מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

בשאלון שני פרקים ובהם חמש שאלות. הפרק הראשון, שאלות 1 עד 3, עוסק בגאומטרייה אנליטית, בווקטורים, בטריגונומטרייה במרחב ובמספרים מרוכבים. הפרק השני, שאלות 4 ו-5, עוסק בגדילה ודעיכה ובפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על שלוש שאלות, ולפחות אחת מכל פרק, וכל שאלה שווה 33⅓ נקודות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים. מי שעונה על יותר משלוש שאלות, נבדקות לו רק שלוש התשובות הראשונות שבמחברת.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות ל-5 יחידות לימוד. גם כשהחישוב נעשה במחשבון, כותבים במחברת את כל השלבים ומסבירים אותם.

כאן פתורות כל חמש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נוטים לטעות.

פרק ראשון, גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים

שאלה 1, אליפסה, מקום גאומטרי ומעגל משיק (33⅓ נקודות)

הנתונים. האליפסה קנונית, כלומר משוואתה x²a² + y²b² = 1, ומרכזה בראשית. הנקודה A(1 , 3) נמצאת עליה, והמוקד הימני הוא (√6.4 , 0).

סעיף א: משוואת האליפסה

המוקדים על ציר ה-x, ולכן הציר הגדול אופקי ו-a > b. המרחק מן המרכז אל המוקד הוא c = √6.4, והקשר באליפסה הוא:

A נמצאת על האליפסה, ולכן היא מקיימת את המשוואה:

נסמן t = b², ואז a² = t + 6.4:

נכפול במכנה המשותף t(t + 6.4):

הפתרון השלילי, t = −6, נפסל, כי b² חיובי. נשאר t = 9.6, כלומר b² = 9.6 ו-a² = 9.6 + 6.4 = 16.

בדיקה: 116 + 99.6 = 0.0625 + 0.9375 = 1.

משוואת האליפסה: x²16 + y²9.6 = 1.

סעיף ב: המקום הגאומטרי של P

B היא נקודת החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה-x, ולכן B(a , 0) = B(4 , 0).

הישר AO עובר בראשית וב-A(1 , 3), ושיפועו 3. לכן משוואתו y = 3x, וכל נקודה עליו אפשר לכתוב בצורה C(t , 3t), כש-t מספר כלשהו.

P היא אמצע BC, ולכן:

מן המשוואה הראשונה t = 2x − 4. נציב בשנייה:

t עובר על כל המספרים, ולכן גם x עובר על כל המספרים, ו-P ממלאת את כל הישר.

המקום הגאומטרי של P הוא הישר y = 3x − 6.

כדאי לראות למה יצא דווקא ישר המקביל ל-AO. כל קטע BC מתחיל באותה נקודה B, ואמצעו נמצא בדיוק בחצי הדרך מ-B אל הישר AO. לכן כל האמצעים יושבים על ישר מקביל ל-AO, באמצע הרצועה שבין B לבין AO. למשל, כש-C = O, האמצע הוא (2 , 0), והוא אכן על y = 3x − 6.

סעיף ג: המעגל המשיק לשני הישרים

המעגל משיק ל-AO בנקודה O, ולכן הרדיוס אל O מאונך ל-AO. שיפוע AO הוא 3, ולכן המרכז נמצא על הישר שעובר ב-O ושיפועו −⅓:

המעגל משיק גם לישר y = 3x − 6. שני הישרים המשיקים מקבילים, והמעגל כלוא ביניהם ונוגע בשניהם, ולכן הקוטר שלו שווה למרחק בין שני הישרים.

נכתוב את הישרים בצורה כללית: 3x − y = 0 ו-3x − y − 6 = 0. המרחק בין ישרים מקבילים:

נמצא את המרכז. הוא על y = −x3, נסמן אותו (m , −m3), ומרחקו מ-O הוא R:

איזה סימן? המרכז צריך להיות בין שני הישרים, בצד של AO שבו נמצא הישר y = 3x − 6. הנקודה (2 , 0) של הישר הזה נותנת 3x − y = 6 > 0, ולכן גם במרכז צריך להתקיים 3x − y > 0. עבור m = 0.9 מקבלים 3 × 0.9 + 0.3 = 3 > 0, ועבור m = −0.9 מקבלים −3 < 0. לכן m = 0.9 והמרכז (0.9 , −0.3).

