S

שטח הבסיס AOB. הצלע AO מונחת על ℓ₁ והצלע AB מונחת על ℓ₂. לכן הזווית OAB שווה ל-α או ל-180° − α, ובשני המקרים הסינוס שלה הוא sin α. נבדוק קודם את cos α עבור k = 2:

ומכאן:

הצלעות:

שימו לב שלא היינו צריכים למצוא את B עצמה.

גובה הפירמידה. S נמצאת על האנך למישור שעולה מ-A, ולכן SA הוא הגובה לבסיס AOB:

שיעורי S. האנך יוצא מ-A בכיוון הנורמל n = (3 , 1 , −2), שאורכו √9 + 1 + 4 = √14. כדי להתרחק מ-A מרחק 2√14 צריך ללכת פעמיים את הנורמל, לאחד משני הכיוונים:

S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4).

בדיקה: SA = |2n| = 2√14, והנפח ⅓ · √7 · 2√14 = 2√983 = 14√23.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב שוכחים את הערך המוחלט ומאבדים את k = −2. בסעיף ה מתחילים לחפש את B ומסתבכים עם שני מיקומים אפשריים שלה, כשבעצם השטח תלוי רק ב-AO, ב-AB וב-sin α. ובסוף שוכחים שהאנך יוצא לשני צדי המישור, והשאלה מבקשת במפורש את שתי האפשרויות.

שאלה 3, מעוין במישור גאוס (33⅓ נקודות)

הנתונים. ABCD מעוין, ואלכסוניו נפגשים בראשית הצירים. הקודקוד A ברביע הראשון והקודקוד B ברביע השני. המספר z מייצג את A, ונתון BD = 2AC.

סעיף א: הקודקודים B, C ו-D באמצעות z

שלוש תכונות של מעוין עושות כאן את כל העבודה: האלכסונים חוצים זה את זה, הם מאונכים זה לזה, ונקודת המפגש שלהם היא כאן ראשית הצירים.

• C. הראשית היא אמצע האלכסון AC, ולכן C סימטרית ל-A ביחס לראשית: C = −z.
• B. האלכסון BD מאונך ל-AC, ולכן OB מאונך ל-OA. האורך: OB = BD2 = 2AC2 = AC = 2·OA. סיבוב ב-90° מתבטא בכפל ב-i, ולכן B = 2iz או B = −2iz. נכתוב z = a + bi עם a > 0 ו-b > 0. אז 2iz = −2b + 2ai, ברביע השני, ואילו −2iz = 2b − 2ai, ברביע הרביעי. לכן B = 2iz.
• D. סימטרית ל-B ביחס לראשית: D = −2iz.

סעיף ב

נתון z = r(cos θ + i sin θ), ו-θ ברביע הראשון.

(1) קודם נכתוב את ארבעת הקודקודים בהצגה קוטבית. נשתמש בשתי עובדות: i = cos 90° + i sin 90° וגם −1 = cos 180° + i sin 180°. בכפל מודולים מוכפלים וזוויות מתחברות:

המספר ההופכי למספר בהצגה קוטבית: המודול הופך ל-1 חלקי המודול, והזווית מחליפה סימן. הוספה של 360° לזווית אינה משנה את המספר, ולכן:

(למשל ב-B: הזווית ההפוכה היא −θ − 90°, ו-360° − θ − 90° = 270° − θ.)

(2) נסתכל על ארבע הנקודות בזוגות:

• 1z ו-1−z נמצאות במרחק 1r מן הראשית, בזוויות −θ ו-180° − θ. הזוויות נבדלות ב-180°, ולכן הנקודות משני צדי הראשית. הקטע ביניהן עובר דרך הראשית, ואורכו 2r.
• 12iz ו-1−2iz נמצאות במרחק 12r, בזוויות 270° − θ ו-90° − θ. גם הן משני צדי הראשית, והקטע ביניהן אורכו 1r.
• הזוויות של שני הקטעים נבדלות ב-90° (למשל −θ לעומת 90° − θ), ולכן הקטעים מאונכים זה לזה.

