הפתרון המלא · מתמטיקה ב׳ · שאלון 35572 · קיץ, מועד א׳ תשפ״ו 2026

לפני שמתחילים

בשאלון שני פרקים ובהם חמש שאלות. הפרק הראשון, שאלות 1 עד 3, עוסק בגאומטרייה אנליטית, בווקטורים, בטריגונומטרייה במרחב ובמספרים מרוכבים. הפרק השני, שאלות 4 ו-5, עוסק בגדילה ודעיכה ובפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על שלוש שאלות, ולפחות אחת מכל פרק, וכל שאלה שווה 33⅓ נקודות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים. מי שעונה על יותר משלוש שאלות, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות ל-5 יחידות לימוד. גם כשהחישוב נעשה במחשבון, כותבים במחברת את כל השלבים ומסבירים אותם.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נוטים לטעות.

פרק ראשון, גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים

שאלה 1, פרבולה, מעגל משיק ומקום גאומטרי (33⅓ נקודות)

הנתונים. הפרבולה y² = 54x. בנקודה A שעליה עובר משיק ששיפועו 34.

סעיף א: שיעורי הנקודה A

הפרבולה כתובה בצורה y² = 2px, ולכן 2p = 54 ו-p = 27. נמצא את שיפוע המשיק בכל נקודה. נגזור את שני האגפים לפי x:

2y · y′ = 54

y′ = 27y

(אותה תוצאה מתקבלת ממשוואת המשיק בנקודה (x₀ , y₀) של הפרבולה, y · y₀ = p(x + x₀), שהשיפוע שלה הוא py₀.)

השיפוע בנקודה A הוא 34, ולכן:

27y = 34

3y = 108

y = 36

נציב במשוואת הפרבולה כדי למצוא את שיעור ה-x:

36² = 54x

1296 = 54x

x = 24

A(24 , 36).

נרשום כבר עכשיו את משוואת המשיק, היא תשמש אותנו מיד. הוא עובר ב-A ושיפועו 34:

y − 36 = (34)(x − 24)

y = (34)x + 18

סעיף ב(1): משוואת הישר AM

הישר המשיק למעגל בנקודה A מאונך לרדיוס MA. מכפלת השיפועים של שני ישרים מאונכים היא −1, ושיפוע המשיק הוא 34, ולכן שיפוע AM הוא −43. הישר עובר ב-A(24 , 36):

y − 36 = −(43)(x − 24)

y = −(43)x + 32 + 36

משוואת הישר AM: y = −(43)x + 68.

סעיף ב(2): משוואת המעגל

המרכז M נמצא על הישר AM, ולכן אפשר לכתוב אותו בצורה M(m , −(43)m + 68).

שני נתונים קובעים את הרדיוס:

ציר ה-y משיק למעגל, ולכן הרדיוס שווה למרחק של M מציר ה-y: R = |m|.
A על המעגל, ולכן R = MA.

נחשב את MA. הפרש שיעורי ה-y בין M ל-A הוא

−(43)m + 68 − 36 = −(43)m + 32 = −(43)(m − 24)

ולכן

MA² = (m − 24)² + (169)(m − 24)² = (259)(m − 24)²

MA = (53)|m − 24|

נתון ששיעור ה-x של M קטן מ-24, ולכן |m − 24| = 24 − m, ו-MA = (53)(24 − m).

נשווה את שני הביטויים לרדיוס:

|m| = (53)(24 − m)

אם m ≥ 0:

3m= 120 − 5m8m= 120

m = 15

אם m < 0:

−3m = 120 − 5m

2m = 120

m = 60

והתוצאה סותרת את ההנחה m < 0, ולכן נפסלת. נשאר m = 15:

M(15 , −(43) · 15 + 68) = M(15 , 48) , R = 15

בדיקה: MA² = (24 − 15)² + (36 − 48)² = 81 + 144 = 225, כלומר MA = 15 = R.

משוואת המעגל: (x − 15)² + (y − 48)² = 225.