בדיקה: מרחק המרכז מ-3x − y = 0 הוא |3|/√10, ומ-3x − y − 6 = 0 הוא |3 − 6|/√10. שניהם שווים ל-R.

משוואת המעגל: (x − 0.9)² + (y + 0.3)² = 0.9.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א שוכחים לפסול את הפתרון השלילי של b², או מציבים c = 6.4 במקום c² = 6.4. בסעיף ב מחפשים "עקומה" ולא שמים לב שיצא ישר. בסעיף ג לוקחים את המרחק בין הישרים כרדיוס ולא כקוטר, או בוחרים את המרכז בצד הלא נכון של AO, ואז המעגל לא יכול לגעת בישר השני.

שאלה 2, תיבה במרחב (33⅓ נקודות)

הנתונים. ABCDA′B′C′D′ תיבה. לפי הסרטוט ABCD הפאה התחתונה ו-A′B′C′D′ העליונה, והמקצועות AA′, BB′, CC′, DD′ אנכיים לשתיהן. משוואת המישור A′B′C′D′ היא x + 4y − 8z − 142 = 0, ו-B(0 , 7 , 6).

סעיף א: אורך המקצוע BB′

בתיבה המקצוע BB′ מאונך לפאה A′B′C′D′, ולכן אורכו הוא המרחק של B מן המישור:

BB′ = 18.

(נשתמש בזה בהמשך: הווקטור (1 , 4 , −8) מאונך לפאה העליונה ואורכו 9, ולכן B′ = B + 2(1 , 4 , −8) = (2 , 15 , −10). בדיקה: 2 + 60 + 80 − 142 = 0.)

סעיף ב: הקודקוד A

A על הישר AB, ולכן A = (0 , 7 + 2t , 6 + t) עבור t מסוים. אורך וקטור הכיוון (0 , 2 , 1) הוא √5, ולכן:

נתון ששיעור ה-y של A שלילי, ולכן A(0 , −3 , 1).

סעיף ג: משוואת המישור ABB′A′

המישור מכיל שני כיוונים שאינם מקבילים:

• כיוון AB: (0 , 2 , 1).
• כיוון BB′: הוא מאונך לפאה העליונה, ולכן מקביל לנורמל שלה (1 , 4 , −8).

נורמל למישור ABB′A′ מאונך לשני הכיוונים. נחפש n = (p , q , s):

נבחר q = −1, ואז n = (20 , −1 , 2). המישור עובר ב-B(0 , 7 , 6):

בדיקה ב-A(0 , −3 , 1): 0 + 3 + 2 − 5 = 0. ובדיקה ב-B′(2 , 15 , −10): 40 − 15 − 20 − 5 = 0.

משוואת המישור ABB′A′: 20x − y + 2z − 5 = 0.

סעיף ד: הערך של k

M(k , 1 , 3), כש-k > 0. הזווית בין הישרים AB ו-AM היא הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם:

נתון ש-k חיובי, ולכן k = √60 = 2√15 (בערך 7.75).

סעיף ה: נפח התיבה

נפח התיבה הוא מכפלת שלושת המקצועות שיוצאים מקודקוד אחד: AB, BB′ ו-BC. שניים כבר ידועים: AB = 5√5 ו-BB′ = 18. חסר BC.

הפאה DCC′D′ מקבילה לפאה ABB′A′, ו-BC מאונך לשתיהן, ולכן BC הוא המרחק בין שני המישורים. M נמצאת על DCC′D′, ולכן BC הוא בדיוק המרחק של M מן המישור ABB′A′:

ועכשיו הנפח:

נפח התיבה: 400√15 יחידות נפח (בערך 1549.2).

