מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 5 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1 עד 3), וגדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5).

עונים על שלוש שאלות לבחירה. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש שאלות, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שלוש שעות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים

שאלה 1, משולש ישר זווית שאמצע היתר שלו רץ על פרבולה (33⅓ נקודות)

הנתונים. במשולש ABC הזווית BAC ישרה. הקודקוד A הוא (a , 0), כאשר a פרמטר שונה מאפס. שיעור ה-x של הקודקוד B הוא −a, והצלע BC מקבילה לציר ה-x. הנקודה M היא אמצע הצלע BC.

סעיף א: המקום הגאומטרי של M

הצלע BC מקבילה לציר ה-x, ולכן ל-B ול-C אותו שיעור y. נסמן אותו ב-k, ואת שיעור ה-x של C נסמן ב-c:

k אינו יכול להיות 0. אילו k = 0, שלושת הקודקודים היו על ציר ה-x, ולא היה משולש.

הזווית ב-A ישרה, ולכן הווקטורים AB ו-AC מאונכים, והמכפלה הסקלרית שלהם היא 0:

נחלק ב-2a (מותר, כי a ≠ 0):

עכשיו האמצע M של BC:

נשאר להיפטר מ-k. מן השורה השנייה k = y, ונציב בראשונה: x = y²4a, כלומר:

המקום הגאומטרי של M הוא הפרבולה y² = 4ax, בלי הקודקוד שלה (0 , 0), כי k ≠ 0.

מבט נוסף שמסביר למה יצאה דווקא פרבולה: M היא אמצע היתר במשולש ישר זווית, ולכן התיכון AM שווה לחצי היתר, כלומר MA = MB. אבל MB הוא בדיוק המרחק של M מן הישר x = −a, כי BC אופקית ו-B נמצאת על הישר הזה. לכן M שווה מרחק מן הנקודה A ומן הישר x = −a, וזו ההגדרה של פרבולה שהמוקד שלה A(a , 0) והמדריך שלה x = −a. בצורה y² = 2px של דף הנוסחאות כאן p = 2a, והמוקד (p2 , 0) הוא אכן (a , 0). העובדה הזו תחסוך עבודה בסעיף ד.

סעיף ב: סקיצה של שתי האפשרויות

הסימן של a קובע לאן הפרבולה נפתחת:

• a > 0: הפרבולה y² = 4ax נפתחת ימינה, לכיוון החיובי של ציר ה-x.
• a < 0: הפרבולה נפתחת שמאלה, לכיוון השלילי של ציר ה-x.

בשני המקרים הקודקוד בראשית, והפרבולה סימטרית ביחס לציר ה-x. בסקיצה מסמנים את הראשית בעיגול ריק, כי היא אינה שייכת למקום הגאומטרי. אם משרטטים את שתי האפשרויות עם אותו |a|, הן תמונת ראי זו של זו ביחס לציר ה-y.

סעיף ג: המשיק ℓ מקביל ל-AC

ל-M ברביע הראשון y_M = k > 0 וגם x_M = k²4a > 0. מכאן a > 0.

השיפוע של המשיק ℓ. לפי דף הנוסחאות, המשיק לפרבולה y² = 2px בנקודה (x₀ , y₀) הוא y·y₀ = p(x + x₀). כאן p = 2a והנקודה היא M(x₀ , k), ולכן:

השיפוע של AC. A(a , 0) ו-C(a + k²2a , k):

לשני הישרים אותו שיפוע, 2ak, ולכן ℓ מקביל ל-AC.

נשאר לוודא שאלה שני ישרים שונים, ולא אותו ישר. נציב את A(a , 0) במשוואת ℓ: באגף שמאל k·0 = 0, ובאגף ימין 2a(a + x₀), שהוא חיובי כי a > 0 ו-x₀ > 0. לכן A אינה על ℓ, והישרים מקבילים ושונים.