סעיף ג(1): המקום הגאומטרי של P

B על המעגל, והישר BP משיק למעגל ב-B. לכן הרדיוס MB מאונך ל-BP, והמשולש MBP ישר זווית ב-B. לפי משפט פיתגורס:

MP² = MB² + BP² = 15² + 36² = 225 + 1296 = 1521

MP = 39

כלומר כל נקודה P נמצאת במרחק 39 מ-M, לא משנה איפה B על המעגל. גם ההפך נכון: מכל נקודה שמרחקה מ-M הוא 39 אפשר להעביר משיק למעגל, ואורך קטע המשיק עד נקודת ההשקה הוא √39² − 15² = 36. לכן המקום הגאומטרי הוא כל המעגל שמרכזו M ורדיוסו 39.

המקום הגאומטרי של P: (x − 15)² + (y − 48)² = 1521.

סעיף ג(2): שתי נקודות במרחק 80?

המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 39. המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על מעגל הוא הקוטר:

2 · 39 = 78

78 < 80, ולכן אין על המקום הגאומטרי שתי נקודות שהמרחק ביניהן 80.

לא. המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על המקום הגאומטרי הוא הקוטר, 78, והוא קטן מ-80.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב(2) שוכחים את הנתון ששיעור ה-x של M קטן מזה של A, ומקבלים גם את המרכז (60 , −12), שאינו מתאים. בסעיף ג(1) כותבים מעגל ברדיוס 36, כאילו P במרחק 36 מ-M, במקום לזכור ש-36 הוא המרחק מ-B, ושצריך משולש ישר זווית כדי לעבור אל M.

שאלה 2, וקטורים בתיבה (33⅓ נקודות)

הנתונים. ABCDA′B′C′D′ תיבה, ולפי הסרטוט ABCD היא הפאה התחתונה. נסמן AA′ = w, AB = v, AD = u (כולם וקטורים). E היא אמצע המקצוע BB′.

שלוש עובדות על התיבה שנשתמש בהן לאורך כל השאלה:

BC = AD = u, ו-BB′ = AA′ = w, כי מקצועות מקבילים ושווים בתיבה הם אותו וקטור.
E אמצע BB′, ולכן EB = −½w.
שלושת הווקטורים u, v ו-w מאונכים זה לזה בזוגות, ולכן מכפלה סקלרית של כל שניים שונים מהם היא 0.

סעיף א: EA ו-EC

נלך מ-E אל B, ומשם אל הקודקוד המבוקש:

EA= EB + BA = −½w − vEC= EB + BC = −½w + u

EA = −v − ½w , EC = u − ½w.

סעיף ב: EM

נלך מ-E אל B, ומשם אל M לפי הווקטור הנתון BM:

EM = EB + BM = −½w + (16)u − (23)v + (112)w

נקבץ את מקדמי w: −½ + 112 = −612 + 112 = −512.

EM = (16)u − (23)v − (512)w.

סעיף ג(1): a ו-b

נפתח את אגף ימין של הנתון EM = a · EA + b · EC:

a(−v − ½w) + b(u − ½w) = b · u − a · v − ½(a + b) · w

u, v ו-w אינם במישור אחד, ולכן ההצגה של וקטור באמצעותם יחידה, ומותר להשוות מקדמים:

מקדם u: b = 16

מקדם v: −a = −23 ולכן a = 23

נשאר לבדוק את מקדם w, כי שלוש משוואות ושני נעלמים לא תמיד מסתדרות:

−½(a + b) = −½(23 + 16) = −½ · 56 = −512

וזה בדיוק מקדם w ב-EM. המערכת עקבית.

a = 23 , b = 16.

סעיף ג(2): האם M במישור AEC?

כן. בסעיף ג(1) מצאנו מספרים a ו-b שעבורם EM = (23)EA + (16)EC. כלומר הווקטור EM הוא צירוף של שני וקטורים שיוצאים מ-E ונמצאים במישור AEC (הנקודות A, E ו-C אינן על ישר אחד, ולכן הן קובעות מישור). נקודה שמגיעים אליה מ-E בצירוף כזה נמצאת באותו מישור.