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב שוכחים שיש שתי נקודות במרחק 5√5 מ-B על הישר, ולא משתמשים בנתון על הסימן של y. בסעיף ג מחפשים כיוון שני בתוך הפאה התחתונה במקום להבין ש-BB′ מקביל לנורמל של הפאה העליונה. בסעיף ה מנסים למצוא את C או את D, ואין בזה צורך: המרחק של M מן המישור שמצאנו בסעיף ג הוא כבר אורך המקצוע החסר.

שאלה 3, מספרים מרוכבים, פרבולה ומצולעים (33⅓ נקודות)

סעיף א: המקום הגאומטרי הוא פרבולה

נציב z = x + iy. אז z̄ = x − iy, ולכן:

המשוואה הופכת ל:

אגף שמאל אינו שלילי, ולכן יש פתרון רק כש-y + 2 ≥ 0. בתנאי הזה מותר להעלות בריבוע:

בכל נקודה של x² = 8y מתקיים y = x²8 ≥ 0, ולכן התנאי y + 2 ≥ 0 מתקיים מעצמו, וכל הפרבולה שייכת למקום הגאומטרי.

המקום הגאומטרי הוא הפרבולה x² = 8y, כלומר y = x²8.

יש גם דרך לראות את זה בלי חישוב: |z − 2i| הוא המרחק מן הנקודה (0 , 2), ו-y + 2 הוא המרחק מן הישר y = −2. נקודות שמרחקן ממוקד שווה למרחקן ממדריך הן בדיוק פרבולה, וכאן המוקד (0 , 2) והמדריך y = −2.

הנתונים להמשך. w = r(cos θ + i sin θ), כש-r > 0 ו-0° < θ < 90°. קודקודי מצולע I הם הפתרונות של:

סעיף ב: קודקודי מצולע I

לפי משפט דה-מואבר, השורשים מסדר 4 של מספר שהערך המוחלט שלו 1r⁴ והזווית שלו 4θ הם בעלי ערך מוחלט 1r, וזוויותיהם 4θ + 360°k4 = θ + 90°k, עבור k = 0, 1, 2, 3:

ארבע הנקודות על מעגל שרדיוסו 1r, במרווחים שווים של 90°, ולכן מצולע I הוא ריבוע.

סעיף ג: קודקודי מצולע II

• הכפלה במינוס 1 מוסיפה 180° לזווית.
• היפוך מחליף את הערך המוחלט ב-1r ומחליף את הזווית בנגדית שלה.

לכן:

סעיף ד: מתי מצולע II מעוין

w ו-−w סימטריים זה לזה ביחס לראשית, וכך גם 1w ו-−1w. לכן הקטע שבין w ל-−w והקטע שבין 1w ל-−1w חוצים זה את זה בראשית. אלה האלכסונים של המצולע, ולכן מצולע II הוא תמיד מקבילית.

מקבילית היא מעוין אם ורק אם האלכסונים שלה מאונכים זה לזה. אלכסון אחד מונח על הקרן בזווית θ, והשני על הקרן בזווית −θ, ולכן הזווית ביניהם היא 2θ. מכיוון ש-0° < θ < 90°, מתקיים 0° < 2θ < 180°, ולכן:

θ = 45°.

סעיף ה: היחס בין השטחים

עכשיו θ = 45°, ו-w על הפרבולה x² = 8y. בצורה אלגברית:

לכן x = y = r√2, ונציב במשוואת הפרבולה:

r√2 חיובי, ומותר לחלק בו:

שטח מצולע II. במעוין השטח הוא מחצית מכפלת האלכסונים. האלכסון בין w ל-−w אורכו 2r, והאלכסון בין 1w ל-−1w אורכו 2r:

שטח מצולע I. הריבוע חסום במעגל שרדיוסו 1r, ולכן כל אחד משני האלכסונים שלו הוא קוטר באורך 2r:

היחס:

שטח מצולע II גדול פי 128 משטח מצולע I, כלומר היחס הוא 128 : 1.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א שוכחים ש-z − z̄2i הוא מספר ממשי, y, ומנסים לעבוד עם i בצד ימין. בסעיף ב כותבים את השורשים עם ערך מוחלט 1r⁴ במקום 1r. בסעיף ג שוכחים שהיפוך הופך גם את הזווית לנגדית ולא רק את הערך המוחלט. בסעיף ד מחפשים צלעות שוות בחישוב ארוך, כשמספיק לשים לב שזו תמיד מקבילית ולבדוק את הזווית בין האלכסונים.

