התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35572 · חורף · תשפ״ד · 2024
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים
שאלה 1 33⅓ נקודות
משולש ישר זווית שאמצע היתר שלו רץ על פרבולה: מקום גאומטרי, משיק מקביל, קודקודים ומעגל משיק
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הפרבולה y² = 4ax, בלי הנקודה (0 , 0) (שם k = 0 ואין משולש). A(a , 0) היא המוקד, והישר x = −a הוא המדריך |
| ב | סקיצה: כש-a > 0 הפרבולה נפתחת ימינה, כש-a < 0 היא נפתחת שמאלה. בשתיהן הקודקוד בראשית (עיגול ריק) והן סימטריות ביחס לציר ה-x |
| ג | הוכחה: ל-M(k²4a , k) ברביע הראשון (a > 0) שיפוע המשיק 2ak, ושיפוע AC הוא k / (k²2a) = 2ak. A אינה על ℓ, ולכן הישרים מקבילים ושונים |
| ד | B(−2 , 8), C(18 , 8) (a = 2, M(8 , 8)) |
| ה | מרכז המעגל (1 , 2), הרדיוס √5 (ℓ: y = ½x + 4, AC: y = ½x − 1, המעגל משיק ל-AC ב-A) |
שאלה 2 33⅓ נקודות
ישר ומישור עם פרמטר: אי-הקבלה, ניצבות, נקודת חיתוך ומישור דרך ישר ונקודה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | u · n = −m² + 6m − 15 = −(m − 3)² − 6 ≤ −6, לכן לעולם אינו 0, והישר אינו מקביל למישור לאף m |
| ב | m = −5 (u = (−6 , 10 , −2) = −2·(3 , −5 , 1)) |
| ג | A(2 , 0 , −10) (t = −½) |
| ד | הטענה אינה נכונה: הנקודה (5 , −5 , −9) נמצאת על ℓ (t = −1), ולכן יש אינסוף מישורים שמכילים את ℓ ועוברים דרכה |
שאלה 3 33⅓ נקודות
מעגל במישור גאוס, נקודה על אותה קרן, וסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | (x − 6)² + (y − 8)² = 25: מעגל שמרכזו (6 , 8) ורדיוסו 5 |
| ב | A(3 , 4) (zA = ½zM = 3 + 4i) |
| ג | q⁴ = 2, ולכן q = ⁴√2, q = −⁴√2, q = ⁴√2·i, q = −⁴√2·i (⁴√2 ≈ 1.189) |
| ד | 775(√2 + 1) ≈ 1871.02, לכל אחת מארבע המנות |
פרק שני: גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 4 33⅓ נקודות
f(x) = (a − x²)/eˣ ו-g(x) = (x + 1)²/eˣ, כאשר f = g′: חיתוכים, קיצון, שטח ואינטגרל
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | a = 1 (g′(x) = (1 − x²)/eˣ) |
| ב(1) | (−1 , 0), (1 , 0) עם ציר ה-x; (0 , 1) עם ציר ה-y |
| ב(2) | (−1 , 0) עם ציר ה-x; (0 , 1) עם ציר ה-y |
| ב(3) | f: מקסימום (1 − √2 , (2√2 − 2)e√2 − 1) ≈ (−0.414 , 1.254), מינימום (1 + √2 , −(2 + 2√2)e−1 − √2) ≈ (2.414 , −0.432). g: מינימום (−1 , 0), מקסימום (1 , 4e) ≈ (1 , 1.472) |
| ג | סקיצה: הגרפים נפגשים ב-(−1 , 0) וב-(0 , 1); בין −1 ל-0 f מעל g, ומחוץ לקטע g מעל f. כש-x שואף לאינסוף שתיהן שואפות ל-0 (f מלמטה, g מלמעלה); כש-x שואף למינוס אינסוף f שואפת למינוס אינסוף ו-g לאינסוף |
| ד | 4e ≈ 1.47 (∫ f מ-(−1) עד 1 = g(1) − g(−1)) |
| ה | e²9 − e4 ≈ 0.141 (הפונקצייה שבאינטגרל היא (1g)′, ו-1g = eˣ/(x + 1)²) |
שאלה 5 33⅓ נקודות
הפונקצייה ln x − xln x + x, כאשר a פותר ln a = −a, והפונקצייה eg(x)
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x > 0 וגם x ≠ a |
| א(2) | אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x (ln x = x אין לה פתרון, כי ln x < x) |
| א(3) | y = −1 |
| ב | a > 0 כי a בתחום של ln; A על הישר y = −x, ולכן ln a = −a < 0, ומכאן a < 1 |
| ג(1) | נקודת מקסימום (e , 1 − e1 + e) ≈ (2.718 , −0.462) (g′(x) = 2(1 − ln x)(ln x + x)²) |
| ג(2) | עולה ב-0 < x < a וב-a < x < e; יורדת ב-x > e |
| ד | סקיצה: ענף שמאלי מתחיל סמוך ל-(0 , 1) ועולה לאינסוף ליד x = a; ענף ימני עולה ממינוס אינסוף ליד x = a, חוצה את y = −1 ב-(1 , −1), מקסימום (e , 1 − e1 + e), ויורד אל y = −1 מלמעלה |
| ה | סקיצה: h חיובית; ענף שמאלי מתחיל סמוך ל-(0 , e) ועולה לאינסוף ליד x = a; ענף ימני מתחיל סמוך לנקודה הריקה (a , 0), עובר ב-(1 , 1e), מקסימום (e , e(1 − e)/(1 + e)) ≈ (2.72 , 0.63), ויורד אל y = 1e מלמעלה |