כן. EM = (23)EA + (16)EC, ולכן M נמצאת במישור AEC.

סעיף ד: |u| ו-|v|

הווקטור BM מאונך למישור AEC, ולכן הוא מאונך לכל וקטור במישור, ובפרט ל-EA ול-EC. כל אחד מהם נותן משוואה: המכפלה הסקלרית שווה ל-0. בפתיחת הסוגריים נשארות רק מכפלות של וקטור בעצמו, כי u, v ו-w מאונכים זה לזה. נזכור ש-|w|² = 16.

BM · EA= ((16)u − (23)v + (112)w) · (−v − ½w)= (23)|v|² − (124)|w|²= (23)|v|² − 1624= (23)|v|² − 23

(23)|v|² − 23 = 0 ⇒ |v|² = 1 ⇒ |v| = 1

BM · EC= ((16)u − (23)v + (112)w) · (u − ½w)= (16)|u|² − (124)|w|²= (16)|u|² − 23

(16)|u|² − 23 = 0 ⇒ |u|² = 4 ⇒ |u| = 2

|u| = 2 , |v| = 1.

סעיף ה: המרחק בין B למישור AEC

כאן מתחברים שני הממצאים הקודמים. מסעיף ג(2), M נמצאת במישור AEC. מן הנתון של סעיף ד, BM מאונך למישור. לכן M היא העקב של האנך מ-B למישור, והמרחק המבוקש הוא פשוט האורך של BM:

|BM|²= (16)²|u|² + (23)²|v|² + (112)²|w|²= (136) · 4 + (49) · 1 + (1144) · 16= 19 + 49 + 19= 69 = 23

|BM| = √23 = √63 ≈ 0.816

(גם כאן, בפיתוח של |BM|² נעלמות המכפלות המעורבות כי הווקטורים מאונכים.)

בדיקה בשיעורים: נשים את A בראשית, v = (1 , 0 , 0), u = (0 , 2 , 0), w = (0 , 0 , 4). אז E(1 , 0 , 2), C(1 , 2 , 0), ומשוואת המישור AEC היא −2x + y + z = 0. המרחק של B(1 , 0 , 0) ממנו הוא |−2|/√6 = 2√6 = √63.

המרחק בין B למישור AEC הוא √63 ≈ 0.816.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א כותבים EA = v + ½w, כלומר מחשבים את AE במקום EA; כדאי תמיד ללכת "מן הנקודה הראשונה אל השנייה". בסעיף ג(1) לא בודקים את המשוואה השלישית, של מקדם w, ולכן לא באמת מוכיחים ש-M במישור. בסעיף ה מתחילים חישוב ארוך של משוואת מישור, ומפספסים שהשאלה כבר בנתה את העקב של האנך: M במישור ו-BM מאונך לו.

שאלה 3, מספרים מרוכבים (33⅓ נקודות)

הנתונים. המשוואה z³ = −64, כש-z משתנה מרוכב.

סעיף א: כל הפתרונות של z³ = −64

נכתוב את −64 בהצגה קוטבית. הוא על החלק השלילי של הציר הממשי, ולכן:

−64 = 64(cos 180° + i sin 180°)

לפי נוסחת דה מואבר לשורשים, לשלושת הפתרונות אותו ערך מוחלט, ∛64 = 4, והזוויות שלהם נבדלות זו מזו ב-360° : 3 = 120°:

z = 4(cos(60° + 120°k) + i sin(60° + 120°k)) , k = 0 , 1 , 2

k= 0: z = 4(cos 60° + i sin 60°) = 2 + 2√3 ik= 1: z = 4(cos 180° + i sin 180°) = −4k= 2: z = 4(cos 300° + i sin 300°) = 2 − 2√3 i

z = 2 + 2√3 i , z = −4 , z = 2 − 2√3 i.