פרק שני, גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שאלה 4, הפונקצייה g(x) = e^f(x) · f′(x) (33⅓ נקודות)

הנתונים. f′(x) היא הנגזרת של f(x), ו-g(x) = e^f(x) · f′(x). שלוש הפונקציות מוגדרות ב-x ≠ 0. f יורדת ב-x > 0 וב-x < 0, ו-f′(x) ≠ 0 בכל התחום.

סעיף א: חיוביות ושליליות של g

f יורדת בכל אחד משני התחומים, ולכן f′(x) ≤ 0 בכל התחום. נתון גם ש-f′(x) ≠ 0, ולכן f′(x) < 0 לכל x ≠ 0.

הגורם e^f(x) חיובי תמיד, כי חזקה של e היא תמיד מספר חיובי.

מכפלה של מספר חיובי ומספר שלילי היא שלילית, ולכן g(x) < 0 לכל x ≠ 0.

g שלילית בכל תחום הגדרתה: ב-x < 0 וב-x > 0. אין ל-g תחום חיוביות.

מכאן ואילך f(x) = 1x, ולכן f′(x) = −1x², ו:

סעיף ב(1): אסימפטוטות המאונכות לצירים

כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף: 1x שואף ל-0, ולכן e^1/x שואף ל-1, ו-x² שואף לאינסוף. לכן g(x) שואפת ל-0.

ליד x = 0 מימין: 1x שואף לאינסוף, e^1/x שואף לאינסוף, ו-1x² שואף לאינסוף. לכן g(x) = −e^1/xx² שואפת למינוס אינסוף.

ליד x = 0 משמאל: נסמן u = 1x, ו-u שואף למינוס אינסוף. אז g = −u² × eᵘ, ו-eᵘ שואף ל-0 מהר הרבה יותר מש-u² גדל. לכן g שואפת ל-0 (מלמטה), ומשמאל אין לגרף אסימפטוטה אנכית.

האסימפטוטות: x = 0 (כש-x שואף ל-0 מימין) ו-y = 0 (בשני הקצוות).

סעיף ב(2): נקודת הקיצון

נגזור את g(x) = −x⁻² × e^1/x לפי כלל המכפלה. הנגזרת של e^1/x היא e^1/x × (−1x²):

e^1/x ו-x⁴ חיוביים, ולכן הסימן של g′ הוא הסימן של 2x + 1:

ב-x = −½ הפונקצייה עוברת מירידה לעלייה, ולכן זו נקודת מינימום:

נקודת מינימום: (−½ , −4e²).

סעיף ג: סקיצה של g

נאסוף את מה שמצאנו: הגרף כולו מתחת לציר ה-x, האסימפטוטות x = 0 (מימין) ו-y = 0, מינימום ב-(−½ , −4e²). עוד שתי נקודות עוזרות למקם את הגרף: g(−1) = −1e ≈ −0.37 ו-g(1) = −e ≈ −2.72.

הסקיצה: משמאל הגרף מגיע צמוד לציר ה-x מלמטה, יורד עד המינימום (−½ , −4e²), ואז עולה ומתקרב שוב לציר ה-x כשהוא מגיע לראשית, שבה יש נקודה ריקה (x = 0 אינו בתחום). מימין לציר ה-y הגרף יוצא ממינוס אינסוף צמוד לציר ה-y, עולה כל הזמן ומתקרב לציר ה-x מלמטה כש-x גדל.

סעיף ד: הערך של a

a > 1, ולכן ln a > 0 ו-ln(4a) > ln a > 0. מכאן ששני הישרים בצד החיובי של ציר ה-x, ו-1/ln(4a) < 1ln a. בקטע הזה g שלילית, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

כאן משתלם הנתון מתחילת השאלה: g(x) = e^f(x) × f′(x) היא בדיוק הנגזרת של e^f(x), לפי כלל השרשרת. לכן פונקציה קדומה של g היא e^1/x.

