מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 5 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו חמש שאלות בשני פרקים: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1 עד 3), וגדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4 ו-5).

עונים על שלוש שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 33⅓ נקודות, ושלוש שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר משלוש שאלות, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים וארבעים וחמש דקות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים

שאלה 1, מעגל על קוטר, פרבולה ומשיקים מקבילים (33⅓ נקודות)

הנתונים. A(−9a , 0) ו-B(41a , 0), כאשר a פרמטר חיובי. הנקודה P מקיימת ∢APB = 90°.

סעיף א: המקום הגאומטרי של P

זווית APB ישרה בדיוק כשהווקטורים PA ו-PB מאונכים זה לזה, כלומר כשהמכפלה הסקלרית שלהם היא אפס. נסמן P(x , y), ונזכור ש-P שונה מ-A ומ-B (אחרת אין זווית).

המכפלה (−9a − x)(41a − x) שווה ל-(x + 9a)(x − 41a). נפתח סוגריים:

נשלים לריבוע. נוסיף 256a² לשני האגפים:

זו משוואת מעגל שמרכזו (16a , 0) ורדיוסו 25a.

כדאי לראות מה קיבלנו: המרכז (16a , 0) הוא בדיוק אמצע הקטע AB, והרדיוס 25a הוא חצי מאורך AB, שהוא 41a + 9a = 50a. זה המעגל שהקטע AB הוא קוטר שלו, וזה מתאים למשפט המוכר: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא זווית ישרה. הנקודות A ו-B עצמן מקיימות את המשוואה, אבל הן לא שייכות למקום הגאומטרי, כי בהן אין משולש.

המקום הגאומטרי: (x − 16a)² + y² = 625a², בלי הנקודות A ו-B.

סעיף ב: הערך של a

במשולש APB הבסיס AB קבוע, ואורכו 50a. הגובה לבסיס הוא המרחק של P מציר ה-x, כלומר |y|. על המעגל, הערך הגדול ביותר של |y| הוא הרדיוס 25a, והוא מתקבל בנקודות (16a , 25a) ו-(16a , −25a). לכן:

נשווה לנתון:

a = ½. זה מתאים להוראה בשאלון להציב a = ½ בסעיפים הבאים.

סעיף ג: הנקודה C

עם a = ½ מקבלים A(−4.5 , 0), B(20.5 , 0), והמעגל הוא:

מרכזו K(8 , 0) ורדיוסו 12.5.

אמצע הקטע AB הוא (8 , 0), והוא מוקד הפרבולה. פרבולה במשוואה קנונית שהמוקד שלה על ציר ה-x היא y² = 2px, והמוקד שלה הוא (p2 , 0). לכן:

עכשיו נחתוך את הפרבולה עם המעגל. נציב y² = 32x במשוואת המעגל:

הדיסקרימיננטה היא 16² + 4 × 92.25 = 256 + 369 = 625, והשורש שלה 25:

הפתרון x = −20.5 נפסל: על הפרבולה y² = 32x, ו-32x שלילי לא יכול להיות ריבוע. נציב x = 4.5:

C ברביע הראשון, ולכן y = 12.

C(4.5 , 12).

בדיקה במעגל: (4.5 − 8)² + 12² = 12.25 + 144 = 156.25.

סעיף ד: המרחק בין הישר ℓ למשיק למעגל

משוואת המשיק לפרבולה y² = 2px בנקודה (x₁ , y₁) שעליה היא y·y₁ = p(x + x₁). נציב p = 16, x₁ = 4.5, y₁ = 12:

כלומר ℓ: 4x − 3y + 18 = 0.

(בדיקה בגזירה: מ-y² = 32x מקבלים 2y·y′ = 32, ולכן y′ = 16y = 1612 = 43.)