סעיף ב: שני הערכים של α

w1 = r(cos α + i sin α) ו-w2 = 2r(cos 4α + i sin 4α). שתי נקודות (שונות מהראשית) נמצאות על ישר אחד שעובר בראשית בדיוק כשהזוויות שלהן שוות, או נבדלות ב-180°, או באופן כללי נבדלות בכפולה של 180°:

4α − α = 180° · k

3α = 180° · k

α = 60° · k

בתחום 50° < α < 130° יש שני ערכים כאלה: k = 1 נותן 60°, ו-k = 2 נותן 120°.

α = 60° או α = 120°.

(ב-α = 60° הנקודה w2 בזווית 240°, בצד הנגדי של הראשית. ב-α = 120° הנקודה w2 בזווית 480° = 120°, על אותה קרן כמו w1.)

סעיף ג: α ו-r

r הוא הערך המוחלט של w1, ולכן r > 0, ו-α היא הזווית שלו. לפי סעיף ב, α היא 60° או 120°. הזוויות של הפתרונות מסעיף א הן 60°, 180° ו-300°, ורק 60° משותפת לשתי הרשימות. לכן w1 הוא הפתרון 4(cos 60° + i sin 60°), והערך המוחלט שלו 4.

α = 60° , r = 4.

סעיף ד: שטח המרובע ABCD

נכתוב את ארבעת הקודקודים בהצגה אלגברית:

w1= 4(cos 60° + i sin 60°) = 2 + 2√3 i A(2 , 2√3)w3= 4i B(0 , 4)w2= 2r(cos 4α + i sin 4α) = 8(cos 240° + i sin 240°)= −4 − 4√3 i C(−4 , −4√3)w4= 8i = 8 · −ii · (−i) = −8i D(0 , −8)

שני קודקודים, B ו-D, נמצאים על ציר ה-y (הציר המדומה). זה מזמין לחלק את המרובע לאורך האלכסון BD לשני משולשים, ABD ו-CBD. A נמצאת מימין לציר (x = 2) ו-C משמאלו (x = −4), כלומר משני צדי האלכסון, כמו שצריך במרובע קמור.

אורך האלכסון BD הוא 4 − (−8) = 12. הגובה מכל קודקוד אל BD הוא המרחק שלו מציר ה-y, כלומר הערך המוחלט של שיעור ה-x שלו:

S(ABD)= 12 · 2 / 2 = 12S(CBD)= 12 · 4 / 2 = 24

S(ABCD) = 12 + 24 = 36

שטח המרובע ABCD הוא 36, כנדרש.

סעיף ה: המספר u

הזווית BOA: הקרן OB היא החלק החיובי של הציר המדומה, בזווית 90°, והקרן OA בזווית 60°. חוצה הזווית נמצא באמצע, בזווית 75°, וזה ברביע הראשון כנדרש. לכן:

u = ρ(cos 75° + i sin 75°) , ρ = |u| > 1

נחשב את שני המחוברים באגף שמאל. הצמוד משקף את הזווית, וההופכי הופך את הערך המוחלט ומשקף את הזווית:

ū= ρ(cos(−75°) + i sin(−75°)) = ρ(cos 285° + i sin 285°)1u= (1ρ)(cos(−75°) + i sin(−75°)) = (1ρ)(cos 285° + i sin 285°)

לשניהם אותה זווית, 285°, ולכן אפשר לחבר את הערכים המוחלטים:

ū + 1u = (ρ + 1ρ)(cos 285° + i sin 285°)

נשווה לנתון. הזוויות כבר שוות, ושני הערכים המוחלטים חיוביים, ולכן:

ρ + 1ρ = 5.2

ρ² − 5.2ρ + 1 = 0

ρ = (5.2 ± √27.04 − 4) / 2 = (5.2 ± 4.8) / 2

ρ = 5 או ρ = 0.2

נתון |u| > 1, ולכן ρ = 5.

u = 5(cos 75° + i sin 75°)

בהצגה אלגברית, עם cos 75° = √6 − √24 ו-sin 75° = √6 + √24:

u = 5(√6 − √2)4 + 5(√6 + √2)4 · i ≈ 1.294 + 4.830i

u = 5(cos 75° + i sin 75°) ≈ 1.294 + 4.830i.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב מחפשים רק זוויות שוות (3α = 360°k) ומפספסים את המקרה של נקודות משני צדי הראשית, ואז יוצא ערך אחד בלבד. בסעיף ד מחשבים 8i כ-8i, ושוכחים ש-1i = −i. בסעיף ה לוקחים את חוצה הזווית בין OA לציר הממשי (30°), במקום בין OA ל-OB.