סעיף ד: הקודקודים B ו-C

B נמצא על הישר x = −2, ושיעור ה-x שלו הוא −a. לכן −a = −2, כלומר a = 2. המקום הגאומטרי הוא y² = 8x, ו-A(2 , 0).

כאן משתלם המבט מסעיף א: MA = MB, ו-MB הוא המרחק האופקי מ-M לישר x = −2:

נציב בפרבולה: y_M² = 8·8 = 64. M ברביע הראשון, ולכן y_M = 8, ו-M(8 , 8).

בדיקה בנוסחת המרחק: AM² = (8 − 2)² + (8 − 0)² = 36 + 64 = 100, ו-AM = 10.

ל-B ול-C אותו שיעור y כמו M, כלומר 8. B(−2 , 8), ו-M אמצע BC:

B(−2 , 8) , C(18 , 8).

בדיקה של הזווית הישרה: AB = (−4 , 8), AC = (16 , 8), והמכפלה הסקלרית (−4)·16 + 8·8 = −64 + 64 = 0.

סעיף ה: מרכז המעגל

שני הישרים. המשיק בנקודה M(8 , 8) לפרבולה y² = 8x (כאן p = 4):

הישר AC עובר דרך A(2 , 0) בשיפוע 2ak = 48 = ½:

נקודת ההשקה על AC. המעגל עובר דרך A, ו-A נמצאת על הישר AC. ישר שמשיק למעגל נוגע בו בנקודה אחת בלבד, ולכן אם הישר AC משיק למעגל ועובר בנקודה A שעל המעגל, נקודת ההשקה היא A עצמה. המרכז נמצא אפוא על האנך ל-AC בנקודה A. השיפוע של האנך הוא −2 (כי ½ · (−2) = −1):

מרכז במרחק שווה משני המשיקים. המרכז נמצא במרחק רדיוס אחד מכל משיק. ℓ ו-AC מקבילים, ולכן המרכז נמצא על הישר המקביל שבאמצע ביניהם. ℓ חותך את ציר ה-y בגובה 4, ו-AC בגובה −1, והאמצע הוא 1.5:

החיתוך. נשווה את שני הישרים שעליהם נמצא המרכז:

מרכז המעגל הוא (1 , 2).

בדיקה: הרדיוס הוא המרחק ל-A, √(2 − 1)² + (0 − 2)² = √5. המרחק מ-(1 , 2) לישר ℓ, שמשוואתו x − 2y + 8 = 0, הוא |1 − 4 + 8|/√5 = 5√5 = √5. שני המרחקים שווים, כנדרש.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א שוכחים להוציא את הקודקוד (0 , 0), שבו אין משולש. בסעיף ג מראים ששיפוע המשיק שווה לשיפוע AC ולא מזכירים שהישרים שונים. בסעיף ה מחפשים נקודת השקה על AC במקום לשים לב שהיא A עצמה, ואז מסתבכים עם שני נעלמים מיותרים.

שאלה 2, ישר ומישור עם פרמטר (33⅓ נקודות)

הנתונים. הישר ℓ: x = (−1 , 5 , −11) + t·(m − 1 , 5 − m , −2). המישור π: 3x + my + (m + 6)z + 4 = 0. m פרמטר.

נסמן את וקטור הכיוון של הישר ואת הנורמל של המישור:

סעיף א: הישר אינו מקביל למישור לאף m

ישר מקביל למישור (או מוכל בו) בדיוק כשווקטור הכיוון שלו מאונך לנורמל, כלומר כש-u · n = 0. נחשב:

נשלים לריבוע:

(m − 3)² ≥ 0, ולכן הביטוי קטן או שווה ל-−6 לכל m, ובפרט אף פעם אינו 0. (אפשר גם לומר שהדיסקרימיננטה של m² − 6m + 15 היא 36 − 60 < 0.)

לכל m המכפלה הסקלרית u · n שונה מ-0, ולכן הישר ℓ אינו מקביל למישור π (וגם אינו מוכל בו). הוא חותך אותו בנקודה אחת בדיוק.

