אותם נתונים, ושתי מסקנות שונות
שני הנושאים בפרק הזה נראים רחוקים זה מזה, ובעצם הם אותו רעיון משני צדדים. בסטטיסטיקה יש לנו נתונים שכבר קרו ואנחנו מסכמים אותם במספר אחד; בהסתברות אין לנו עדיין נתונים ואנחנו שואלים מה הסיכוי שיקרה משהו. שניהם נשענים על אותה פעולה: לספור כמה, מתוך כמה. הפרק מתחיל בטבלת שכיחויות ובשני הייצוגים שנגזרים ממנה, ממשיך לשלושת מדדי המרכז ולממוצע המשוקלל, ואז עובר להסתברות: מרחב מדגם, מאורע, מאורע משלים, מאורעות זרים וטבלה דו ממדית. במעבדה שלמעלה תזיזו ערך אחד ותראו מה קורה לממוצע ומה לא קורה לחציון.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אפשר לומר על אותה קבוצה שהיא מרוויחה הרבה, ושהיא מרוויחה מעט, בלי לשקר אף פעם. תשעה עובדים מרוויחים סכום דומה ואחד מרוויח פי עשרה מכולם. הממוצע מחלק את הכול בעשרה, ולכן הוא נמשך מעלה אל אותו עובד יחיד ומצייר תמונה ורודה. החציון מסדר את כולם בשורה ולוקח את מי שעומד באמצע, ולכן הוא כמעט אינו מרגיש אותו. שני המספרים נכונים, והם מתארים דברים שונים. לכן השאלה בשאלון כמעט אף פעם אינה "חשבו ממוצע", אלא "איזה מדד מייצג כאן, ולמה".
מן הטבלה אל הייצוגים, ובחזרה
נתונים מגיעים כרשימה גולמית, וכמעט תמיד הצעד הראשון הוא לסדר אותם בטבלת שכיחויות: בטור אחד הערכים, ובטור השני כמה פעמים כל אחד מהם הופיע. סכום הטור השני הוא מספר הנתונים כולו, וזו בדיקה שכדאי לעשות מיד. מן הטבלה נגזרים שני ייצוגים ויזואליים ולא להפך: דיאגרמת עמודות, שבה גובה העמודה הוא השכיחות והיא נוחה להשוואה בין ערכים ובין קבוצות; ודיאגרמת עיגול, שבה כל העיגול הוא כלל הנתונים והגזרה נקבעת לפי השכיחות היחסית. המעבר לעיגול מחייב שלב ביניים: מחשבים שכיחות יחסית, ורק אחר כך מכפילים בשלוש מאות ושישים מעלות. שווה לזכור שהבחירה בין שני הייצוגים אינה עניין של טעם: עמודות עונות על השאלה "מי גדול ממי", ועיגול עונה על השאלה "איך השלם מתחלק".
טבלת השכיחויות
היא הצורה שממנה נוח לחשב הכול. שני הייצוגים הוויזואליים נגזרים ממנה, ולא להפך, ולכן שווה לבנות אותה ראשונה גם כשהנתונים הגיעו כרשימה גולמית.
שכיחות ושכיחות יחסית
שכיחות היא כמה פעמים מופיע ערך; שכיחות יחסית היא החלק שהוא מהווה מכלל הנתונים. הראשונה טובה להשוואה בתוך הקבוצה, השנייה טובה להשוואה בין קבוצות בגדלים שונים.
מתי עמודות
כשרוצים להשוות גדלים זה לזה, ובמיוחד כששתי קבוצות נמדדות באותם ערכים. גובה העמודה נקרא ישירות, וההשוואה מיידית.
מתי עיגול
כשרוצים להראות איך שלם אחד מתחלק לחלקים. כל העיגול הוא כל הנתונים, וגודל הגזרה נקבע לפי השכיחות היחסית: השיעור מוכפל בשלוש מאות ושישים מעלות.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
כמותי ואיכותי
נתון כמותי הוא מספר שאפשר לחשב איתו: גובה, ציון, מספר אחים. נתון איכותי הוא קטגוריה: צבע, מקצוע מועדף, אמצעי הגעה. על נתון איכותי אפשר לחשב שכיחות ושכיח, אבל ממוצע וחציון חסרי משמעות לגביו, וזו הבחנה שהשאלון בודק ישירות.
