הפתרון המלא · מתמטיקה ב׳ · שאלון 35572 · קיץ, מועד א׳ תשפ״ה 2025

לפני שמתחילים

בשאלון שני פרקים ובהם חמש שאלות. הפרק הראשון, שאלות 1 עד 3, עוסק בגאומטרייה אנליטית, בווקטורים ובמספרים מרוכבים. הפרק השני, שאלות 4 ו-5, עוסק בפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על שלוש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, והשאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים. מי שעונה על יותר משלוש שאלות, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת.

משך הבחינה שעתיים וארבעים וחמש דקות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות ל-5 יחידות לימוד. גם כשהחישוב נעשה במחשבון, כותבים במחברת את כל השלבים ומסבירים אותם.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נוטים לטעות.

פרק ראשון, גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים

שאלה 1, מעגל, מקום גאומטרי ואליפסה (33⅓ נקודות)

הנתונים. משוואת מעגל I היא x² − 6x + y² + t = 0, ו-t פרמטר קטן מ-9.

סעיף א: הרדיוס

נשלים לריבוע את האיברים של x:

x² − 6x + 9 + y² = 9 − t

(x − 3)² + y² = 9 − t

מרכז המעגל (3 , 0). התנאי t < 9 מבטיח שאגף ימין חיובי, כלומר שזה באמת מעגל.

R = √9 − t.

סעיף ב: הערך של t

ישר משיק למעגל כאשר המרחק ממרכז המעגל אל הישר שווה לרדיוס. נכתוב את הישר y = x בצורה x − y = 0, ונחשב את המרחק מן המרכז (3 , 0):

d = |3 − 0| / √1² + (−1)² = 3√2

נשווה לרדיוס ונעלה בריבוע:

9 − t = (3√2)² = 92 = 4.5

t = 4.5

t = 4.5. (אז R = √4.5 = 3√2 ≈ 2.12.)

סעיף ג: המקום הגאומטרי של P

מעגל II הוא מעגל I אחרי הזזה שמאלה עד שהמרכז בראשית. הרדיוס לא משתנה, ולכן:

מעגל II: x² + y² = 4.5

נסמן את הנקודה A על מעגל II ב-A(x_A , y_A). כלומר x_A² + y_A² = 4.5.

המיתר AB. המיתר מאונך לציר ה-y, כלומר הוא אופקי. הנקודה B נמצאת על אותו גובה y_A, והמעגל סימטרי ביחס לציר ה-y, ולכן B(−x_A , y_A). אורך המיתר:

AB = 2|x_A|

הנקודה P. P על המיתר, ולכן גם היא בגובה y_A. נסמן P(x , y), ואז y = y_A. התנאי AB = 2·PO נותן:

PO = AB2 = |x_A|

PO² = x_A² = 4.5 − y_A² = 4.5 − y²

מצד שני, PO הוא המרחק של P מן הראשית, ולכן PO² = x² + y². נשווה:

x² + y² = 4.5 − y²

x² + 2y² = 4.5

נחלק ב-4.5:

x²4.5 + y²2.25 = 1

זו משוואה של אליפסה שמרכזה בראשית, עם a² = 4.5 ו-b² = 2.25, והציר הגדול על ציר ה-x.

שתי בדיקות קטנות שמראות שהבנייה תקינה:

למה התחום −1.5 ≤ y_A ≤ 1.5? לפי המשוואה x² = 4.5 − 2y², ויש לה פתרון רק כאשר y² ≤ 2.25, כלומר |y| ≤ 1.5. בדיוק בתחום הזה יש נקודה P.
P באמת על המיתר. x² = 4.5 − 2y² קטן או שווה ל-4.5 − y² = x_A², ולכן |x| ≤ |x_A|, והנקודה נמצאת בין A ל-B.

המקום הגאומטרי של P נמצא על האליפסה x²4.5 + y²2.25 = 1, כלומר x² + 2y² = 4.5.

סעיף ד: היקף המשולש CKF

נמצא את המוקדים של האליפסה:

a²= 4.5 → a = √4.5 = 3√2 = 1.5√2 ≈ 2.12b²= 2.25 → b = 1.5c²= a² − b² = 4.5 − 2.25 = 2.25 → c = 1.5

K(1.5 , 0) הוא המוקד הימני, ו-F(−1.5 , 0) הוא המוקד השמאלי.

