אחוז אחד, ארבע שאלות שונות
זהו הפרק שחוזר בשאלון 35371 יותר מכל אחר, כי הוא יושב בלב האשכול הפיננסי כלכלי. הרעיון עצמו קטן: אחוז הוא חלק ממאה. מה שמפיל אנשים הוא שהנתונים מתחלפים במקומות. לפעמים נתונים השלם והשיעור ומחפשים את החלק, לפעמים נתונים החלק והשיעור ומחפשים את השלם, ולפעמים נתון מחיר אחרי שינוי וצריך לשחזר מה היה לפניו. הפרק בנוי בסדר הזה בדיוק, ואחר כך ממשיך אל שכר, רווח והפסד, אל יחס וקנה מידה, ואל תרגום סיפור למשוואה או למערכת. במעבדה שלמעלה תראו למה שני שינויים עוקבים אינם מתחברים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
עלייה של עשרים אחוזים וירידה של עשרים אחוזים אינן מחזירות למחיר המקורי. זה נשמע כמו טריק, וזו פשוט חשבונאות. העלייה מחושבת מן המחיר הישן והירידה מחושבת מן המחיר החדש, שהוא כבר גדול יותר, ולכן הירידה גורעת סכום גדול יותר מזה שנוסף. הכלי שמסדר את זה הוא מכפיל השינוי: התייקרות היא הכפלה במספר שגדול מאחד, הוזלה היא הכפלה במספר שקטן ממנו, ושני שינויים עוקבים הם מכפלה של שני המכפילים. מי שמחבר את השיעורים במקום להכפיל את המכפילים יטעה כאן, ואחר כך גם בשאלון.
ארבע השאלות שמסתתרות במילה אחוז
בכל שאלת אחוזים יש שלושה גדלים: השלם, החלק, והשיעור שהחלק מהווה מן השלם. תמיד שניים מהם נתונים ואחד מבוקש, ולכן יש בסך הכול שלוש שאלות אפשריות, ורביעית שנראית כמותן ואינה כזאת. השלישייה קשורה בנוסחה אחת: החלק שווה לשלם כפול השיעור. ממנה נגזרות שתי הצורות האחרות, ואין צורך לזכור שלוש נוסחאות נפרדות. השאלה הרביעית היא שאלת השינוי: כאן לא מחפשים חלק מתוך שלם, אלא כמה גדל או קטן גודל ביחס לעצמו. שם עובדים במכפילים ולא בחלקים. שווה לשים לב שהמילה "מתוך" מסמנת כמעט תמיד את השלם, ושהמספר שאחריה הוא זה שמחלקים בו.
נתונים השלם והשיעור
מחפשים את החלק. זו ההצבה הישירה בנוסחה, וזו השאלה הקלה מבין הארבע.
נתונים החלק והשיעור
מחפשים את השלם. כאן מחלקים ולא מכפילים, וזו הטעות השכיחה ביותר בפרק.
נתונים החלק והשלם
מחפשים את השיעור. מחלקים את החלק בשלם, ורק אחר כך הופכים את התוצאה לאחוזים.
נתון שינוי, ולא חלק
כאן לא מחפשים חלק מתוך שלם אלא מכפיל: התייקרות היא מכפיל שגדול מאחד, הוזלה היא מכפיל שקטן ממנו.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
אחוז הוא חלק ממאה
שיעור של 18% הוא בדיוק 0.18, ולכן 18% מתוך גודל מתקבלים בהכפלה ב-0.18. בכיוון ההפוך, כדי להפוך שבר עשרוני לאחוזים מכפילים במאה. זה הצעד הראשון בכל שאלה בפרק, ושווה לעשות אותו לפני כל דבר אחר.
מציאת השלם: מחלקים
כשידועים החלק והשיעור, השלם מתקבל מחלוקה ולא מהכפלה. אם 45 הם 15% מן השלם, אז השלם הוא 45 חלקי 0.15. סימן בדיקה מהיר: השלם חייב לצאת גדול מן החלק, ואם יצא קטן ממנו, הכפלתם במקום לחלק.
מכפיל השינוי
התייקרות ב-7% היא הכפלה ב-1.07. הוזלה ב-7% היא הכפלה ב-0.93. שני המכפילים האלה חוסכים את החישוב הדו שלבי, והם גם הדרך היחידה הנוחה לטפל בשינוי כפול. כדי לשחזר את הערך שלפני השינוי מחלקים במכפיל במקום להכפיל בו.