פרק שני, גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, הפונקצייה f(x) = xⁿ · (3 − ln x) והפונקצייה ההופכית לה (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = xⁿ · (3 − ln x), בתחום x > 0, ו-n מספר טבעי.

סעיף א: נקודת החיתוך עם ציר ה-x

xⁿ · (3 − ln x) = 0

בתחום x > 0 הגורם xⁿ חיובי ואינו מתאפס, ולכן הגורם השני חייב להתאפס:

3 − ln x = 0

ln x = 3

x = e³ ≈ 20.09

נקודת החיתוך עם ציר ה-x: (e³ , 0).

סעיף ב: הערך של n

נגזור לפי כלל המכפלה. הנגזרת של 3 − ln x היא −1x:

f′(x)= n · xⁿ⁻¹ · (3 − ln x) + xⁿ · (−1x)= xⁿ⁻¹ · (n(3 − ln x) − 1)

נציב x = 1. ln 1 = 0 ו-1ⁿ⁻¹ = 1:

f′(1) = 3n − 1

השיפוע בנקודה הזאת נתון, 2:

3n − 1 = 2

n = 1

n = 1.

מכאן והלאה f(x) = x(3 − ln x) = 3x − x ln x.

סעיף ג: נקודת הקיצון וסוגה

f′(x) = 3 − (ln x + x · 1x) = 3 − ln x − 1 = 2 − ln x

(זו גם הנגזרת מסעיף ב כש-n = 1.)

2 − ln x = 0 ⇒ x = e²

סימן הנגזרת: כש-0 < x < e², ln x < 2 ולכן f′(x) > 0, והפונקצייה עולה. כש-x > e², ln x > 2 ולכן f′(x) < 0, והפונקצייה יורדת. עלייה ואחריה ירידה פירושן מקסימום.

f(e²) = e² · (3 − 2) = e²

מקסימום ב-(e² , e²), בערך (7.39 , 7.39).

סעיף ד: סקיצה של f

נאסוף מה שאנחנו יודעים, ונוסיף את ההתנהגות בשני הקצוות של התחום:

כש-x שואף ל-0 מימין: x ln x שואף ל-0 (גבול מוכר), ולכן f(x) = 3x − x ln x שואפת ל-0. הגרף מתחיל ליד הראשית, אבל הראשית עצמה אינה בגרף (x = 0 אינו בתחום), ולכן מסמנים בה נקודה ריקה.
כש-x שואף לאינסוף: x שואף לאינסוף ו-3 − ln x שואף למינוס אינסוף, ולכן f שואפת למינוס אינסוף.
f חיובית ב-0 < x < e³ ושלילית ב-x > e³.
עוד נקודה עוזרת: f(1) = 3.

הסקיצה: הגרף יוצא מן הראשית (נקודה ריקה), עולה עד המקסימום (e² , e²), יורד, חוצה את ציר ה-x ב-(e³ , 0) וממשיך לרדת בלי גבול. הגרף כולו קעור כלפי מטה, כי f″(x) = −1x < 0.

סעיף ה(1): תחום ההגדרה של g

g(x) = 1/f(x) מוגדרת כש-f מוגדרת וגם f(x) ≠ 0. לפי סעיף א, f מתאפסת רק ב-e³.

תחום ההגדרה של g: x > 0, x ≠ e³.