לפי ההגדרה של אליפסה, סכום המרחקים של כל נקודה עליה משני המוקדים שווה ל-2a:

CK + CF = 2a = 3√2

הצלע השלישית היא המרחק בין המוקדים:

KF = 2c = 3

היקף = CK + CF + KF = 3√2 + 3

היקף המשולש CKF הוא 3 + 3√2 ≈ 7.24, והוא אינו תלוי במיקום של C.

סעיף ה: האם השטח יכול להיות 3?

ניקח את KF כבסיס. הוא מונח על ציר ה-x, ולכן הגובה אליו מן הקודקוד C הוא |y_C|:

S = (12) × KF × |y_C| = (12) × 3 × |y_C| = 1.5|y_C|

על האליפסה |y_C| ≤ b = 1.5, והערך הגדול ביותר מתקבל בקצות הציר הקטן, (0 , ±1.5). לכן:

S ≤ 1.5 × 1.5 = 2.25 < 3

לא. השטח הגדול ביותר של המשולש CKF הוא 2.25, ולכן אין נקודה C שבעבורה השטח 3.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ג מציבים לפעמים x_A במקום x. הנקודה P אינה A: היא חולקת עם A רק את שיעור ה-y. מן A לוקחים רק את אורך המיתר, ואת שיעור ה-x של P מוצאים מן התנאי AB = 2·PO.

שאלה 2, פירמידה שבסיסה מקבילית (33⅓ נקודות)

הנתונים. SABCD פירמידה, הבסיס ABCD מקבילית, SA גובה הפירמידה, M אמצע האלכסון BD. מסמנים AB = u, AD = v, AS = w (וקטורים).

סעיף א: הווקטור SM

נלך מ-S אל A, ומשם אל M. כדי להגיע מ-A אל M נלך אל B ומשם חצי דרך לאורך BD:

BD= AD − AB = v − uAM= AB + (12)BD = u + (12)(v − u) = (12)u + (12)v

SM = SA + AM = −w + (12)u + (12)v

SM = (12)u + (12)v − w.

סעיף ב: הוכחה ש-|u| = |v|

נתון ש-SM מאונך ל-DB, ולכן המכפלה הסקלרית שלהם 0. נכתוב את DB:

DB = AB − AD = u − v

SA הוא גובה הפירמידה, ולכן הוא מאונך למישור הבסיס ולכל ישר שבו, ובפרט ל-AB ול-AD:

w · u = 0 , w · v = 0

נכפול:

SM · DB= ((12)u + (12)v − w) · (u − v)= (12)u·u − (12)u·v + (12)v·u − (12)v·v − w·u + w·v= (12)|u|² − (12)|v|² − 0 + 0

האיברים (12)u·v מתבטלים זה עם זה. נשווה ל-0:

(12)(|u|² − |v|²) = 0 → |u|² = |v|² → |u| = |v|

הוכחנו ש-|u| = |v|, כלומר AB = AD, והבסיס הוא בעצם מעוין.

סעיף ג: הנקודות D ו-C

u= AB = B − A = (0 , 5 , 0) |u| = 5v= AD = D − A = (3 , p , 0) |v| = √9 + p²

לפי סעיף ב:

√9 + p² = 5 → 9 + p² = 25 → p² = 16 → p = 4 (נתון p > 0)

D(3 , 4 , 0).

במקבילית ABCD מתקיים AC = AB + AD, ולכן:

C = A + u + v = (0 + 0 + 3 , 0 + 5 + 4 , 0) = (3 , 9 , 0)

C(3 , 9 , 0).

בדיקה: DC = (3 − 3 , 9 − 4 , 0) = (0 , 5 , 0) = AB. ובדיקה של הנתון: M(1.5 , 4.5 , 0), SM = (1.5 , 4.5 , −6), DB = (−3 , 1 , 0), והמכפלה −4.5 + 4.5 + 0 = 0. מתקיים.

סעיף ד: משוואת המישור

המישור מכיל את AC ומקביל ל-SD, ולכן שני הווקטורים האלה הם וקטורי כיוון שלו:

AC= C − A = (3 , 9 , 0)SD= D − S = (3 , 4 , −6)

נחפש וקטור נורמל n = (a , b , c) המאונך לשניהם:

3a + 9b = 0 → a = −3b

3a + 4b − 6c = 0 → −9b + 4b − 6c = 0 → c = −5b6

נבחר b = −6, ונקבל a = 18, c = 5:

n = (18 , −6 , 5)

המישור עובר דרך A(0 , 0 , 0), ולכן המקדם החופשי 0:

18x − 6y + 5z = 0

בדיקה: C נותנת 54 − 54 + 0 = 0. והנקודה S אינה על המישור (18·0 − 6·0 + 5·6 = 30), כך ש-SD אכן מקביל למישור ולא מונח בו.

