התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35572 · חורף · תשפ״ה · 2025
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים
שאלה 1 33⅓ נקודות
מעגל שהקטע AB קוטר שלו, שטח מרבי, פרבולה קנונית ומשיקים מקבילים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | (x − 16a)² + y² = 625a², בלי הנקודות A ו-B. זה המעגל שהקוטר שלו AB: מרכזו (16a , 0) ורדיוסו 25a |
| ב | a = ½. השטח הגדול ביותר הוא ½ × 50a × 25a = 625a², כשהגובה שווה לרדיוס |
| ג | C(4.5 , 12). המעגל (x − 8)² + y² = 156.25, והפרבולה y² = 32x (המוקד (8 , 0)) |
| ד | 2.5 או 22.5. הישר ℓ: y = (43)x + 6; המשיקים המקבילים למעגל: 4x − 3y + 30.5 = 0 ו-4x − 3y − 94.5 = 0 |
שאלה 2 33⅓ נקודות
פירמידה משולשת: ניצבות בווקטורים, קודקודים, ישר מקביל ונקודת חיתוך עם מישור, יחס נפחים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה: מ-|u + v|² = |u − v|² מקבלים 4u·v = 0, ולכן AE מאונך ל-EC, כלומר ל-BC |
| ב | C(10 , 0 , 0), S(8 , 4 , 16) |
| ג(1) | x = (8.5 , 3 , 12) + t(1 , 0 , 0), כאשר F(8.5 , 3 , 12) |
| ג(2) | M(6 , 3 , 12). המישור ABS: 16x − 12y − 5z = 0 |
| ד | פי 2. לשתי הפירמידות גובה 12 מעל מישור הבסיס z = 0, ושטח ABC כפול משטח AEC (AE תיכון). הנפחים 160 ו-80 |
שאלה 3 33⅓ נקודות
מספרים מרוכבים: w ו-1w, שטח משולש, שורשים מסדר 8 ומצולע משוכלל
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 1w = (1r)(cos(360° − θ) + i·sin(360° − θ)), כלומר הגודל 1r והזווית −θ |
| ב | θ = 157.5°. ∢AOB = 360° − 2θ, השטח ½ sin(360° − 2θ) = √24, והזווית החדה היא 45° |
| ג(1) | 16 קודקודים. פתרונות I בזוויות 22.5° + 45°k, פתרונות II בזוויות 45°k, ואין פתרון משותף |
| ג(2) | כן. בשתי המשוואות |z|⁸ = r⁸, ולכן |z| = r: כל הקודקודים על המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו r |
| ד | r ≈ 4.5. שטח המצולע המשוכלל 8r² sin 22.5° = 62, ולכן r² ≈ 20.25 |
פרק שני: גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 4 33⅓ נקודות
הפונקצייה eˣ − 11 − eˣ: חקירה, פונקצייה קדומה דרך g ושטח עם פרמטר
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x = 0 (אנכית) ו-y = −1 (אופקית, כש-x שואף למינוס אינסוף) |
| א(2) | אין. x = 0 לא בתחום, והמשוואה f(x) = 0 מובילה ל-t² − t + 1 = 0 (t = eˣ), שאין לה פתרון |
| א(3) | נקודת מינימום (ln 2 , 3) |
| ב | סקיצה: ענף שמאלי מתחת ל-y = −1, יורד ממנה למינוס אינסוף ליד x = 0; ענף ימני יורד מאינסוף ליד x = 0 למינימום (ln 2 , 3) ועולה לאינסוף. אין חיתוך עם הצירים |
| ג(1) | x > 0 |
| ג(2) | הוכחה: g′(x) = −1 + eˣ/(eˣ − 1) = 1eˣ − 1, וגם f(x) − eˣ = 1eˣ − 1 |
| ד | S = b − 2 + ln(2(b − 1)b), מן הפונקצייה הקדומה eˣ − x + ln(eˣ − 1) |
| ה | b = 4 |
שאלה 5 33⅓ נקודות
הפונקצייה a + ln xx עם פרמטר, פונקצייה קדומה והגרף של |h(x)|
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x = 0 (אנכית) ו-y = 0 (אופקית) |
| א(2) | (e−a , 0) |
| א(3) | נקודת מקסימום (e1 − a , ea − 1) |
| ב | סקיצה: עולה ממינוס אינסוף ליד x = 0, חותכת את ציר ה-x ב-(e−a , 0), מקסימום (e1 − a , ea − 1), ואחריו יורדת אל y = 0 מלמעלה |
| ג | a = −1 |
| ד | h(x) = ½(ln x)² − 2 ln x, כלומר ½(ln x − 2)² − 2 |
| ה | גרף I. |h| שואפת לאינסוף ליד x = 0, מתאפסת ב-x = 1 וב-x = e⁴, מגיעה למקסימום 2 ב-x = e² ביניהם, ועולה בלי חסם מימין ל-e⁴. רק גרף I נוגע בציר ה-x פעמיים ועולה בסופו |