משיק למעגל שמקביל ל-ℓ הוא ישר מהצורה 4x − 3y + c = 0. ישר משיק למעגל בדיוק כשהמרחק שלו מן המרכז שווה לרדיוס. המרחק מ-K(8 , 0):

יש שני משיקים כאלה, אחד מכל צד של המעגל. המרחק בין שני ישרים מקבילים 4x − 3y + c₁ = 0 ו-4x − 3y + c₂ = 0 הוא |c₁ − c₂| / 5. בישר ℓ, c = 18:

המרחק הוא 2.5 או 22.5.

בדיקה בדרך אחרת: המרחק של המרכז K מן הישר ℓ הוא |32 + 18| / 5 = 10. הישר ℓ חותך את המעגל (הוא עובר ב-C שעל המעגל), ולכן המרכז במרחק 10 ממנו. המשיק שבאותו צד של המרכז כמו ℓ רחוק מן המרכז 12.5, ולכן רחוק מ-ℓ 12.5 − 10 = 2.5. המשיק שמעבר למרכז רחוק מ-ℓ 12.5 + 10 = 22.5.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א מוצאים מעגל ושוכחים להוציא ממנו את A ואת B. בסעיף ב מחפשים את השטח הגדול ביותר בגזירה, כשמספיק לראות שהגובה הגדול ביותר הוא הרדיוס. בסעיף ג משאירים גם את x = −20.5. ובסעיף ד מוצאים משיק אחד בלבד, או מחשבים את המרחק של ℓ מן המרכז במקום מן המשיק.

שאלה 2, פירמידה משולשת ווקטורים (33⅓ נקודות)

הנתונים. SABC פירמידה משולשת, E אמצע המקצוע BC. מסמנים את הווקטורים u = AE ו-v = EC, ונתון |u + v| = |u − v|.

סעיף א: AE מאונך ל-BC

נעלה את שני האגפים בריבוע. ריבוע האורך של וקטור הוא המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:

u ו-v אינם וקטורי אפס (E שונה מ-A ומ-C), ולכן AE מאונך ל-EC. הווקטור EC נמצא על הישר BC (ובעצם BC = 2EC), ולכן AE מאונך ל-BC. מש"ל.

יש כאן גם משמעות גאומטרית יפה. u + v = AE + EC = AC. ומכיוון ש-E אמצע BC, מתקיים −EC = CE = EB, ולכן u − v = AE + EB = AB. כלומר הנתון אומר ש-AC = AB: המשולש ABC שווה שוקיים, והתיכון AE לבסיס הוא גם הגובה.

סעיף ב: הקודקודים C ו-S

נתון A(0 , 0 , 0), B(6 , 8 , 0), ו-C על החלק החיובי של ציר ה-x, כלומר C(c , 0 , 0) כאשר c > 0. אמצע BC:

נשתמש בסעיף א, AE · BC = 0:

C(10 , 0 , 0). בדיקה: AB = √36 + 64 = 10 = AC, כמו שראינו בסעיף א.

עכשיו E = (8 , 4 , 0). שלושת הקודקודים A, B, C נמצאים במישור z = 0, ולכן זה מישור הבסיס. SE הוא גובה הפירמידה, כלומר הוא מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מקביל לציר ה-z. מכאן S = (8 , 4 , ±16), ושיעור ה-z של S חיובי:

S(8 , 4 , 16).

סעיף ג: הישר FM והנקודה M

(1) קודם הנקודה F:

הישר FM מקביל ל-AC, ו-AC = (10 , 0 , 0). אפשר לקחת וקטור כיוון (1 , 0 , 0):

FM: x = (8.5 , 3 , 12) + t(1 , 0 , 0).

(2) נמצא את משוואת המישור ABS. נחפש וקטור נורמל n = (n₁ , n₂ , n₃) שמאונך ל-AB = (6 , 8 , 0) ול-AS = (8 , 4 , 16):

ניקח n₁ = 4. מהמשוואה הראשונה n₂ = −3, ומהשנייה 32 − 12 + 16n₃ = 0, כלומר n₃ = −54. נכפול ב-4 ונקבל n = (16 , −12 , −5). המישור עובר בראשית A:

בדיקה: ב-B, 96 − 96 − 0 = 0. ב-S, 128 − 48 − 80 = 0.