משוואת המישור: 18x − 6y + 5z = 0.

סעיף ה: שתי הטענות

קודם נמצא את K, נקודת החיתוך של המישור עם המקצוע SB. נקודה על SB:

(0 , 0 , 6) + s(0 , 5 , −6) = (0 , 5s , 6 − 6s) , 0 ≤ s ≤ 1

נציב במשוואת המישור:

18·0 − 6·5s + 5(6 − 6s) = 0

−30s + 30 − 30s = 0

s = 0.5

K(0 , 2.5 , 3), אמצע המקצוע SB. המישור ACK הוא המישור שמצאנו בסעיף ד.

טענה I: הישר KM מקביל לישר SD. הטענה נכונה.

M = (1.5 , 4.5 , 0)

KM = M − K = (1.5 , 2 , −3) = (12)(3 , 4 , −6) = (12)·SD

וקטורי הכיוון פרופורציוניים. K אינה על הישר SD (נקודה על SD היא (3t , 4t , 6 − 6t), ו-x = 0 מחייב t = 0, כלומר S, ו-S שונה מ-K), ולכן אלה שני ישרים שונים ומקבילים. אפשר לראות זאת גם בלי חישוב: K אמצע SB ו-M אמצע BD, ולכן KM קטע אמצעים במשולש SBD, והוא מקביל לצלע השלישית SD.

טענה II: כל ישר שמאונך למישור ACK מאונך לישר SD. הטענה נכונה.

ישר שמאונך למישור, וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל n = (18 , −6 , 5). נבדוק:

n · SD = 18·3 + (−6)·4 + 5·(−6) = 54 − 24 − 30 = 0

לכן כל ישר כזה מאונך ל-SD. זה לא מקרה: SD מקביל למישור (כך בנינו אותו), והנורמל מאונך לכל כיוון שמקביל למישור.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב שוכחים לנמק למה w·u ו-w·v מתאפסים. הנימוק הוא ש-SA גובה, כלומר מאונך למישור הבסיס. בלי המשפט הזה ההוכחה חסרה.

שאלה 3, מספרים מרוכבים (33⅓ נקודות)

סעיף א: המקום הגאומטרי |z| = |z − (2 + 2i)|

|z| הוא המרחק של z מן הראשית, ו-|z − (2 + 2i)| הוא המרחק של z מן הנקודה (2 , 2). נציב z = x + iy:

x² + y²= (x − 2)² + (y − 2)²x² + y²= x² − 4x + 4 + y² − 4y + 4

0 = −4x − 4y + 8

x + y = 2

y = −x + 2. זה האנך האמצעי לקטע שבין הראשית לנקודה (2 , 2).

סעיף ב: הפתרונות של z² − (2 + 2i)z + 4i = 0

לפי נוסחת השורשים, נחשב את הדיסקרימיננטה:

Δ = (2 + 2i)² − 4 × 4i = (4 + 8i − 4) − 16i = −8i

נחפש מספר w = a + bi שריבועו −8i:

a² − b² = 0 , 2ab = −8

מן המשוואה הראשונה a = ±b, ומן השנייה a ו-b בעלי סימנים הפוכים. לכן b = −a, ומהמשוואה השנייה −2a² = −8, כלומר a = ±2. מכאן w = ±(2 − 2i).

z= [(2 + 2i) + (2 − 2i)] / 2 = 42 = 2z= [(2 + 2i) − (2 − 2i)] / 2 = 4i2 = 2i

בדיקה לפי וייטה: 2 + 2i הוא סכום הפתרונות, ו-2 × 2i = 4i הוא המכפלה. מתקיים.

A(2 , 0) ו-B(0 , 2), כלומר z = 2 ו-z = 2i. נציב במשוואת המקום מסעיף א:

A: 2 + 0= 2 ✓B: 0 + 2= 2 ✓

שתי הנקודות על הישר x + y = 2.