שני שינויים עוקבים
מכפילים את שני המכפילים, ולא מחברים את שני השיעורים. עלייה של 10% ואחריה עלייה של 10% נותנות מכפיל 1.21, כלומר עלייה של 21% ולא של 20%. השיעור השקול נקרא תמיד מן המכפיל הכולל: מורידים ממנו אחד, ומכפילים במאה.
הכנסה, הוצאה, רווח והפסד
הכנסה היא כל הכסף שנכנס, ורווח הוא מה שנשאר ממנו אחרי ההוצאות. עסק יכול להגדיל הכנסה ולהפסיד באותה נשימה. בעסקה בודדת הרווח הוא מחיר המכירה פחות מחיר העלות, וכשמבקשים אותו באחוזים חשוב לשאול מתוך מה: מתוך העלות או מתוך מחיר המכירה. אלה שני מספרים שונים.
יחס, פרופורציה וקנה מידה
יחס 2 : 3 אומר שעל כל שני חלקים מכאן יש שלושה משם, ובחלוקה של כמות לפי יחס סופרים קודם כמה חלקים יש בסך הכול. קנה מידה הוא יחס בין מידה בשרטוט למידה במציאות, והוא חסר משמעות בלי המרת יחידות: 1 : 100 פירושו שסנטימטר אחד בשרטוט הוא מאה סנטימטרים, כלומר מטר אחד.
שלוש דוגמאות פתורות
שחזור מחיר שלפני הוזלה, שני שינויים עוקבים והשיעור השקול להם, וסיפור שמתורגם למערכת של שתי משוואות.
- מי כאן השלם. ההנחה חושבה מן המחיר המקורי, ולכן המחיר המקורי הוא השלם, והוא הנעלם.
- המכפיל. הוזלה של 15% משאירה 85% מן המחיר, כלומר מכפילה ב-0.85.
- המשוואה. מחיר מקורי כפול 0.85 שווה 357.
- הפתרון. מחלקים במכפיל: 357 : 0.85 = 420.
- בדיקה. 420 × 0.15 = 63, וההפרש 420 − 63 = 357 מחזיר בדיוק את הנתון.
- המחיר לפני ההנחה היה 420 שקלים. שימו לב שהוספת 15% ל-357 הייתה נותנת 410.55, וזו התשובה השגויה השכיחה כאן.
- שני מכפילים. ההתייקרות היא הכפלה ב-1.3, וההוזלה שאחריה היא הכפלה ב-0.85.
- המכפיל הכולל. 1.3 × 0.85 = 1.105.
- מן המכפיל אל השיעור. מורידים אחד ומכפילים במאה: 1.105 − 1 = 0.105, כלומר 10.5%.
- למה זו לא ההפרש של השיעורים. 30 − 15 נותן 15, וזה אינו נכון, כי ההוזלה חושבה ממחיר שכבר גדל.
- התייקרות שקולה של 10.5%. אפשר לבדוק על מספר נוח: 200 → 260 → 221, ואכן 221 גדול מ-200 ב-10.5%.
- שני נעלמים. נסמן ב-a את מספר מטבעות השניים וב-b את מספר מטבעות החמישיות.
- שני תנאים, שתי משוואות. מספר המטבעות נותן a + b = 60, והסכום נותן 2a + 5b = 216.
- הצבה. מן הראשונה a = 60 − b. מציבים בשנייה: 2(60 − b) + 5b = 216.
- פתיחה וכינוס. 120 − 2b + 5b = 216, ומכאן 3b = 96 ולכן b = 32.
- חזרה לנעלם השני. a = 60 − 32 = 28.
- 28 מטבעות של שני שקלים ו-32 מטבעות של חמישה. בדיקה: 28 × 2 + 32 × 5 = 56 + 160 = 216, ושני המספרים חיוביים ושלמים, כפי שמספר מטבעות חייב להיות.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם ארבע שאלות האחוזים עצמן, אחר כך שינויים עוקבים, שכר ורווח, ולבסוף תרגום סיפור למשוואה או למערכת, יחס וקנה מידה. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1שלושה גדלים: שלם, חלק ושיעור. תמיד שניים נתונים ואחד מבוקש.
- 2מציאת השלם היא חלוקה, ומציאת החלק היא הכפלה. זו הטעות השכיחה בפרק.
- 3מכפיל השינוי: התייקרות מעל אחד, הוזלה מתחת לאחד, ושחזור הוא חלוקה במכפיל.
- 4שינויים עוקבים מוכפלים, והשיעורים אינם מתחברים.
- 5סיפור נהיה משוואה אחרי שמגדירים נעלם אחד, ומערכת אחרי שמגדירים שניים ומוצאים שני תנאים.