סעיף ב: הערך של m כשהישר ניצב למישור

ישר ניצב למישור כשווקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל, כלומר u = λn:

מן המשוואה הראשונה λ = m − 13. נציב בשלישית:

מכאן m = 0 או m = −5. שני הערכים חייבים לקיים גם את המשוואה האמצעית:

• m = 0: באגף שמאל 5 − 0 = 5, ובאגף ימין 0·λ = 0. לא מתקיים.
• m = −5: λ = −5 − 13 = −2. באגף שמאל 5 − (−5) = 10, ובאגף ימין (−5)(−2) = 10. מתקיים.

m = −5. ואז u = (−6 , 10 , −2) ו-n = (3 , −5 , 1), ואכן u = −2n.

סעיף ג: הנקודה A

עם m = −5:

נציב את הנקודה הכללית של הישר במשוואת המישור:

נציב t = −½ בישר:

A(2 , 0 , −10). בדיקה במישור: 3·2 − 5·0 + (−10) + 4 = 0.

סעיף ד: האם קיים מישור אחד בלבד

הטענה מתייחסת לישר ℓ מן הנתון שלפני סעיף ב, כלומר עם m = −5. נבדוק אם הנקודה P(5 , −5 , −9) נמצאת על הישר. משיעור ה-z:

ונבדוק את שני השיעורים האחרים עם t = −1:

שלושת השיעורים מתאימים, ולכן P נמצאת על הישר ℓ (בפרמטר t = −1).

ישר ונקודה שמחוצה לו קובעים מישור אחד בדיוק. אבל כשהנקודה נמצאת על הישר, היא לא מוסיפה שום תנאי: כל מישור שמכיל את ℓ מכיל גם את P. ויש אינסוף מישורים שמכילים ישר נתון, כמו דפים של ספר פתוח שכולם נפגשים בשדרה.

הטענה אינה נכונה. הנקודה (5 , −5 , −9) נמצאת על ℓ, ולכן יש אינסוף מישורים שמכילים את הישר ועוברים דרכה.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב פותרים רק שתיים משלוש המשוואות ומקבלים גם m = 0, שאינו מתאים. בסעיף ד ממהרים לבנות מישור דרך הישר והנקודה, בלי לבדוק קודם אם הנקודה בכלל מחוץ לישר.

שאלה 3, מעגל במישור גאוס וסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים (33⅓ נקודות)

הנתונים. z = x + yi, כאשר x ו-y ממשיים.

סעיף א: המקום הגאומטרי הוא מעגל

נתחיל מן הערכים המוחלטים שאינם תלויים ב-z:

המשוואה הופכת ל:

הצמוד של z הוא z̄ = x − yi, ולכן:

הריבוע של הערך המוחלט הוא סכום ריבועי החלק הממשי והחלק המדומה:

זו משוואת מעגל שמרכזו (6 , 8) ורדיוסו 5.

סעיף ב: הנקודה A

M היא מרכז המעגל, ולכן z_M = 6 + 8i ו-|z_M| = √36 + 64 = 10.

מן הנתון 2|z_A| = |z_M| מקבלים |z_A| = 5. לשני המספרים אותו ארגומנט θ, ולכן:

במילים: A נמצאת על הקרן מן הראשית דרך M, בחצי המרחק.

A(3 , 4).

סעיף ג: מנת הסדרה

z₁ = z_A = 3 + 4i ו-z₅ = z_M = 6 + 8i. בסדרה הנדסית z₅ = z₁·q⁴, ולכן:

צריך את כל ארבעת השורשים מסדר 4 של המספר 2. בהצגה קוטבית 2 = 2·cis 0°, ולפי נוסחת השורשים:

ארבע אפשרויות: q = ⁴√2, q = −⁴√2, q = ⁴√2·i, q = −⁴√2·i (⁴√2 ≈ 1.189).