סעיף ג: הריבוע והמשוואה zⁿ = b

הנקודות C ו-D. הצלע AB היא הווקטור (−2 , 2). ריבוע ABCD מתקבל כשמוסיפים ל-B ול-A וקטור מאונך באותו אורך, (2 , 2) או (−2 , −2):

עם (2 , 2): C(2 , 4), D(4 , 2). אף אחת מהן אינה על ציר.
עם (−2 , −2): C(−2 , 0), D(0 , −2). שתיהן על הצירים.

לכן C = −2 ו-D = −2i. ארבעת הקודקודים 2, 2i, −2, −2i נמצאים כולם במרחק 2 מן הראשית, בזוויות 0°, 90°, 180°, 270°:

2cis0° , 2cis90° , 2cis180° , 2cis270°

סיבוב סביב הראשית בזווית α נגד כיוון השעון מוסיף α לזווית ואינו משנה את הגודל. ארבע הנקודות החדשות:

2cis α , 2cis(90° + α) , 2cis(180° + α) , 2cis(270° + α)

מכיוון ש-0° < α < 90°, אלה ארבע נקודות חדשות, וסך הכול שמונה נקודות שונות.

(1) n = 8. הנקודה z = 2 היא פתרון, ולכן:

b = 2⁸ = 256

הפתרונות של z⁸ = 256 הם שמונה מספרים בגודל 2, במרווחים שווים של 360°/8 = 45°:

z = 2cis(45°k) , k = 0 , 1 , … , 7

למשוואה יש בדיוק שמונה פתרונות, ושמונה הנקודות שלנו הן פתרונות שונים, ולכן הן כל הפתרונות. הנקודה 2cis α, עם 0° < α < 90°, חייבת להיות 2cis45°.

b = 256, α = 45°.

(2) α = 15°. שוב z = 2 פתרון, ולכן b = 2ⁿ (מספר חיובי). הפתרונות של zⁿ = 2ⁿ הם:

z = 2cis(360°k/n) , k = 0 , 1 , … , n − 1

כלומר הזוויות הן כל הכפולות של 360°/n. שמונה הנקודות נמצאות בזוויות

0° , 15° , 90° , 105° , 180° , 195° , 270° , 285°

הזווית 15° צריכה להיות כפולה של 360°/n: 15 = 360kn, כלומר n = 24k. ננסה n = 24: המרווח בין הפתרונות 360°/24 = 15°, וכל שמונה הזוויות הן כפולות של 15°. מתאים.

n = 24, b = 2²⁴ = 16,777,216. (גם כל כפולה של 24 מתאימה, עם b = 2ⁿ.)

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ג(1) יש מי שבוחרים b = −256 או מנחשים α בלי נימוק. הצעד שסוגר הכול הוא ש-2 כבר פתרון, ולכן b = 2ⁿ, וכל הפתרונות בגודל 2 ובמרווחים שווים.

פרק שני, גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, פונקצייה מעריכית עם פרמטר (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = eˣ/(a − eˣ), ו-a פרמטר שונה מ-0.

סעיף א

(1) תחום ההגדרה. צריך ש-a − eˣ ≠ 0, כלומר eˣ ≠ a.

a > 0: eˣ = a כאשר x = ln a. התחום: x ≠ ln a.
a < 0: eˣ חיובי תמיד, ולכן eˣ ≠ a לכל x. התחום: כל x.

(2) אסימפטוטות המאונכות לציר ה-y (אופקיות). נבדוק את שני הקצוות:

כאשר x שואף למינוס אינסוף, eˣ שואף ל-0, ולכן f(x) שואפת ל-0a − 0 = 0.
כאשר x שואף לאינסוף, נחלק את המונה ואת המכנה ב-eˣ:

f(x) = 1 / (a·e^−x − 1) → 10 − 1 = −1

בשני המקרים (a > 0 ו-a < 0): y = 0 (כש-x שואף למינוס אינסוף) ו-y = −1 (כש-x שואף לאינסוף).

(3) עלייה וירידה. נגזור לפי כלל המנה:

f′(x)= [eˣ(a − eˣ) − eˣ·(−eˣ)] / (a − eˣ)²= [a·eˣ − e²ˣ + e²ˣ] / (a − eˣ)²= a·eˣ / (a − eˣ)²

eˣ חיובי והמכנה ריבוע חיובי (בתחום), ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של a.

a > 0: f′ > 0. f עולה בתחום x < ln a ובתחום x > ln a. אין תחום ירידה.
a < 0: f′ < 0. f יורדת לכל x. אין תחום עלייה.

