התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה ב׳
שאלון 35572 · חורף · תשפ״ו · 2026
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון
שאלה 1 33⅓ נקודות
אליפסה קנונית, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x²16 + y²9.6 = 1 |
| ב | הישר y = 3x − 6 (כאשר B(4 , 0) והישר AO הוא y = 3x) |
| ג | (x − 0.9)² + (y + 0.3)² = 0.9 |
שאלה 2 33⅓ נקודות
תיבה במרחב: מרחק נקודה ממישור, משוואת מישור, זווית בין ישרים ונפח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | BB′ = 18 |
| ב | A(0 , −3 , 1) |
| ג | 20x − y + 2z − 5 = 0 |
| ד | k = √60 = 2√15 (בערך 7.75) |
| ה | V = 400√15 יחידות נפח (בערך 1549.2). המקצועות: AB = 5√5, BB′ = 18, BC = 40√39 |
שאלה 3 33⅓ נקודות
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי (פרבולה), שורשים מסדר 4, מעוין ויחס שטחים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x² = 8y (פרבולה שמוקדה (0 , 2) ומדריכה y = −2) |
| ב | z = (1r)(cos(θ + 90°k) + i sin(θ + 90°k)), k = 0, 1, 2, 3: כלומר (1r)(cos θ + i sin θ), (1r)(cos(θ + 90°) + i sin(θ + 90°)), (1r)(cos(θ + 180°) + i sin(θ + 180°)), (1r)(cos(θ + 270°) + i sin(θ + 270°)) |
| ג | w = r(cos θ + i sin θ); −w = r(cos(θ + 180°) + i sin(θ + 180°)); 1w = (1r)(cos(−θ) + i sin(−θ)) = (1r)(cos(360° − θ) + i sin(360° − θ)); −1w = (1r)(cos(180° − θ) + i sin(180° − θ)) |
| ד | θ = 45° |
| ה | S(II) : S(I) = 128 : 1 (r = 8√2, w = 8 + 8i, S(II) = 2, S(I) = 164) |
פרק שני
שאלה 4 33⅓ נקודות
הפונקצייה g(x) = ef(x) · f′(x), ובמקרה f(x) = 1x: g(x) = −e1/xx²
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | g(x) < 0 לכל x ≠ 0: שלילית ב-x < 0 וב-x > 0, ואין לה תחום חיוביות (כי f′(x) < 0 ו-ef(x) > 0) |
| ב(1) | x = 0 (כש-x שואף ל-0 מימין, g שואפת למינוס אינסוף) ו-y = 0 (כש-x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף) |
| ב(2) | מינימום (−½ , −4e²), בערך (−0.5 , −0.54) |
| ג | סקיצה: הגרף כולו מתחת לציר ה-x. משמאל מתקרב ל-y = 0 מלמטה, יורד עד המינימום (−½ , −4e²), עולה ומתקרב לראשית (נקודה ריקה). מימין ל-x = 0 יוצא ממינוס אינסוף צמוד לציר ה-y, עולה כל הזמן ומתקרב ל-y = 0 מלמטה |
| ד | a = 53 |
שאלה 5 33⅓ נקודות
f(x) = (1x)(a + 1(ln x)²), הפונקצייה הקדומה g(x) = ln x − 1ln x, והפונקצייה h(x) = ln|g(x)|
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x > 0, x ≠ 1 |
| ב | a = 1 |
| ג | g(x) = ln x − 1ln x (נקודת הפיתול (1e , 0)) |
| ד(1) | x = 0 ו-x = 1. אין אסימפטוטה אופקית |
| ד(2) | (1e , 0) ו-(e , 0) |
| ד(3) | עולה ב-0 < x < 1 וב-x > 1. אין תחום ירידה |
| ה | סקיצה: ב-0 < x < 1 הגרף עולה ממינוס אינסוף (ליד ציר ה-y) דרך נקודת הפיתול (1e , 0) לאינסוף ליד x = 1. ב-x > 1 עולה ממינוס אינסוף (ליד x = 1) דרך (e , 0) ובלי גבול, קעור כלפי מטה |
| ו(1) | x > 0, x ≠ 1e, x ≠ 1, x ≠ e |
| ו(2) | גרף II: h שואפת לאינסוף ליד x = 0, ליד x = 1 וכש-x שואף לאינסוף, ולמינוס אינסוף ליד x = 1e וליד x = e; היא יורדת ב-0 < x < 1e וב-1 < x < e ועולה ב-1e < x < 1 וב-x > e |