סעיף ה(2): האסימפטוטות של g המאונכות לצירים

x = e³: שם f מתאפסת והמונה 1, ולכן g שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף. משמאל ל-e³ הפונקצייה f חיובית, ולכן g שואפת לאינסוף; מימין f שלילית, ולכן g שואפת למינוס אינסוף.
x = 0: כש-x שואף ל-0 מימין, f שואפת ל-0 מצד החיובי (סעיף ד), ולכן g שואפת לאינסוף.
y = 0: כש-x שואף לאינסוף, f שואפת למינוס אינסוף, ולכן g שואפת ל-0 (מלמטה). בכיוון השני אין מה לבדוק, כי התחום הוא x > 0.

האסימפטוטות: x = 0, x = e³ ו-y = 0.

סעיף ה(3): סקיצה של g

את הצורה של g נגזור מן הצורה של f. g′(x) = −f′(x)/f(x)², ולכן ל-g′ סימן הפוך לסימן של f′. במקום ש-f עולה, g יורדת, ולהפך. המקסימום של f ב-(e² , e²) הופך למינימום של g ב-(e² , 1e²), כלומר בערך (7.39 , 0.135).

קטע	0 < x < e²	e² < x < e³	x > e³
f(x)	חיובית, עולה	חיובית, יורדת	שלילית, יורדת
g(x)	חיובית, יורדת	חיובית, עולה	שלילית, עולה

הסקיצה: בקטע 0 < x < e³ הגרף כולו מעל ציר ה-x. הוא יורד מאינסוף, צמוד לציר ה-y, עד המינימום (e² , 1e²), ואז עולה לאינסוף כשהוא מתקרב לאסימפטוטה x = e³ משמאל. בקטע x > e³ הגרף כולו מתחת לציר ה-x. הוא יוצא ממינוס אינסוף צמוד ל-x = e³ מימין, עולה כל הזמן ומתקרב לציר ה-x מלמטה.

סעיף ו: הערך של a

1 < a < 3, ולכן e < eᵃ < e³. כל הקטע שבין הישרים x = e ו-x = eᵃ נמצא בתוך 0 < x < e³, שבו g חיובית. לכן השטח הוא פשוט האינטגרל:

S = ∫ (מ-e עד eᵃ) dx / (x(3 − ln x))

נשים לב לגורם 3 − ln x שבמכנה: הנגזרת שלו היא −1x. לכן אפשר לכתוב את האינטגרנד כ-(1x) / (3 − ln x) = −h′(x)/h(x), עם h(x) = 3 − ln x, ובקטע הזה h(x) > 0. מכאן שפונקצייה קדומה היא −ln(3 − ln x):

S = [−ln(3 − ln x)] (מ-e עד eᵃ)

= −ln(3 − a) + ln(3 − 1)= ln 2 − ln(3 − a)= ln(23 − a)

נשווה לנתון:

ln(23 − a) = ln 10

23 − a = 10

3 − a = 0.2

a = 2.8

הערך נמצא בתחום 1 < a < 3.

a = 2.8.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב שוכחים את הנגזרת של 3 − ln x בכלל המכפלה ומקבלים 3n = 2, שאין לה פתרון טבעי. בסעיף ה(2) מפספסים את האסימפטוטה x = 0, כי היא לא באה ממכנה שמתאפס בתוך התחום אלא מן הקצה שלו. בסעיף ו כדאי לזהות שהאינטגרנד הוא "נגזרת חלקי פונקצייה", ולא לחפש הצבה מסובכת; ומי שמשתמש בהצבה t = ln x, צריך לזכור לשנות גם את הגבולות ל-1 ול-a.

שאלה 5, הפונקצייה f(x) = 4eˣ − x + 9 ln(4 − eˣ) והנגזרת שלה (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = 4eˣ − x + 9 · ln(4 − eˣ).