סעיף ב: זיהוי הגרפים

a = 3. יש אסימפטוטה אנכית x = ln 3 ≈ 1.1, כלומר מימין לציר ה-y, והפונקצייה עולה בשני הענפים. גם f(0) = 13 − 1 = 0.5 > 0.

III נפסל: אין בו אסימפטוטה אנכית.
IV נפסל: האסימפטוטה האנכית שלו משמאל לציר ה-y.
I נפסל: שני הענפים שלו יורדים, והוא חותך את ציר ה-y מתחת לציר ה-x.
II מתאים: האסימפטוטה מימין לציר ה-y, שני הענפים עולים, הענף השמאלי יוצא מסביבת y = 0 ועולה לאינסוף, והענף הימני עולה ממינוס אינסוף אל אסימפטוטה שלילית.

בעבור a = 3: גרף II.

a = −3. הפונקצייה מוגדרת לכל x, ולכן אין לה אסימפטוטה אנכית. היא יורדת כל הזמן מ-y = 0 אל y = −1, ו-f(0) = 1−3 − 1 = −0.25. גרף III הוא היחיד בלי אסימפטוטה אנכית, והוא אכן יורד מסביבת ציר ה-x אל ערך שלילי.

בעבור a = −3: גרף III.

סעיף ג: הפונקצייה g(x) = 1f(x) + 2, עם a = 3

עכשיו f(x) = eˣ/(3 − eˣ). נפשט את המכנה של g:

f(x) + 2 = [eˣ + 2(3 − eˣ)] / (3 − eˣ) = (6 − eˣ) / (3 − eˣ)

(1) תחום ההגדרה. שני תנאים:

f צריכה להיות מוגדרת: eˣ ≠ 3, כלומר x ≠ ln 3.
f(x) + 2 ≠ 0: 6 − eˣ ≠ 0, כלומר x ≠ ln 6.

התחום: x ≠ ln 3 וגם x ≠ ln 6.

בתחום הזה:

g(x) = (3 − eˣ) / (6 − eˣ)

(2) אסימפטוטות המאונכות לצירים.

ב-x = ln 6 המכנה מתאפס והמונה 3 − 6 = −3 שונה מ-0, ולכן יש אסימפטוטה אנכית.
ב-x = ln 3 המונה מתאפס, והביטוי שואף ל-03 = 0, מספר סופי. לכן אין שם אסימפטוטה, יש רק נקודה ריקה (ln 3 , 0).
כאשר x שואף למינוס אינסוף, eˣ שואף ל-0, ו-g(x) שואפת ל-36 = 12.
כאשר x שואף לאינסוף, נחלק ב-eˣ: 3e^−x − 16e^−x − 1 שואף ל-−1−1 = 1.

האסימפטוטות: x = ln 6, y = 12 (כש-x שואף למינוס אינסוף), y = 1 (כש-x שואף לאינסוף).

סעיף ד: סקיצה של g

נאסוף נתונים.

הנגזרת.

g′(x)= [−eˣ(6 − eˣ) − (3 − eˣ)(−eˣ)] / (6 − eˣ)²= [−6eˣ + e²ˣ + 3eˣ − e²ˣ] / (6 − eˣ)²= −3eˣ / (6 − eˣ)²

g′ < 0 בכל התחום, ולכן g יורדת בכל אחד מקטעי התחום.

חיתוכים. g(0) = 3 − 16 − 1 = 0.4, הנקודה (0 , 0.4). הביטוי מתאפס רק כאשר eˣ = 3, וזו נקודה שאינה בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-x, יש נקודה ריקה (ln 3 , 0) ≈ (1.1 , 0).

מיקום ביחס לאסימפטוטות.

g(x) − 12 = −eˣ / (2(6 − eˣ)) שלילי עבור x < ln 6

g(x) − 1 = −3 / (6 − eˣ) חיובי עבור x > ln 6

הסקיצה:

x < ln 6: הגרף מתחיל משמאל סמוך ל-y = 12 ומתחתיו, יורד דרך (0 , 0.4), מגיע לנקודה הריקה (ln 3 , 0) ≈ (1.1 , 0), ממשיך לרדת מתחת לציר ה-x ושואף למינוס אינסוף כשמתקרבים ל-x = ln 6 ≈ 1.79 משמאל.
x > ln 6: הגרף יורד מאינסוף ליד x = ln 6 ומתקרב מלמעלה ל-y = 1.