נציב את הנקודה הכללית של הישר, (8.5 + t , 3 , 12), במשוואת המישור:

M(6 , 3 , 12).

בדיקה: 16 × 6 − 12 × 3 − 5 × 12 = 96 − 36 − 60 = 0.

סעיף ד: היחס בין הנפחים

נפח פירמידה הוא שליש מכפלת שטח הבסיס בגובה. לשתי הפירמידות כדאי לבחור בסיס במישור z = 0: לפירמידה MABC הבסיס ABC והקודקוד M, ולפירמידה FAEC הבסיס AEC והקודקוד F.

הגבהים שווים. הגובה הוא המרחק של הקודקוד ממישור z = 0, כלומר שיעור ה-z שלו. ל-M ול-F אותו שיעור z, 12. זה לא מקרה: הישר FM מקביל ל-AC, שנמצא במישור הבסיס, ולכן כל הנקודות שלו באותו גובה מעל הבסיס.

שטח הבסיס כפול. E אמצע BC, ולכן התיכון AE מחלק את המשולש ABC לשני משולשים שווי שטח: לשניהם אותו גובה מ-A, ובסיסים שווים BE = EC. מכאן S_ABC = 2 × S_AEC.

נפח הפירמידה MABC גדול פי 2 מנפח הפירמידה FAEC.

בדיקה במספרים: BC = (4 , −8 , 0) ו-AE = (8 , 4 , 0), שניהם באורך √80, ומאונכים זה לזה. S_ABC = ½ × √80 × √80 = 40, S_AEC = 20. הנפחים: ⅓ × 40 × 12 = 160, ו-⅓ × 20 × 12 = 80.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א שוכחים לנמק למה u·v = 0 נותן ניצבות ל-BC ולא רק ל-EC. בסעיף ב שמים את S מעל A או מעל מרכז הבסיס, כשהנתון הוא ש-SE הוא הגובה. בסעיף ג(1) לוקחים F = ¼SC, וזו טעות: ¼SC הוא הווקטור SF, ומוסיפים אותו ל-S. ובסעיף ד מחשבים שני נפחים בדטרמיננטות, כשהיחס יוצא מיד מן הגובה המשותף.

שאלה 3, מספרים מרוכבים: w ו-1w, ומצולע של שורשים (33⅓ נקודות)

הנתונים. w = r(cos θ + i·sin θ), כאשר r > 0 ו-90° < θ < 180°.

סעיף א: הצגה קוטבית של 1w

בחילוק מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית מחלקים את הגדלים ומחסירים את הזוויות. המספר 1 הוא 1 × (cos 0° + i·sin 0°), ולכן:

אם רוצים זווית בין 0° ל-360°, מוסיפים 360°:

1w = (1r)(cos(360° − θ) + i·sin(360° − θ)).

הזווית 360° − θ נמצאת בין 180° ל-270°, ברביע השלישי. בדיקה: w × (1w) = r × (1r) בזווית θ + (360° − θ) = 360°, כלומר 1.

סעיף ב: הערך של θ

A מייצגת את w, ולכן OA = r והזווית שלה θ. B מייצגת את 1w, ולכן OB = 1r והזווית שלה 360° − θ. ההפרש בין הזוויות:

כש-90° < θ < 180°, ההפרש הזה בין 0° ל-180°, ולכן הוא בדיוק הזווית AOB במשולש. (A ברביע השני ו-B ברביע השלישי, וציר ה-x החיובי מחוץ לזווית ביניהן.)

נוסחת השטח עם שתי צלעות והזווית שביניהן:

שימו לב ש-r מתבטל: השטח לא תלוי בגודל של w. נשווה לנתון:

יש שתי זוויות בין 0° ל-180° שהסינוס שלהן √22: 45° ו-135°. הזווית AOB חדה, ולכן:

θ = 157.5°, ואכן בין 90° ל-180°.

סעיף ג: המצולע

נציב θ = 157.5° ונפשט את שני אגפי הימין.

1260° = 3 × 360° + 180°, ולכן w⁸ = r⁸ (cos 180° + i·sin 180°) = −r⁸.

