התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35572 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ה · 2025
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון
שאלה 1 33⅓ נקודות
מעגל עם פרמטר, משיק, מקום גאומטרי שהוא אליפסה, משולש המוקדים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | R = √9 − t (המרכז (3 , 0)) |
| ב | t = 4.5 |
| ג | x²4.5 + y²2.25 = 1, כלומר x² + 2y² = 4.5 (מעגל II: x² + y² = 4.5) |
| ד | 3 + 3√2 ≈ 7.24 (K(1.5 , 0), F(−1.5 , 0), CK + CF = 2a = 3√2, KF = 3) |
| ה | לא. השטח הוא 1.5|yC| ו-|yC| ≤ 1.5, ולכן השטח לכל היותר 2.25 < 3 |
שאלה 2 33⅓ נקודות
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, מאונכות, מישור המקביל למקצוע
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | SM = (12)u + (12)v − w |
| ב | הוכחה: DB = u − v, ו-w·u = w·v = 0 (SA גובה). SM · DB = (12)(|u|² − |v|²) = 0, ולכן |u| = |v| |
| ג | D(3 , 4 , 0), C(3 , 9 , 0) (p = 4) |
| ד | 18x − 6y + 5z = 0 |
| ה(I) | הטענה נכונה. K(0 , 2.5 , 3) אמצע SB, M(1.5 , 4.5 , 0), KM = (1.5 , 2 , −3) = (12)·SD, ו-K אינה על SD |
| ה(II) | הטענה נכונה. ישר המאונך למישור ACK מקביל לנורמל (18 , −6 , 5), ו-(18 , −6 , 5) · (3 , 4 , −6) = 0 |
שאלה 3 33⅓ נקודות
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי, משוואה ריבועית, ריבוע מסובב ושורשי zⁿ = b
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x + y = 2, כלומר y = −x + 2 |
| ב | z = 2 ו-z = 2i, כלומר A(2 , 0), B(0 , 2); שתיהן מקיימות x + y = 2 |
| ג(1) | b = 256, α = 45° (C = −2, D = −2i) |
| ג(2) | n = 24, b = 2²⁴ = 16,777,216 (כל כפולה של 24 מתאימה, עם b = 2ⁿ) |
פרק שני
שאלה 4 33⅓ נקודות
פונקצייה מעריכית עם פרמטר, זיהוי גרפים, g = 1f + 2 והשוואת אינטגרלים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | a > 0: x ≠ ln a; a < 0: כל x |
| א(2) | בשני המקרים: y = 0 (כש-x שואף למינוס אינסוף) ו-y = −1 (כש-x שואף לאינסוף) |
| א(3) | a > 0: עולה ב-x < ln a וב-x > ln a, אין ירידה; a < 0: יורדת לכל x, אין עלייה (f′(x) = a·eˣ/(a − eˣ)²) |
| ב | a = 3: גרף II; a = −3: גרף III |
| ג(1) | x ≠ ln 3 וגם x ≠ ln 6 |
| ג(2) | x = ln 6; y = 12 (כש-x שואף למינוס אינסוף), y = 1 (כש-x שואף לאינסוף). ב-x = ln 3 אין אסימפטוטה, יש נקודה ריקה (ln 3 , 0) |
| ד | סקיצה: g יורדת בכל ענף (g′ = −3eˣ/(6 − eˣ)²). משמאל מתחת ל-y = 12, דרך (0 , 0.4), נקודה ריקה (ln 3 , 0), יורדת למינוס אינסוף ליד x = ln 6; מימין יורדת מאינסוף ומתקרבת ל-y = 1 מלמעלה. אין חיתוך עם ציר ה-x |
| ה | הטענה אינה נכונה. ב-[−4 , −2] מתקיים 0 < g < 12 ולכן האינטגרל קטן מ-1; ב-[2 , 3] מתקיים g > 1 ולכן האינטגרל גדול מ-1 |
שאלה 5 33⅓ נקודות
הפונקצייה ln(xⁿ), זיהוי גרף, g = f² − 4 ושטח מתחת ל-g′g
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≠ 0 |
| א(2) | גרף II (f זוגית: f(−x) = f(x), ושואפת למינוס אינסוף ליד x = 0) |
| ב(1) | (−e , 0), (−1e , 0), (1e , 0), (e , 0) |
| ב(2) | שתי נקודות מינימום: (−1 , −4) ו-(1 , −4) (g′(x) = 4·ln(x²)x) |
| ג | סקיצה: g זוגית, אסימפטוטה אנכית x = 0 (עולה לאינסוף משני צדדיה), מינימומים (±1 , −4), חיתוכים ב-±1e וב-±e, ושואפת לאינסוף כש-|x| שואף לאינסוף |
| ד(1) | x > 0, x ≠ 1e, x ≠ e |
| ד(2) | ln(83) ≈ 0.98 יחידות שטח (ln g(e³) − ln g(e²) = ln 32 − ln 12) |