ואכן 53 > 1.

a = 53.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א מנסים לחשב משהו, כשהכול נובע משני נימוקים: f′ שלילית ו-e בחזקה כלשהי חיובי. בסעיף ב(1) מכריזים על x = 0 כאסימפטוטה משני הצדדים, ומשמאל g שואפת דווקא ל-0. בסעיף ד מחשבים אינטגרל מסובך במקום לזהות ש-g היא הנגזרת של e^f(x), ושוכחים שהשטח הוא מינוס האינטגרל כי הגרף מתחת לציר.

שאלה 5, פונקצייה לוגריתמית, פונקצייה קדומה ו-ln|g(x)| (33⅓ נקודות)

הנתונים. f(x) = (1x)(a + 1(ln x)²), כש-a פרמטר חיובי.

סעיף א: תחום ההגדרה

ln x מוגדר רק כש-x > 0, והוא נמצא במכנה, ולכן ln x ≠ 0, כלומר x ≠ 1. גם x במכנה, אבל x > 0 כבר מבטיח ש-x ≠ 0.

תחום ההגדרה: x > 0 ו-x ≠ 1.

סעיף ב: הערך של a

נכתוב f(x) = ax + 1x(ln x)² ונגזור כל איבר.

את האיבר השני נגזור לפי כלל המנה. נגזרת המכנה x(ln x)² היא (ln x)² + x × 2 ln x × (1x) = (ln x)² + 2 ln x, ולכן:

נחבר:

בנקודת הקיצון x = 1e הנגזרת מתאפסת. שם ln x = −1:

בדיקה שבאמת יש קיצון אחד בלבד: עבור a = 1 המונה הוא t³ + t + 2, כש-t = ln x, והוא מתפרק ל-(t + 1)(t² − t + 2). לגורם t² − t + 2 אין שורשים (הדיסקרימיננטה 1 − 8 שלילית), ולכן הנגזרת מתאפסת רק ב-t = −1, כלומר ב-x = 1e. בטבלה של הסעיף הבא רואים שהסימן מתחלף שם.

a = 1.

סעיף ג: הפונקצייה g

מעכשיו a = 1, ו-g′(x) = f(x) = 1x + 1x(ln x)².

נמצא פונקציה קדומה לכל איבר:

• הפונקצייה הקדומה של 1x בתחום x > 0 היא ln x.
• באיבר השני נשים לב ש-1x היא הנגזרת של ln x. זה מבנה של u′u², כש-u = ln x, והפונקצייה הקדומה שלו היא −1u. לכן הפונקצייה הקדומה היא −1ln x.

נקודת הפיתול. g″(x) = f′(x). עבור a = 1 ראינו ש-f′ מתאפסת רק ב-x = 1e, ושם הסימן שלה מתחלף:

(ב-x > 1: ln x > 0, ולכן כל הגורמים במונה ובמכנה חיוביים, ועם המינוס שלפני השבר f′ שלילית.)

ב-x = 1 אין נקודת פיתול, כי x = 1 מחוץ לתחום. לכן נקודת הפיתול היחידה היא x = 1e, ונתון שהיא על ציר ה-x, כלומר g(1e) = 0:

g(x) = ln x − 1ln x.

הערה למורה: התחום של g בנוי משני חלקים נפרדים, 0 < x < 1 ו-x > 1, ובכל חלק אפשר בעיקרון לבחור קבוע אחר. נקודת הפיתול קובעת את הקבוע רק בחלק השמאלי. השאלה מבקשת "פונקציה" המקיימת את התנאים, ולכן בוחרים את אותו ביטוי בשני החלקים. התשובה הזאת מקיימת את כל התנאים, וגם הבחירה בסעיף ו(2) לא תלויה בקבוע של החלק הימני.

סעיף ד(1): אסימפטוטות

נכתוב g(x) = ln x − 1ln x ונבדוק את קצוות התחום.