ובמשוואה II, w·w̄ = |w|² = r², ולכן (w·w̄)⁴ = r⁸.

משוואה I היא z⁸ = −r⁸, כלומר z⁸ = r⁸ (cos 180° + i·sin 180°). לפי נוסחת השורשים:

משוואה II היא z⁸ = r⁸ (cos 0° + i·sin 0°):

(1) הזוויות של משוואה I הן כפולות אי-זוגיות של 22.5°, ושל משוואה II כפולות זוגיות של 22.5°. אין פתרון משותף, ולכן יש 16 נקודות שונות. כולן על מעגל אחד (ראו תת-סעיף 2), ולכן אף אחת מהן לא נמצאת בתוך המצולע שהאחרות יוצרות. כל ה-16 הן קודקודים, והזוויות שלהן הן 0°, 22.5°, 45°, ועד 337.5°, בהפרשים שווים של 22.5°.

למצולע 16 קודקודים. זה מצולע משוכלל בן 16 צלעות.

(2) כן. הגודל של חזקה הוא החזקה של הגודל, |z⁸| = |z|⁸.

כל הקודקודים נמצאים על המעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו r. הנימוק הזה לא תלוי בכלל בערך של θ.

סעיף ד: הערך של r

מחברים את הראשית לכל 16 הקודקודים, והמצולע מתחלק ל-16 משולשים שווי שוקיים. בכל אחד מהם שתי השוקיים באורך r, והזווית ביניהן 360°/16 = 22.5°. לכן:

נשווה ל-62:

r ≈ 4.5.

בדיקה: עם r = 4.5 מקבלים 8 × 20.25 × 0.38268 ≈ 61.99, כלומר 62 בעיגול.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א כותבים לזווית של 1w את הערך 1θ, או משאירים את הגודל r במקום 1r. בסעיף ב לוקחים את הזווית AOB כ-2θ, שגדולה מ-180°, או שוכחים לפסול את 135°. בסעיף ג מחשבים את w⁸ בלי להוריד כפולות של 360°, ואז לא רואים שמשוואה I היא בעצם z⁸ = −r⁸. ובסעיף ד מחשבים שטח של מצולע בן 8 צלעות.

פרק שני: גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, הפונקצייה eˣ − 11 − eˣ ושטח מתחת לגרף (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = eˣ − 11 − eˣ, המוגדרת לכל x ≠ 0.

כדאי לכתוב מיד את f בצורה נוחה יותר, כי 1 − eˣ במכנה עם מינוס לפני השבר מבלבל:

סעיף א

(1) אסימפטוטות.

אנכית. המכנה מתאפס כש-eˣ = 1, כלומר ב-x = 0. נבדוק את הגבולות:

אופקית. כש-x → −∞, eˣ → 0, ולכן f(x) → 0 + 10 − 1 = −1. כש-x → +∞, eˣ → ∞ ו-1eˣ − 1 → 0, ולכן f(x) → ∞, ואין אסימפטוטה אופקית בצד הזה.

x = 0 (אנכית) ו-y = −1 (אופקית, כש-x → −∞).

(2) חיתוך עם הצירים.

עם ציר ה-y: צריך להציב x = 0, ו-x = 0 לא בתחום ההגדרה. אין חיתוך.

עם ציר ה-x: נפתור f(x) = 0. נסמן t = eˣ, כאשר t > 0 ו-t ≠ 1:

הדיסקרימיננטה היא 1 − 4 = −3, שלילית. אין פתרון.

אין לגרף נקודות חיתוך עם הצירים.

אפשר לראות את זה גם בלי משוואה. כש-x > 0 שני המחוברים eˣ ו-1eˣ − 1 חיוביים, ולכן f > 0. כש-x < 0, 0 < eˣ < 1, ואז 11 − eˣ > 1 > eˣ, ולכן f < 0.