סעיף ד: הסכום z₁·z̄₁ + ... + z₁₀·z̄₁₀

המפתח: מכפלה של מספר מרוכב בצמוד שלו היא ריבוע הערך המוחלט שלו, z·z̄ = |z|². לכן הסכום הוא:

בכל ארבע האפשרויות |q| = ⁴√2, ולכן:

זו סדרה הנדסית ממשית שאיברה הראשון 25 ומנתה √2. סכום עשרת האיברים הראשונים:

נכפול את המונה ואת המכנה ב-(√2 + 1), והמכנה הופך ל-2 − 1 = 1:

הסכום הוא 775(√2 + 1) ≈ 1871.02, והוא זהה בכל ארבע האפשרויות של q, כי הוא תלוי רק ב-|q|.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א שוכחים לחשב את |10i| ואת |9 + 12i| כמספרים, או מתבלבלים בסימן של החלק המדומה של z̄. בסעיף ג מוצאים רק את q = ⁴√2 ושוכחים את שלושת השורשים האחרים. בסעיף ד מחשבים את סכום ה-zₙ עצמם במקום סכום ריבועי הערכים המוחלטים, או משתמשים במנה ⁴√2 במקום במנה √2 של הריבועים.

פרק שני: גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, שתי פונקציות מעריכיות ש-f היא הנגזרת של g (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = (a − x²)/eˣ ו-g(x) = (x + 1)²/eˣ, מוגדרות לכל x. a פרמטר.

סעיף א: הערך של a

נגזור את g. נוח לכתוב אותה כמכפלה, g(x) = (x + 1)²·e⁻ˣ:

הדרישה f(x) = g′(x) לכל x היא (a − x²)/eˣ = (1 − x²)/eˣ לכל x, כלומר a − x² = 1 − x² לכל x.

a = 1.

מעכשיו f(x) = (1 − x²)/eˣ, ו-f היא הנגזרת של g. נשתמש בזה כמה פעמים.

סעיף ב: נקודות חיתוך ונקודות קיצון

(1) הגרף של f עם הצירים. eˣ > 0 תמיד, ולכן f(x) = 0 רק כש-1 − x² = 0, כלומר x = 1 או x = −1. החיתוך עם ציר ה-y: f(0) = 11 = 1.

(−1 , 0), (1 , 0) עם ציר ה-x, ו-(0 , 1) עם ציר ה-y.

(2) הגרף של g עם הצירים. g(x) = 0 רק כש-(x + 1)² = 0, כלומר x = −1. ו-g(0) = 1.

(−1 , 0) עם ציר ה-x, ו-(0 , 1) עם ציר ה-y.

(3) נקודות הקיצון.

הפונקצייה f. נגזור בכלל המנה:

f′(x) = 0 כש-x² − 2x − 1 = 0:

הסימן של f′ הוא הסימן של הפרבולה x² − 2x − 1, שפתוחה כלפי מעלה:

נחשב את הערכים. (1 − √2)² = 3 − 2√2, ולכן 1 − (1 − √2)² = 2√2 − 2. באותו אופן (1 + √2)² = 3 + 2√2, ולכן 1 − (1 + √2)² = −2 − 2√2:

ל-f מקסימום ב-(1 − √2 , (2√2 − 2)e^{√2 − 1}) ≈ (−0.414 , 1.254), ומינימום ב-(1 + √2 , −(2 + 2√2)e^{−1 − √2}) ≈ (2.414 , −0.432).

הפונקצייה g. כאן אין צורך לגזור שוב: g′ = f. לכן g′ מתאפסת ב-x = ±1, והסימן של g′ הוא הסימן של 1 − x²:

ל-g מינימום ב-(−1 , 0) ומקסימום ב-(1 , 4e) ≈ (1 , 1.472).

סעיף ג: סקיצה של שני הגרפים במערכת צירים אחת

לפני השרטוט נאסוף עוד שלושה דברים.