שני הקטעים הם אלכסוני המרובע. הם חוצים זה את זה בראשית ומאונכים, ולכן המרובע הוא שוב מעוין. שטח מעוין הוא מחצית מכפלת האלכסונים:

שטח המרובע הוא 1r².

סעיף ג: סכום הפתרונות של w¹¹ = w̄

נשווה את המודולים של שני האגפים. |w¹¹| = |w|¹¹, ולצמוד יש אותו מודול כמו ל-w:

w ≠ 0, ולכן מותר לחלק ב-|w|. מתקבל |w|¹⁰ = 1, והמודול חיובי, ולכן |w| = 1.

כשהמודול הוא 1, מתקיים w · w̄ = |w|² = 1, כלומר w̄ = 1w. המשוואה נעשית:

הפתרונות הם 12 שורשי היחידה מסדר 12:

כל אחד מהם באמת פותר את המשוואה המקורית: המודול שלו 1, ולכן w̄ = 1w = w¹¹.

הסכום. הפתרונות הם איברים של סדרה הנדסית שאיברה הראשון 1 ומנתה q = cos 30° + i sin 30°, ו-q ≠ 1:

סכום 12 הפתרונות הוא 0.

במבט גאומטרי: 12 הנקודות הן קודקודים של מצולע משוכלל שמרכזו בראשית, וסכום הווקטורים מן המרכז אל הקודקודים מתאפס.

סעיף ד: הערך של r

12 הפתרונות הם קודקודים של מצולע משוכלל בן 12 צלעות, החסום במעגל שרדיוסו 1. נחלק אותו ל-12 משולשים שווי שוקיים, שהקודקוד המשותף שלהם בראשית. השוקיים באורך 1, והזווית ביניהן 360°/12 = 30°:

נשווה לשטח שמצאנו בסעיף ב(2):

r הוא מודול, ולכן לוקחים רק את הערך החיובי.

r = √33.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א בוחרים B = −2iz בלי לבדוק באיזה רביע B יוצאת. בסעיף ב(1) כותבים את המודול של 12iz כ-2r במקום 12r. ובסעיף ג מציבים מיד w = cos φ + i sin φ, בלי להראות קודם שהמודול חייב להיות 1, ואז הפתרון חסר נימוק.

פרק שני: גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, פונקצייה מעריכית עם פרמטר, והפונקצייה 1f (33⅓ נקודות)

הנתונים.

סעיף א: חקירה באמצעות b

(1) תחום ההגדרה. המכנה מתאפס כאשר eˣ = 4, כלומר x = ln 4.

התחום: x ≠ ln 4.

(2) אסימפטוטות המאונכות לצירים.

• אנכית. ב-x = ln 4 המכנה מתאפס, והמונה שווה ל-4 − b, שאינו 0 כי b ≠ 4. x = ln 4.
• כש-x שואף לאינסוף, נחלק את המונה ואת המכנה ב-e²ˣ:

y = 0.

• כש-x שואף למינוס אינסוף, eˣ שואף ל-0:

y = −b16.

(3) נקודות החיתוך עם הצירים.

• עם ציר ה-y, x = 0: f(0) = 1 − b(1 − 4)² = 1 − b9. (0 , 1 − b9).
• עם ציר ה-x: המונה מתאפס, eˣ = b, x = ln b. הנקודה בתחום, כי b > 0 ו-b ≠ 4. (ln b , 0).

סעיף ב: הערך של b וסוג נקודת הקיצון

נגזור לפי כלל המנה. הנגזרת של (eˣ − 4)² היא 2(eˣ − 4)·eˣ:

נוציא eˣ(eˣ − 4) מן המונה ונצמצם עם המכנה:

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. ב-x = ln 12 מתקיים eˣ = 12, ו-eˣ אינו 0 לעולם:

b = 8.