• ליד x = 0 מימין: ln x שואף למינוס אינסוף, ו-1ln x שואף ל-0. לכן g שואפת למינוס אינסוף, ו-x = 0 אסימפטוטה אנכית.
• ליד x = 1: ln x שואף ל-0. משמאל ln x שלילי קטן, −1ln x שואף לאינסוף, ו-g שואפת לאינסוף. מימין ln x חיובי קטן, ו-g שואפת למינוס אינסוף. לכן x = 1 אסימפטוטה אנכית.
• כש-x שואף לאינסוף: ln x שואף לאינסוף ו-1ln x ל-0, ולכן g שואפת לאינסוף. אין אסימפטוטה אופקית.

האסימפטוטות: x = 0 ו-x = 1. אין אסימפטוטה אופקית.

סעיף ד(2): חיתוך עם ציר ה-x

נקודות החיתוך: (1e , 0) ו-(e , 0).

סעיף ד(3): עלייה וירידה

g′(x) = f(x) = (1x)(1 + 1(ln x)²). בתחום x > 0 גם 1x וגם הסוגריים חיוביים, ולכן g′(x) > 0 בכל התחום.

g עולה ב-0 < x < 1 וב-x > 1. אין לה תחום ירידה.

סעיף ה: סקיצה של g

הסקיצה: בחלק השמאלי, 0 < x < 1, הגרף יוצא ממינוס אינסוף צמוד לציר ה-y, עולה כל הזמן, חוצה את ציר ה-x ב-(1e , 0), שהיא גם נקודת הפיתול (משמאלה הגרף קעור כלפי מטה ומימינה כלפי מעלה), וממשיך לעלות לאינסוף כשהוא מתקרב לאסימפטוטה x = 1 משמאל. בחלק הימני, x > 1, הגרף יוצא ממינוס אינסוף צמוד ל-x = 1, עולה כל הזמן, חוצה את ציר ה-x ב-(e , 0) וממשיך לעלות לאט ובלי גבול. בחלק הזה הוא קעור כלפי מטה.

סעיף ו(1): תחום ההגדרה של h

h(x) = ln|g(x)| מוגדרת כש-g מוגדרת וגם |g(x)| > 0, כלומר g(x) ≠ 0. g מתאפסת ב-1e וב-e.

תחום ההגדרה של h: x > 0, x ≠ 1e, x ≠ 1, x ≠ e.

סעיף ו(2): איזה גרף מתאר את h

נבין מה h עושה בכל קטע, מן מה שכבר יודעים על g:

• כש-|g| שואף לאינסוף, h שואפת לאינסוף. זה קורה ליד x = 0, ליד x = 1 משני הצדדים, וכש-x שואף לאינסוף.
• כש-g שואפת ל-0, h שואפת למינוס אינסוף. זה קורה ליד x = 1e וליד x = e.

לכן הגרף של h צריך לרדת מאינסוף ליד ציר ה-y, לצלול למינוס אינסוף באסימפטוטה הראשונה (1e), לטפס לאינסוף בשנייה (1), לצלול שוב בשלישית (e), ובקצה הימני לעלות בלי גבול.

• III ו-IV לא יורדים מתחת לציר ה-x, אבל h שואפת למינוס אינסוף ליד 1e וליד e. לכן הם נפסלים.
• I יוצא ממינוס אינסוף ליד ציר ה-y ויורד בקצה הימני, ו-h עושה את ההפך בשני המקומות. לכן הוא נפסל.
• II מתאים לכל ארבעת הקטעים בטבלה.

הגרף של h הוא גרף II.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב טועים בנגזרת של 1x(ln x)² ומקבלים מונה שלא מתאפס ב-1e. בסעיף ג שוכחים את הקבוע, או מציבים g(1e) = 0 בלי לבדוק ש-x = 1e היא באמת נקודת הפיתול. בסעיף ו בוחרים בגרף I כי הצורה שלו דומה, ולא שמים לב שהוא הפוך: ליד ציר ה-y הפונקצייה h חייבת לשאוף לאינסוף, כי שם |g| גדל בלי גבול.