התנהגות בקצוות. כש-x שואף לאינסוף, eˣ גדל מהר יותר מכל פולינום, ולכן f ו-g שואפות ל-0. f מתקרבת לציר ה-x מלמטה (היא שלילית כש-x > 1), ו-g מלמעלה. כש-x שואף למינוס אינסוף, e⁻ˣ שואף לאינסוף, ולכן f שואפת למינוס אינסוף (כי 1 − x² שלילי וגדול) ו-g שואפת לאינסוף.

נקודות משותפות לשני הגרפים.

x = 0 או x = −1. הגרפים נפגשים ב-(−1 , 0) וב-(0 , 1). בין x = −1 ל-x = 0 הגרף של f מעל הגרף של g, ומחוץ לקטע הזה g מעל f.

הקשר g′ = f בשרטוט. במקום שבו f חיובית, g עולה; במקום שבו f שלילית, g יורדת. נקודות החיתוך של f עם ציר ה-x (x = ±1) הן נקודות הקיצון של g, ונקודות הקיצון של f (x = 1 ± √2) הן נקודות הפיתול של g.

הגרף של f: מגיע ממינוס אינסוף משמאל, עולה וחותך את ציר ה-x ב-(−1 , 0), ממשיך לעלות למקסימום (−0.414 , 1.254), יורד דרך (0 , 1) וחותך את ציר ה-x ב-(1 , 0), יורד למינימום (2.414 , −0.432), ואחר כך עולה ומתקרב לציר ה-x מלמטה בלי לגעת בו.

הגרף של g: מגיע מאינסוף משמאל, יורד ונוגע בציר ה-x במינימום (−1 , 0), עולה דרך (0 , 1) למקסימום (1 , 1.472), ואחר כך יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה בלי לגעת בו.

סעיף ד: השטח בין הגרף של f לציר ה-x

f חיובית בין x = −1 ל-x = 1 ומתאפסת בקצוות, ולכן התחום הסגור הוא בקטע הזה, מעל ציר ה-x. מימין ל-x = 1 הגרף שלילי ומתקרב לציר ה-x בלי לפגוש אותו שוב, כך שאין שם תחום סגור.

כאן משתלם סעיף א: g′ = f, ולכן g היא פונקצייה קדומה של f.

השטח הוא 4e ≈ 1.47 יחידות שטח.

סעיף ה: האינטגרל מ-1 עד 2

נסתכל על שני הגורמים שבאינטגרל ונזהה בהם את f ואת g:

ולכן הפונקצייה שבתוך האינטגרל היא:

וזו בדיוק הנגזרת של 1/g(x), לפי כלל השרשרת: (1g)′ = −g′g². לכן 1/g(x) = eˣ/(x + 1)² היא פונקצייה קדומה:

הערך הוא e²9 − e4 ≈ 0.141.

בדיקה מהירה של הסימן: אחרי צמצום, הפונקצייה שבתוך האינטגרל היא eˣ(x − 1)/(x + 1)³, שאינה שלילית בקטע [1 , 2]. לכן התוצאה צריכה להיות חיובית, והיא אכן חיובית.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב(3) גוזרים את g מחדש, כשהנגזרת שלה כבר כתובה: זו f. בסעיף ד מנסים למצוא פונקצייה קדומה ל-f באינטגרציה בחלקים, כשהיא נתונה מסעיף א. בסעיף ה פותחים את הביטוי במקום לזהות בו את התבנית −g′g².

שאלה 5, הפונקצייה ln x − xln x + x ונקודת החיתוך של ln x עם y = −x (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = ln x בתחום x > 0, והישרים y = x ו-y = −x. A היא נקודת החיתוך של הגרף של f עם אחד הישרים, ושיעור ה-x שלה הוא a. הפונקצייה הנחקרת:

על איזה ישר נמצאת A? הגרף של ln x אינו פוגש את הישר y = x בכלל, כי ln x < x לכל x > 0. אפשר להראות זאת: הפונקצייה x − ln x גזירה, הנגזרת שלה 1 − 1x מתאפסת רק ב-x = 1, שם יש מינימום, וערך המינימום 1 − 0 = 1 חיובי. בסרטוט רואים זאת: A נמצאת מתחת לציר ה-x, על הישר y = −x. לכן:

זו העובדה שעליה בנויה כל השאלה.

