התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35572 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ו · 2026
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון
שאלה 1 33⅓ נקודות
פרבולה, משיק, מעגל המשיק לפרבולה ולציר ה-y, ומקום גאומטרי
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | A(24 , 36) |
| ב(1) | y = −(43)x + 68 |
| ב(2) | (x − 15)² + (y − 48)² = 225 (המרכז M(15 , 48), הרדיוס 15) |
| ג(1) | (x − 15)² + (y − 48)² = 1521 (מעגל שמרכזו M ורדיוסו 39) |
| ג(2) | לא. המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על המקום הגאומטרי הוא הקוטר, 78, והוא קטן מ-80 |
שאלה 2 33⅓ נקודות
וקטורים בתיבה: הצגת וקטורים, נקודה במישור, אנך למישור ומרחק נקודה ממישור
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | EA = −v − ½w , EC = u − ½w |
| ב | EM = (16)u − (23)v − (512)w |
| ג(1) | a = 23 , b = 16 |
| ג(2) | כן. EM = (23)EA + (16)EC, ולכן M נמצאת במישור AEC |
| ד | |u| = 2 , |v| = 1 |
| ה | √63 = √23 ≈ 0.816 |
שאלה 3 33⅓ נקודות
מספרים מרוכבים: שורשים מסדר 3, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע וחוצה זווית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | z = 4(cos 60° + i sin 60°) = 2 + 2√3i , z = 4(cos 180° + i sin 180°) = −4 , z = 4(cos 300° + i sin 300°) = 2 − 2√3i |
| ב | α = 60° או α = 120° |
| ג | α = 60° , r = 4 |
| ד | השטח 36: A(2 , 2√3), B(0 , 4), C(−4 , −4√3), D(0 , −8); האלכסון BD על ציר ה-y באורך 12, ו-S = 12 · 22 + 12 · 42 = 12 + 24 = 36 |
| ה | u = 5(cos 75° + i sin 75°) = 5(√6 − √2)4 + 5(√6 + √2)4 · i ≈ 1.294 + 4.830i |
פרק שני
שאלה 4 33⅓ נקודות
הפונקצייה f(x) = xⁿ(3 − ln x), ובמקרה n = 1 הפונקצייה g(x) = 1/f(x) ושטח מתחת לגרף
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | (e³ , 0) |
| ב | n = 1 |
| ג | מקסימום ב-(e² , e²), בערך (7.39 , 7.39) |
| ד | סקיצה: הגרף יוצא מן הראשית (נקודה ריקה, כי f שואפת ל-0 כש-x שואף ל-0 מימין), עולה עד המקסימום (e² , e²), יורד, חוצה את ציר ה-x ב-(e³ , 0) ויורד בלי גבול; קעור כלפי מטה בכל התחום |
| ה(1) | x > 0 , x ≠ e³ |
| ה(2) | x = 0 , x = e³ , y = 0 |
| ה(3) | סקיצה: ב-0 < x < e³ הגרף מעל ציר ה-x, יורד מאינסוף (ליד ציר ה-y) עד המינימום (e² , 1e²) ≈ (7.39 , 0.135) ועולה לאינסוף ליד x = e³. ב-x > e³ הגרף מתחת לציר ה-x, עולה ממינוס אינסוף (ליד x = e³) ומתקרב ל-y = 0 מלמטה |
| ו | a = 2.8 |
שאלה 5 33⅓ נקודות
הפונקצייה f(x) = 4eˣ − x + 9 ln(4 − eˣ), גרף הנגזרת שלה, ופרמטר שקובע מספר נקודות קיצון
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x < ln 4 |
| א(2) | x = ln 4 בלבד (אין אסימפטוטה אופקית: כש-x שואף למינוס אינסוף, f שואפת לאינסוף) |
| ב | f′(x) = 4eˣ − 1 − 9eˣ/(4 − eˣ) = −4e²ˣ + 8eˣ − 44 − eˣ = −4(eˣ − 1)²4 − eˣ, כנדרש |
| ג(1) | f יורדת בכל תחום ההגדרה, x < ln 4. אין תחום עלייה |
| ג(2) | y = 4 + 9 ln 3 (בערך y = 13.89), המשיק בנקודה (0 , 4 + 9 ln 3) |
| ד | סקיצה: הגרף יורד לאורך כל התחום, מאינסוף בצד שמאל, משתטח לרגע בנקודה (0 , 4 + 9 ln 3) (משיק אופקי, נקודת פיתול), חוצה את ציר ה-x בערך ב-x ≈ 1.33 וצולל למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה x = ln 4 |
| ה(1) | x = ln 4 , y = −1 |
| ה(2) | סקיצה: הגרף מתחת לציר ה-x חוץ מן הראשית. משמאל מתחיל צמוד ל-y = −1 מלמעלה, עולה עד (0 , 0), שם נוגע בציר ה-x (מקסימום של f′, נקודת הפיתול של f), ואז יורד, חוצה את y = −1 ב-x = ln(74) ≈ 0.56 וצולל למינוס אינסוף ליד x = ln 4 |
| ו | 0 < a < 1 |