סעיף א(1): תחום ההגדרה

הלוגריתם מוגדר רק לביטוי חיובי:

4 − eˣ > 0

eˣ < 4

x < ln 4

תחום ההגדרה: x < ln 4. (ln 4 ≈ 1.386)

סעיף א(2): אסימפטוטות המאונכות לצירים

בקצה הימני, x שואף ל-ln 4 משמאל: 4 − eˣ שואף ל-0 מצד החיובי, ולכן ln(4 − eˣ) שואף למינוס אינסוף. שני המחוברים האחרים שואפים למספרים (4eˣ ל-16, ו-−x ל-−ln 4), ולכן f שואפת למינוס אינסוף. זו אסימפטוטה אנכית.
בקצה השמאלי, x שואף למינוס אינסוף: 4eˣ שואף ל-0, ln(4 − eˣ) שואף ל-ln 4, ו-−x שואף לאינסוף. לכן f שואפת לאינסוף, ואין אסימפטוטה אופקית.

יש אסימפטוטה אחת המאונכת לצירים: x = ln 4.

סעיף ב: הנגזרת

נגזור כל מחובר. הנגזרת של ln(4 − eˣ) היא −eˣ4 − eˣ, לפי כלל השרשרת:

f′(x) = 4eˣ − 1 + 9 · −eˣ4 − eˣ

נביא למכנה משותף 4 − eˣ:

f′(x) = ((4eˣ − 1)(4 − eˣ) − 9eˣ) / (4 − eˣ)

נפתח את המונה:

(4eˣ − 1)(4 − eˣ) = 16eˣ − 4e²ˣ − 4 + eˣ = −4e²ˣ + 17eˣ − 4

−4e²ˣ + 17eˣ − 4 − 9eˣ = −4e²ˣ + 8eˣ − 4 = −4(e²ˣ − 2eˣ + 1) = −4(eˣ − 1)²

ולכן

f′(x) = −4(eˣ − 1)² / (4 − eˣ), כנדרש.

סעיף ג(1): תחומי עלייה וירידה

בתחום ההגדרה המכנה 4 − eˣ חיובי. במונה, (eˣ − 1)² ≥ 0, ולכן −4(eˣ − 1)² ≤ 0. כלומר f′(x) ≤ 0 בכל התחום, והיא מתאפסת רק כש-eˣ = 1, כלומר רק ב-x = 0.

נגזרת שלילית בכל מקום חוץ מנקודה בודדת פירושה שהפונקצייה יורדת בכל התחום; באפס הבודד הנגזרת אינה מחליפה סימן, ולכן אין שם קיצון.

f יורדת בכל תחום ההגדרה, x < ln 4. אין לה תחום עלייה.

סעיף ג(2): משיק המקביל לציר ה-x

משיק מקביל לציר ה-x הוא משיק ששיפועו 0, וזה קורה רק ב-x = 0:

f(0) = 4e⁰ − 0 + 9 ln(4 − 1) = 4 + 9 ln 3 ≈ 13.89

משוואת המשיק: y = 4 + 9 ln 3 (בערך y = 13.89).

הנקודה (0 , 4 + 9 ln 3) היא נקודת פיתול עם משיק אופקי: הגרף משתטח בה לרגע וממשיך לרדת.

סעיף ד: סקיצה של f

נאסוף: f יורדת בכל התחום, משאיפה לאינסוף בקצה השמאלי ועד מינוס אינסוף ליד x = ln 4. ב-(0 , 4 + 9 ln 3) המשיק אופקי. מכיוון שהיא יורדת מאינסוף למינוס אינסוף, היא חוצה את ציר ה-x פעם אחת בדיוק, בין x = 0 לבין x = ln 4 (בערך ב-x ≈ 1.33).

הסקיצה: הגרף יורד משמאל לימין לאורך כל התחום. בצד שמאל הוא גבוה ויורד כמעט כמו ישר. כשהוא מגיע לנקודה (0 , 4 + 9 ln 3), שהיא גם נקודת החיתוך עם ציר ה-y, הוא משתטח לרגע (משיק אופקי), ואז ממשיך לרדת יותר ויותר בתלילות, חוצה את ציר ה-x וצולל למינוס אינסוף צמוד לאסימפטוטה x = ln 4.