סעיף א

(1) תחום ההגדרה. ln x מוגדר רק ל-x > 0, והמכנה ln x + x צריך להיות שונה מ-0. הפונקצייה ln x + x עולה (סכום של שתי פונקציות עולות), ולכן היא מתאפסת לכל היותר בנקודה אחת. אנחנו יודעים שהיא מתאפסת ב-x = a.

תחום ההגדרה: x > 0 וגם x ≠ a.

(2) חיתוך עם ציר ה-x. g(x) = 0 כשהמונה מתאפס, כלומר ln x = x. ראינו שאין לזה פתרון, כי ln x < x לכל x > 0.

לגרף של g אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x.

(3) אסימפטוטה מקבילה לציר ה-x. כש-x שואף לאינסוף נחלק את המונה ואת המכנה ב-x:

ln x / x שואף ל-0 כש-x שואף לאינסוף, ולכן g(x) שואפת ל-0 − 10 + 1 = −1.

האסימפטוטה היא y = −1.

(בקצה השני של התחום, כש-x שואף ל-0 מימין, ln x שואף למינוס אינסוף. נחלק ב-ln x ונקבל 1 − xln x1 + xln x, שואף ל-1. זו נקודת קצה של התחום, לא אסימפטוטה: הגרף מתחיל סמוך לנקודה (0 , 1), שאינה שייכת לו.)

סעיף ב: למה 0 < a < 1

a הוא שיעור ה-x של נקודה על הגרף של ln x, ולכן a > 0. A נמצאת על הישר y = −x, ולכן ln a = −a, ומכיוון ש-a > 0 מקבלים ln a < 0. הלוגריתם הטבעי שלילי רק כשהמספר קטן מ-1, ולכן a < 1.

0 < a < 1. בסרטוט רואים את אותו הדבר: A נמצאת משמאל לנקודה (1 , 0), שבה הגרף של ln x חותך את ציר ה-x.

(בדיוק של שלוש ספרות a ≈ 0.567, אבל אין צורך בערך הזה.)

סעיף ג

(1) נקודת הקיצון. נגזור בכלל המנה. המונה ln x − x, ונגזרתו 1x − 1. המכנה ln x + x, ונגזרתו 1x + 1:

נפתח את שתי המכפלות שבמונה:

ונחסר:

כלומר:

המכנה ריבוע, חיובי בכל התחום. לכן הסימן של g′ הוא הסימן של 1 − ln x: g′(x) = 0 רק כש-ln x = 1, כלומר x = e. כש-x < e, ln x < 1 ו-g′ > 0; כש-x > e, g′ < 0. x = e שייך לתחום, כי e ≠ a.

נקודת מקסימום: (e , 1 − e1 + e) ≈ (2.718 , −0.462).

(2) תחומי עלייה וירידה. g′ > 0 לכל x < e בתחום, אבל התחום נקטע ב-x = a (וזכרו ש-a < 1 < e). לכן:

g עולה ב-0 < x < a וב-a < x < e. g יורדת ב-x > e.

אי אפשר לכתוב "עולה ב-0 < x < e", כי ב-x = a הגרף נקטע וקופץ.