סוג הקיצון. עבור b = 8:

ליד x = ln 12 מתקיים eˣ > 4, ולכן המכנה חיובי. גם eˣ חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי 12 − eˣ:

נקודת מקסימום, (ln 12 , 116).

מכאן והלאה b = 8:

כדאי להשלים כבר עכשיו את התמונה של f, כי היא תשמש בכל הסעיפים הבאים:

• משמאל ל-ln 4 המכנה (eˣ − 4)³ שלילי והמונה eˣ(12 − eˣ) חיובי, ולכן f′ < 0: f יורדת בכל התחום x < ln 4.
• האסימפטוטות: x = ln 4, y = 0 (באינסוף), y = −816 = −½ (במינוס אינסוף).
• החיתוכים עם הצירים: (0 , −79) ו-(ln 8 , 0).
• ליד x = ln 4, משני הצדדים, המונה קרוב ל-4 − 8 = −4 והמכנה הוא ריבוע קטן וחיובי. לכן f שואפת למינוס אינסוף משני הצדדים.

סעיף ג: הפונקצייה g(x) = 1/f(x)

(1) תחום ההגדרה. g מוגדרת בכל מקום שבו f מוגדרת ואינה 0. f אינה מוגדרת ב-x = ln 4, ומתאפסת ב-x = ln 8.

התחום: x ≠ ln 4 וגם x ≠ ln 8.

שימו לב: הביטוי (eˣ − 4)²eˣ − 8 דווקא מוגדר ב-ln 4, אבל g היא 1f, ובנקודה שבה f אינה קיימת אין גם 1f.

(2) אסימפטוטות המאונכות לצירים.

• x = ln 8 אסימפטוטה אנכית: שם f שואפת ל-0, ולכן 1f שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף. (המונה של g שם הוא (8 − 4)² = 16, שאינו 0.)
• ב-x = ln 4 אין אסימפטוטה: f שואפת שם למינוס אינסוף, ולכן g שואפת ל-0. בגרף של g יש שם נקודה ריקה, (ln 4 , 0).
• במינוס אינסוף f שואפת ל-−½, ולכן g שואפת ל-−2. y = −2.
• באינסוף f שואפת ל-0 מלמעלה (f חיובית כאשר eˣ > 8), ולכן g שואפת לאינסוף, ואין שם אסימפטוטה אופקית.

האסימפטוטות של g: x = ln 8 ו-y = −2.

סעיף ד: סקיצה של שני הגרפים במערכת צירים אחת

לגרף של g משתמשים בקשר g′ = −f′f². הסימן של g′ הפוך לסימן של f′, ולכן g עולה היכן ש-f יורדת, ולהפך. נוסף על כך, היכן ש-f קרובה ל-0, הערכים של g גדולים מאוד בערכם המוחלט, והיכן ש-f גדולה מאוד בערכה המוחלט, g קרובה ל-0.

הגרף של f:

• הענף השמאלי, x < ln 4: מתחיל סמוך לאסימפטוטה y = −½ ומתחתיה, יורד כל הזמן, עובר ב-(0 , −79), וצולל למינוס אינסוף ליד x = ln 4 (ln 4 ≈ 1.39).
• הענף הימני, x > ln 4: עולה ממינוס אינסוף ליד x = ln 4, חותך את ציר ה-x ב-(ln 8 , 0) (ln 8 ≈ 2.08), מגיע למקסימום (ln 12 , 116) (ln 12 ≈ 2.48), ואחר כך יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה בלי לגעת בו.

הגרף של g:

• x < ln 4: מתחיל סמוך לאסימפטוטה y = −2 ומעליה, עולה כל הזמן, עובר ב-(0 , −97), ומגיע לנקודה הריקה (ln 4 , 0).
• ln 4 < x < ln 8: יוצא מן הנקודה הריקה (ln 4 , 0), יורד כל הזמן, וצולל למינוס אינסוף ליד x = ln 8.
• x > ln 8: יורד מאינסוף ליד x = ln 8 עד נקודת מינימום (ln 12 , 16), ואחר כך עולה לאינסוף.