סעיף ה: האם ∫ g(x)dx מ-−4 עד −2 גדול מ-∫ g(x)dx מ-2 עד 3?

הטענה אינה נכונה. אפשר להכריע בלי לחשב את האינטגרלים, רק מן המיקום של הגרף.

הקטע −4 ≤ x ≤ −2. הוא משמאל ל-ln 3, ושם 0 < g(x) < 12 (סעיף ד). אורך הקטע 2, ולכן:

∫ g(x)dx (מ-−4 עד −2) < 2 × (12) = 1

הקטע 2 ≤ x ≤ 3. הוא מימין ל-ln 6 ≈ 1.79, ושם g(x) > 1. אורך הקטע 1, ולכן:

∫ g(x)dx (מ-2 עד 3) > 1 × 1 = 1

האינטגרל השמאלי קטן מ-1 והימני גדול מ-1, ולכן השמאלי קטן מן הימני. הטענה אינה נכונה. (לשם השוואה בלבד: ערכי האינטגרלים בקירוב 0.99 ו-1.66.)

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג(2) רבים כותבים x = ln 3 כאסימפטוטה, כי שם f עצמה מתפוצצת. אבל כש-f שואפת לאינסוף, 1f + 2 שואפת ל-0. שם יש נקודה ריקה, לא אסימפטוטה.

שאלה 5, פונקצייה לוגריתמית (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = ln(xⁿ), ו-n מספר טבעי זוגי.

סעיף א

(1) תחום ההגדרה. צריך xⁿ > 0. n זוגי, ולכן xⁿ = (x^n/2)², וזה חיובי לכל x ≠ 0 ומתאפס ב-x = 0.

התחום: x ≠ 0.

(2) זיהוי הגרף. הפונקצייה זוגית:

f(−x) = ln((−x)ⁿ) = ln(xⁿ) = f(x)

ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה-y, ויש לו ענף גם עבור x < 0. נוסף על כך f(x) = n·ln|x|, ולכן כאשר x שואף ל-0 מכל צד f שואפת למינוס אינסוף.

III ו-IV נפסלים: הם קיימים רק מימין לציר ה-y.
I נפסל: אינו סימטרי ביחס לציר ה-y (הענף השמאלי שלו עולה, ולא יורד).
II מתאים: שני ענפים סימטריים, ושניהם יורדים למינוס אינסוף ליד ציר ה-y.

גרף II.

סעיף ב: g(x) = (f(x))² − 4, עם n = 2

עכשיו f(x) = ln(x²), ו-g(x) = (ln(x²))² − 4.

(1) חיתוך עם ציר ה-x.

(ln(x²))² = 4 → ln(x²) = 2 או ln(x²) = −2

ln(x²)= 2 → x² = e² → x = ±eln(x²)= −2 → x² = 1e² → x = ±1e

הנקודות (−e , 0), (−1e , 0), (1e , 0), (e , 0).

(2) נקודות קיצון. לפי כלל השרשרת, ובעזרת (ln(x²))′ = 2xx² = 2x:

g′(x) = 2·ln(x²) · (2x) = 4·ln(x²) / x

g′ = 0 כאשר ln(x²) = 0, כלומר x² = 1, x = ±1. בשתי הנקודות g = 0 − 4 = −4.

הסימן של g′ נקבע לפי הסימן של ln(x²) והסימן של x:

x	x < −1	−1	−1 < x < 0	0 < x < 1	1	x > 1
ln(x²)	+	0	−	−	0	+
x	−		−	+		+
g′(x)	−	0	+	−	0	+
g(x)	יורדת	מינימום	עולה	יורדת	מינימום	עולה

שתי נקודות מינימום: (−1 , −4) ו-(1 , −4). אין נקודת מקסימום.

סעיף ג: סקיצה של g

g זוגית (כמו f), ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה-y.
כאשר x שואף ל-0, ln(x²) שואף למינוס אינסוף, והריבוע שלו לאינסוף. x = 0 אסימפטוטה אנכית, והגרף עולה לאינסוף משני צדדיה.
כאשר |x| שואף לאינסוף, גם g שואפת לאינסוף. אין אסימפטוטה אופקית.