סעיף ד: סקיצה של g

נאסוף את מה שצריך:

• ההתנהגות ליד x = a. במונה: ln a − a = −a − a = −2a, מספר שלילי. המכנה שואף ל-0. ln x + x עולה ומתאפס ב-a, ולכן הוא שלילי משמאל ל-a וחיובי מימין. מכאן: כש-x שואף ל-a משמאל, g שואפת לאינסוף (שלילי חלקי שלילי קטן), וכש-x שואף ל-a מימין, g שואפת למינוס אינסוף. x = a היא אסימפטוטה אנכית.
• ליד x = 0: g שואפת ל-1 (סעיף א(3)).
• ב-x = 1: g(1) = 0 − 10 + 1 = −1. הגרף חוצה את האסימפטוטה y = −1 בנקודה (1 , −1). אפשר לראות זאת גם מ-g(x) + 1 = 2ln xln x + x: בין a ל-1 הביטוי שלילי, ולכן הגרף מתחת ל-y = −1; מימין ל-1 הוא חיובי, ולכן הגרף מתקרב ל-y = −1 מלמעלה.

הגרף:

• הענף השמאלי, 0 < x < a: מתחיל סמוך לנקודה (0 , 1), שאינה שייכת לגרף, ועולה לאינסוף ליד האסימפטוטה x = a. כל הענף מעל y = 1, כי g(x) − 1 = −2xln x + x והמכנה שלילי שם.
• הענף הימני, x > a: עולה ממינוס אינסוף ליד x = a, חוצה את y = −1 ב-(1 , −1), מגיע למקסימום (e , 1 − e1 + e) ≈ (2.72 , −0.46), ואחר כך יורד ומתקרב לאסימפטוטה y = −1 מלמעלה. כל הענף מתחת לציר ה-x.

סעיף ה: סקיצה של h(x) = e^g(x)

תחום ההגדרה של h זהה לזה של g: x > 0 וגם x ≠ a. h חיובית תמיד, כי זו חזקה של e.

עלייה וירידה. הפונקצייה eᵗ עולה, ולכן h עולה בדיוק היכן ש-g עולה ויורדת היכן ש-g יורדת (ואכן h′ = g′·e^g, ו-e^g > 0). h עולה ב-0 < x < a וב-a < x < e, ויורדת ב-x > e. נקודת מקסימום: (e , e^{(1 − e)/(1 + e)}) ≈ (2.72 , 0.63).

ערכים בקצוות, ישירות מן הגבולות של g:

• x שואף ל-0 מימין: g שואפת ל-1, ולכן h שואפת ל-e ≈ 2.72. הגרף מתחיל סמוך לנקודה (0 , e), שאינה שייכת לו.
• x שואף ל-a משמאל: g שואפת לאינסוף, ולכן h שואפת לאינסוף. x = a אסימפטוטה אנכית, רק מצד שמאל.
• x שואף ל-a מימין: g שואפת למינוס אינסוף, ולכן h שואפת ל-0. כאן אין אסימפטוטה: הגרף מתקרב לנקודה (a , 0), שאינה שייכת לו.
• x שואף לאינסוף: g שואפת ל-−1, ולכן h שואפת ל-e⁻¹ = 1e ≈ 0.37. y = 1e אסימפטוטה אופקית.
• h(1) = e⁻¹ = 1e: הגרף חוצה את האסימפטוטה האופקית בנקודה (1 , 1e).

הגרף:

• הענף השמאלי, 0 < x < a: מתחיל סמוך ל-(0 , e) ועולה לאינסוף ליד x = a.
• הענף הימני, x > a: מתחיל סמוך לנקודה הריקה (a , 0), עולה דרך (1 , 1e) למקסימום (e , 0.63), ואחר כך יורד ומתקרב לאסימפטוטה y = 1e מלמעלה. הענף כולו מעל ציר ה-x.

איפה נופלים בשאלה 5. מחפשים את A על הישר y = x, שאינו פוגש את הגרף בכלל. בסעיף ג(2) כותבים תחום עלייה אחד 0 < x < e ושוכחים שהתחום נקטע ב-a. בסעיף ה מעתיקים את האסימפטוטה האנכית של g לשני הצדדים, אבל מימין ל-a הפונקצייה h שואפת ל-0, לא למינוס אינסוף: חזקה של e אינה שלילית לעולם.

התשובות בקצרה