שני הגרפים נחתכים בשתי נקודות בגובה y = −1 (ראו סעיף ה): אחת בענף השמאלי, ב-x ≈ 0.36, ואחת בין ln 4 ל-ln 8, ב-x ≈ 1.72.

סעיף ה: שיעור ה-y של נקודות החיתוך

בנקודת חיתוך מתקיים f(x) = g(x) = 1/f(x), ולכן:

עכשיו צריך לבדוק אילו מן הערכים האלה f באמת מקבלת:

• בענף השמאלי כל הערכים של f קטנים מ-−½, ולכן f אינה מגיעה שם ל-1.
• בענף הימני הערך הגדול ביותר של f הוא המקסימום 116, ולכן גם שם f אינה מגיעה ל-1.

לכן f(x) = 1 אינו אפשרי. לעומת זאת, f(x) = −1 מתקבל: בענף השמאלי f יורדת ברציפות מ-−½ למינוס אינסוף, ובענף הימני היא עולה ממינוס אינסוף עד 116, ולכן היא עוברת דרך −1 פעם אחת בכל ענף.

שיעור ה-y של נקודות החיתוך הוא −1.

להשלמה, שיעורי ה-x: f(x) = −1 פירושו eˣ − 8 = −(eˣ − 4)², כלומר e²ˣ − 7eˣ + 8 = 0. מכאן eˣ = 7 ± √172, ו-x ≈ 0.36 או x ≈ 1.72.

סעיף ו: האם האינטגרל קטן או גדול מ-1½

הקטע −2 ≤ x ≤ −1 נמצא כולו בענף השמאלי, x < ln 4. בענף הזה:

• f יורדת, כפי שראינו בסעיף ב.
• g עולה, כי g′ = −f′f² ו-f′ < 0.

לכן ההפרש f(x) − g(x) יורד כל הזמן בענף השמאלי. במינוס אינסוף f שואפת ל-−½ ו-g שואפת ל-−2, ולכן:

פונקצייה יורדת שגבולה במינוס אינסוף הוא 32 קטנה מ-32 בכל נקודה. לכן בכל הקטע f(x) − g(x) < 32. אורך הקטע הוא 1, ולכן:

הערך של האינטגרל קטן מ-1½.

בשפת הגרף: האינטגרל הוא השטח בין f (למעלה) ל-g (למטה) בקטע שאורכו 1, והמרחק האנכי בין הגרפים קטן תמיד מן המרחק בין שתי האסימפטוטות האופקיות y = −½ ו-y = −2, שהוא בדיוק 1½. (חישוב מקורב, לבדיקה בלבד, נותן כ-1.28.)

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א(2) מוצאים אסימפטוטה אופקית אחת בלבד, ושוכחים שבאינסוף ובמינוס אינסוף הגבולות שונים. בסעיף ג מכניסים את ln 4 לתחום של g, כי הביטוי המצומצם מוגדר שם, או מסמנים שם אסימפטוטה אנכית במקום נקודה ריקה. ובסעיף ה עונים "1 או −1" בלי לבדוק ש-f אינה מגיעה לעולם ל-1.

שאלה 5, פונקצייה עם ln בריבוע ושני שטחים (33⅓ נקודות)

הנתונים.

סעיף א: תחומי עלייה וירידה

נגזור לפי כלל המכפלה. הנגזרת של הביטוי שבסוגריים היא 2ln x · (1x) − 2x:

כמעט הכול מתבטל, ונשאר ריבוע. לכן f′(x) ≥ 0 בכל התחום, והנגזרת מתאפסת רק כאשר ln x = 0, כלומר x = 1. משני צדי x = 1 הנגזרת חיובית, ולכן אין שם קיצון.

f עולה בכל התחום x > 0, ואין לה תחום ירידה.