(3) נקודת הקיצון. נגזור את f(x) = eˣ + (eˣ − 1)⁻¹:

את הסוגריים המרובעים נפרק כהפרש ריבועים:

ולכן:

e²ˣ ו-(eˣ − 1)² חיוביים, והסימן של f′ הוא הסימן של eˣ − 2. f′(x) = 0 כש-eˣ = 2, כלומר x = ln 2:

נקודת מינימום (ln 2 , 3), כלומר בערך (0.69 , 3).

שימו לב: משמאל ל-0 הנגזרת שלילית, אבל אין שם נקודת קיצון, כי x = 0 לא בתחום.

סעיף ב: סקיצה

הגרף בנוי משני ענפים, משני צדי האסימפטוטה x = 0.

• הענף השמאלי (x < 0): מתחיל קרוב ל-y = −1, מתחתיה, ויורד כל הזמן אל מינוס אינסוף כשמתקרבים ל-x = 0. למשל f(−1) ≈ −1.21, f(−0.5) ≈ −1.94.
• הענף הימני (x > 0): יורד מאינסוף, סמוך לציר ה-y, אל המינימום (ln 2 , 3), ואחריו עולה לאינסוף, כמו eˣ. למשל f(0.2) ≈ 5.74, f(1) ≈ 3.30, f(2) ≈ 7.55.

הגרף לא חותך את הצירים.

סעיף ג

(1) בלוגריתם הביטוי חייב להיות חיובי:

תחום ההגדרה של g: x > 0.

(2) נגזור את g(x) = −x + ln(eˣ − 1):

ומן הצד השני:

שני הצדדים שווים ל-1eˣ − 1, ולכן g′(x) = f(x) − eˣ לכל x > 0. מש"ל.

סעיף ד: השטח

האנך לציר ה-x דרך נקודת הקיצון הוא הישר x = ln 2. b > 2, ולכן ln b > ln 2, והישר x = ln b נמצא מימין לאנך. בקטע בין ln 2 ל-ln b מתקיים f(x) ≥ 3 > 0 (המינימום של הענף הימני הוא 3), ולכן הגרף מעל ציר ה-x, והשטח הוא האינטגרל של f.

כאן סעיף ג עושה את כל העבודה. מ-g′(x) = f(x) − eˣ מקבלים f(x) = eˣ + g′(x), ולכן פונקצייה קדומה של f היא:

נציב את הגבולות. e^{ln b} = b, ו-e^{ln 2} = 2:

נאחד את הלוגריתמים:

S = b − 2 + ln(2(b − 1)b).

סעיף ה: הערך של b

b = 4, ואכן b > 2.

בדיקה: השטח בין x = ln 2 ל-x = ln 4 הוא 4 − 2 + ln(64) = 2 + ln 1.5 ≈ 2.405.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א(1) כותבים אסימפטוטה y = −1 גם בצד ימין, או לא בודקים את כיוון הגבולות סביב x = 0. בסעיף א(3) מתבלבלים בסימן של הנגזרת של 11 − eˣ; הכתיבה 1eˣ − 1 חוסכת את הבלבול. ובסעיף ד מנסים למצוא פונקצייה קדומה ל-1eˣ − 1 מאפס, כשסעיף ג כבר נתן אותה.

שאלה 5, הפונקצייה a + ln xx, פונקצייה קדומה והגרף של |h| (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = a + ln xx, המוגדרת בתחום x > 0, ו-a פרמטר.

סעיף א

(1) אסימפטוטות.

x = 0 (אנכית) ו-y = 0 (אופקית). התשובה לא תלויה ב-a.

(2) חיתוך עם ציר ה-x. שבר מתאפס כשהמונה מתאפס:

(e^−a , 0).

(3) נקודת הקיצון. לפי כלל המנה:

המכנה x² חיובי. המונה 1 − a − ln x יורד כש-x גדל: הוא חיובי כש-x < e^{1 − a} ושלילי כש-x > e^{1 − a}. לכן f עולה ואחר כך יורדת.

נקודת מקסימום (e^{1 − a} , e^{a − 1}).