הסקיצה (צורה של W עם אסימפטוטה באמצע): מימין לציר ה-y הגרף יורד מאינסוף ליד x = 0, חותך את ציר ה-x ב-(1e , 0) ≈ (0.37 , 0), מגיע למינימום (1 , −4), עולה וחותך שוב ב-(e , 0) ≈ (2.72 , 0), וממשיך לעלות לאינסוף. משמאל לציר ה-y התמונה הסימטרית: מינימום (−1 , −4) וחיתוכים ב-(−1e , 0) וב-(−e , 0).

סעיף ד: k(x) = g′(x)/g(x), עבור x > 0

(1) תחום ההגדרה. g′ מוגדרת לכל x > 0, וצריך ש-g(x) ≠ 0. האפסים של g בתחום x > 0 הם 1e ו-e (סעיף ב(1)).

התחום: x > 0, x ≠ 1e, x ≠ e.

(2) השטח בין x = e² ל-x = e³. הקטע e² ≤ x ≤ e³ (בערך 7.39 עד 20.09) נמצא בתוך התחום, מימין ל-e. נבדוק את הסימן של k שם. עבור x > 0, ln(x²) = 2ln x, ובקטע 2 ≤ ln x ≤ 3:

g(x) = 4(ln x)² − 4 ≥ 4·4 − 4 = 12 > 0

g′(x) = 8·ln x / x > 0

לכן k(x) > 0 בקטע, והשטח שווה לאינטגרל. המונה הוא הנגזרת של המכנה, ולכן הפונקצייה הקדומה היא ln|g(x)|:

S = ∫ g′(x)/g(x) dx (מ-e² עד e³) = ln g(e³) − ln g(e²)

נחשב את הערכים:

g(e²)= (ln e⁴)² − 4 = 4² − 4 = 12g(e³)= (ln e⁶)² − 4 = 6² − 4 = 32

S = ln 32 − ln 12 = ln(3212) = ln(83)

S = ln(83) ≈ 0.98 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(2) בוחרים לפעמים את IV, כי "ln" נראה כך. אבל xⁿ עם n זוגי מוגדר גם לשליליים, והפונקצייה זוגית. בסעיף ד(2) כדאי לזהות מיד את המבנה g′g: האינטגרל הוא ln|g|, בלי שום פירוק.

התשובות בקצרה

שאלה	סעיף	התשובה
1	א	R = √9 − t
1	ב	t = 4.5
1	ג	x²4.5 + y²2.25 = 1, כלומר x² + 2y² = 4.5
1	ד	3 + 3√2 ≈ 7.24
1	ה	לא: השטח לכל היותר 2.25
2	א	SM = (12)u + (12)v − w
2	ב	הוכחה: SM · DB = (12)(u² − v²) = 0, ולכן AB = AD
2	ג	D(3 , 4 , 0), C(3 , 9 , 0)
2	ד	18x − 6y + 5z = 0
2	ה(I)	נכונה: KM = (12)·SD, ו-K(0 , 2.5 , 3) אינה על SD
2	ה(II)	נכונה: n · SD = 0
3	א	x + y = 2
3	ב	z = 2, z = 2i; שתיהן מקיימות x + y = 2
3	ג(1)	b = 256, α = 45°
3	ג(2)	n = 24, b = 2²⁴ = 16,777,216
4	א(1)	a > 0: x ≠ ln a; a < 0: כל x
4	א(2)	בשני המקרים y = 0 (במינוס אינסוף), y = −1 (באינסוף)
4	א(3)	a > 0: עולה ב-x < ln a וב-x > ln a; a < 0: יורדת לכל x
4	ב	a = 3: גרף II; a = −3: גרף III
4	ג(1)	x ≠ ln 3, x ≠ ln 6
4	ג(2)	x = ln 6, y = 12, y = 1
4	ד	סקיצה: יורדת בשני הענפים, דרך (0 , 0.4), נקודה ריקה (ln 3 , 0)
4	ה	הטענה אינה נכונה: השמאלי קטן מ-1, הימני גדול מ-1
5	א(1)	x ≠ 0
5	א(2)	גרף II
5	ב(1)	(±e , 0), (±1e , 0)
5	ב(2)	מינימום (−1 , −4) ו-(1 , −4)
5	ג	סקיצה: זוגית, אסימפטוטה x = 0, מינימומים (±1 , −4)
5	ד(1)	x > 0, x ≠ 1e, x ≠ e
5	ד(2)	ln(83) ≈ 0.98