סעיף ב: נקודת הפיתול

x חיובי, ולכן הסימן של f″ הוא הסימן של ln x:

נקודת הפיתול: (1 , 2). גם f′(1) = 0, ולכן זו נקודת פיתול עם משיק אופקי.

סעיף ג: תחומי חיוביות ושליליות

נשלים לריבוע את הביטוי שבסוגריים:

גם x חיובי בכל התחום, ולכן f(x) היא מכפלה של שני מספרים חיוביים.

f חיובית בכל התחום x > 0, ואין לה תחום שליליות.

סעיף ד: סקיצות

(1) הגרף של f.

• כש-x מתקרב ל-0 מימין, ערכי f מתקרבים ל-0 (למשל f(0.001) ≈ 0.064), ולכן הגרף מתחיל סמוך לראשית. הראשית עצמה אינה בתחום.
• הגרף עולה כל הזמן (סעיף א), וכולו מעל ציר ה-x (סעיף ג).
• בתחום 0 < x < 1 הוא קעור כלפי מטה, ומגיע לנקודת הפיתול (1 , 2) עם משיק אופקי.
• מימין ל-1 הוא קעור כלפי מעלה ועולה לאינסוף. נקודות עזר: f(e) = e ≈ 2.72, f(e²) = 2e² ≈ 14.78.
• ליד x = 0 הגרף תלול מאוד, כי שם f′(x) = (ln x)² גדולה מאוד.

(2) הגרף של f′(x) = (ln x)².

• f′(x) ≥ 0 תמיד, והגרף נוגע בציר ה-x רק בנקודה (1 , 0), שהיא נקודת מינימום.
• כש-x שואף ל-0 מימין, ln x שואף למינוס אינסוף, ולכן (ln x)² שואף לאינסוף. x = 0 אסימפטוטה אנכית.
• בתחום 0 < x < 1 הגרף יורד (שם f″ < 0), ומימין ל-1 הוא עולה לאינסוף (שם f″ > 0).
• נקודות עזר: (1e , 1) ו-(e , 1).

סעיף ה: השטח המוגבל על ידי g ועל ידי ציר ה-x

נקודות החיתוך עם ציר ה-x: (ln x)² = 4, כלומר ln x = 2 או ln x = −2:

בין שתי הנקודות |ln x| < 2, ולכן g שלילית שם. השטח הוא האינטגרל של −g:

כאן נמצא הצעד החשוב של השאלה: לפי סעיף א, f′(x) = (ln x)². כלומר f היא פונקצייה קדומה של (ln x)², והחלק הראשון של השאלה הכין לנו אותה. לכן:

נחשב את f בשני הקצוות:

השטח הוא 2e² + 6e² ≈ 15.59 יחידות שטח.

סעיף ו: השטח בין g, h והאנכים

האנכים הם x = e⁻² ו-x = e². לפני שמחסירים, בודקים מי מעל מי. לפי סעיף ג המונה של h חיובי, וגם x חיובי, ולכן h(x) > 0. בקטע שבין האנכים g(x) ≤ 0. לכן הגרף של h מעל הגרף של g בכל הקטע, והם אינם נחתכים בו:

האינטגרל השני הוא בדיוק השטח מסעיף ה, 2e² + 6e⁻².

לאינטגרל הראשון נפרק את h לשלושה מחוברים:

בשני המחוברים הראשונים מופיעה חזקה של ln x כפול הנגזרת שלו, 1x. לכן:

נציב את הגבולות, ln(e²) = 2 ו-ln(e⁻²) = −2:

ולכן:

השטח הוא 403 + 2e² + 6e² ≈ 28.92 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א פותחים סוגריים ולא שמים לב שכמעט הכול מתבטל ונשאר (ln x)². ואז, בסעיף ה, מחפשים פונקצייה קדומה ל-(ln x)² מאפס, כשהיא כבר מחכה בסעיף א. בסעיף ו שוכחים לבדוק מי מהגרפים למעלה, ומחסירים בסדר ההפוך.

התשובות בקצרה