סעיף ב: סקיצה

הגרף מתחיל במינוס אינסוף סמוך לציר ה-y (האסימפטוטה x = 0), עולה, חותך את ציר ה-x ב-(e^−a , 0), ממשיך לעלות עד המקסימום (e^{1 − a} , e^{a − 1}), ואחריו יורד ומתקרב לציר ה-x מלמעלה (האסימפטוטה y = 0), בלי לחצות אותו שוב. נקודת החיתוך משמאל למקסימום, כי e^−a < e^{1 − a}.

סעיף ג: הערך של a

בנקודה x = e² הגרפים נחתכים, ולכן f(e²) = g(e²). ln e² = 2:

a = −1.

הערה יפה: f(x) = g(x) בדיוק כש-a + ln x = 1, כלומר x = e^{1 − a}. זו נקודת המקסימום מסעיף א(3). כלומר הגרף של g עובר תמיד דרך נקודת המקסימום של f.

סעיף ד: הפונקצייה h

עם a = −1, f(x) = ln x − 1x, ולכן:

הנגזרת של ln x − 2 היא 1x, ולכן h′(x) היא מהצורה u × u′ עם u = ln x − 2. פונקצייה קדומה של u × u′ היא ½u²:

הגרף עובר ב-(e⁵ , 2.5), ו-ln e⁵ = 5:

נפתח סוגריים: ½(ln x)² − 2 ln x + 2 − 2.

h(x) = ½(ln x)² − 2 ln x.

בדיקה: h(e⁵) = ½ × 25 − 2 × 5 = 12.5 − 10 = 2.5.

סעיף ה: איזה גרף מייצג את |h(x)|

נכיר קודם את h עצמה. נוציא ½ ln x כגורם משותף:

• אפסים: ln x = 0 או ln x = 4, כלומר x = 1 ו-x = e⁴ ≈ 54.6.
• קיצון: h′(x) = ln x − 2x מתאפסת ב-x = e², שלילית לפניה וחיובית אחריה. מינימום h(e²) = ½ × 2 × (−2) = −2.
• גבולות: כש-x → 0⁺, ln x → −∞, והמחובר ½(ln x)² שולט, ולכן h(x) → ∞. כש-x → ∞, גם כן h(x) → ∞.

לכן h חיובית ב-(0 , 1), שלילית ב-(1 , e⁴), וחיובית שוב כש-x > e⁴.

הערך המוחלט משקף כלפי מעלה את החלק השלילי. הגרף של |h(x)|:

1. יורד מאינסוף, סמוך לציר ה-y, עד שהוא נוגע בציר ה-x ב-x = 1;
2. עולה למקסימום בגובה 2 ב-x = e²;
3. יורד ונוגע שוב בציר ה-x ב-x = e⁴;
4. עולה מימין ל-e⁴, בלי חסם.

נבדוק את ארבעת הגרפים:

• גרף II נוגע בציר ה-x רק פעם אחת, ליד ציר ה-y, ואחר כך יורד אל ציר ה-x בלי לגעת בו. אבל |h| מתאפסת פעמיים ושואפת לאינסוף. נפסל.
• גרף III נוגע בציר ה-x רק ליד ציר ה-y. השקע שבאמצע לא מגיע לציר, ואילו |h(e⁴)| = 0. נפסל.
• גרף IV נוגע בציר ה-x פעמיים, אבל בסופו הוא יורד ומתקרב לציר ה-x. אבל |h(x)| → ∞ כש-x → ∞. נפסל.
• גרף I יורד מלמעלה סמוך לציר ה-y, נוגע בציר ה-x, עולה לבליטה, יורד ונוגע שוב בציר ה-x, ואחר כך עולה. זה בדיוק התיאור של |h|.

הגרף I מייצג את |h(x)|.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(1) מחפשים אסימפטוטה אנכית שתלויה ב-a, ואין כזאת. בסעיף ד שוכחים את הקבוע C, או מוצאים פונקצייה קדומה ל-ln xx בטעות כ-ln(ln x). ובסעיף ה בוחרים גרף לפי הצורה הכללית בלי לבדוק את שני האפסים ואת ההתנהגות כש-x גדול.

התשובות בקצרה