סעיף ה(1): אסימפטוטות של f′ המאונכות לצירים

f′(x) = −4(eˣ − 1)² / (4 − eˣ) , x < ln 4

x שואף ל-ln 4 משמאל: המונה שואף ל-−4 · (4 − 1)² = −36, והמכנה שואף ל-0 מצד החיובי. לכן f′ שואפת למינוס אינסוף, ו-x = ln 4 אסימפטוטה אנכית.
x שואף למינוס אינסוף: eˣ שואף ל-0, ולכן f′ שואפת ל-−4 · 1 / 4 = −1. זו אסימפטוטה אופקית.

האסימפטוטות של f′: x = ln 4 ו-y = −1.

סעיף ה(2): סקיצה של f′

נשתמש בנתון שלפונקצייה f יש נקודת פיתול אחת בלבד. f′ ≤ 0 בכל התחום, ו-f′(0) = 0. לכן ב-x = 0 הנגזרת מגיעה לערך הגדול ביותר שלה: זה מקסימום של f′, ושם f″ = 0. זו נקודת הפיתול של f, והיא היחידה. מכאן ש-f′ עולה בכל הקטע x < 0 ויורדת בכל הקטע 0 < x < ln 4.

עוד שתי עובדות משלימות את התמונה:

בצד שמאל f′ עולה מן האסימפטוטה y = −1, ולכן היא מעליה: f′(x) > −1 לכל x < 0. (אפשר לוודא גם ישירות: f′(x) + 1 = eˣ(7 − 4eˣ)/(4 − eˣ), וזה חיובי כש-eˣ < 1.)
בצד ימין f′ יורדת מ-0 למינוס אינסוף, ולכן היא חוצה את הישר y = −1 פעם אחת, ב-x = ln(74) ≈ 0.56.

הסקיצה: הגרף כולו מתחת לציר ה-x, חוץ מנקודה אחת שבה הוא נוגע בו. משמאל הוא מתחיל צמוד לאסימפטוטה y = −1 מלמעלה, עולה כל הזמן עד הראשית (0 , 0), שבה הוא נוגע בציר ה-x (מקסימום), ואז יורד, חוצה את y = −1 ליד x ≈ 0.56 וצולל למינוס אינסוף צמוד לאסימפטוטה x = ln 4.

סעיף ו: מתי ל-g(x) = f(x) + ax יש שתי נקודות קיצון

g′(x) = f′(x) + a

ל-g יש קיצון בנקודה שבה g′ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר בנקודה שבה

f′(x) = −a

והגרף של f′ חוצה את הישר האופקי y = −a (ולא רק נוגע בו). לכן צריך לספור כמה פעמים הישר y = −a חוצה את הגרף של f′ מסעיף ה(2):

−1 < −a < 0: בקטע x < 0 הנגזרת f′ עולה מ-−1 ל-0, ולכן עוברת ב-−a פעם אחת; בקטע 0 < x < ln 4 היא יורדת מ-0 למינוס אינסוף, ולכן עוברת ב-−a עוד פעם אחת. בכל אחת מהן היא מונוטונית, ולכן היא חוצה ומחליפה סימן. שתי נקודות קיצון.
−a = 0: הישר y = 0 נוגע בגרף רק ב-(0 , 0), ושם g′ = f′ אינה מחליפה סימן. אין קיצון.
−a = −1: בקטע x < 0 הנגזרת רק מתקרבת ל-−1 ולא מגיעה אליו. נשאר חיתוך אחד בלבד, בקטע הימני. קיצון אחד.
−a < −1: חיתוך אחד בלבד, בקטע הימני. קיצון אחד.
−a > 0: הגרף כולו מתחת לישר. אין קיצון.

מן המקרה הראשון: −1 < −a < 0, כלומר

0 < a < 1.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב שוכחים את המינוס בנגזרת הפנימית של ln(4 − eˣ). בסעיף ג(1) מכריזים על קיצון ב-x = 0 רק משום שהנגזרת מתאפסת שם, בלי לבדוק שהיא אינה מחליפה סימן. בסעיף ו כוללים גם את a = 0 או את a = 1: ב-a = 0 הישר רק נוגע בגרף של f′, וב-a = 1 הוא האסימפטוטה, שהגרף לא מגיע אליה בצד שמאל.