שכיחות מול שכיחות יחסית
שכיחות היא כמה פעמים הופיע ערך. שכיחות יחסית היא אותה שכיחות חלקי מספר הנתונים כולו, והיא נכתבת כשבר או כאחוזים. סכום כל השכיחויות היחסיות הוא תמיד אחד, ובאחוזים מאה, וזו בדיקה מהירה לטבלה שלמה.
שלושת מדדי המרכז
ממוצע: סכום הערכים חלקי מספרם. חציון: מסדרים ולוקחים את האמצעי, ובמספר זוגי של ערכים לוקחים את הממוצע של שני האמצעיים. שכיח: הערך הנפוץ ביותר, והוא היחיד מן השלושה שמתאים גם לנתון איכותי.
ממוצע משוקלל
כשלרכיבים משקלים שונים, מכפילים כל ציון במשקלו ומחברים. שימו לב שסכום המשקלים חייב להיות אחד, או מאה אחוזים. כשהציון הסופי ידוע ואחד המשקלים חסר, מסמנים אותו בנעלם ופותרים משוואה, בדיוק כמו בפרק 1.
מרחב מדגם ומאורע
מרחב המדגם הוא רשימת כל התוצאות האפשריות, ומאורע הוא קבוצה של תוצאות מתוכו. הסיכוי הוא מספר התוצאות שמתאימות למאורע חלקי מספר כל התוצאות, ובלבד שכולן שוות סיכוי. סיכוי הוא תמיד בין אפס לאחד, וסכום הסיכויים של כל התוצאות במרחב הוא אחד.
משלים, וזרים
הסיכוי שמאורע לא יקרה הוא ההשלמה שלו לאחד, וזו לרוב הדרך הקצרה. שני מאורעות נקראים זרים כשאין תוצאה שמשותפת לשניהם, ורק אז מותר לחבר את הסיכויים שלהם. כשיש תוצאה משותפת, החיבור סופר אותה פעמיים, והתוצאה גדולה מדי.
שלוש דוגמאות פתורות
ממוצע שמחושב מתוך טבלת שכיחויות, משקל חסר בממוצע משוקלל, וסיכוי שנקרא מטבלה דו ממדית.
- בדיקת הטבלה. סכום השכיחויות הוא 4 + 9 + 5 + 2 = 20, וזה בדיוק מספר הנשאלים. אם הסכום לא היה יוצא, היה כאן נתון חסר.
- למה אי אפשר פשוט לחבר ארבעה מספרים. כל ערך מופיע מספר פעמים שונה, ולכן צריך לשקלל אותו בשכיחות שלו.
- הכפלה וחיבור. 0 × 4 = 0, 1 × 9 = 9, 2 × 5 = 10, 3 × 2 = 6. הסכום הוא 25.
- חלוקה. מחלקים במספר הנתונים ולא במספר השורות: 25 : 20 = 1.25.
- הממוצע הוא 1.25 אחים. שימו לב שהוא אינו מספר שלם, וזה בסדר גמור: ממוצע אינו חייב להיות ערך שהופיע בפועל.
- הגדרת הנעלם. נסמן ב-p את משקל המבחן. שני המשקלים מסתכמים לאחד, ולכן משקל העבודות הוא 1 − p.
- המשוואה. 88p + 76(1 − p) = 83.2.
- פתיחה וכינוס. 88p + 76 − 76p = 83.2, כלומר 12p = 7.2.
- פתרון. p = 7.2 : 12 = 0.6, כלומר 60% למבחן ו-40% לעבודות.
- משקל המבחן הוא 60%. בדיקה: 0.6 × 88 + 0.4 × 76 = 52.8 + 30.4 = 83.2. שימו לב שהציון הסופי יצא קרוב יותר לציון המבחן, וזה סימן סביר לכך שמשקלו גדול יותר.
- בניית טבלה דו ממדית. בשורות שתי תוצאות המטבע, ובעמודות שש תוצאות הקובייה. כל משבצת בטבלה היא תוצאה אחת של הניסוי הדו שלבי.
- גודל מרחב המדגם. 2 × 6 = 12 משבצות, וכולן שוות סיכוי.
- סימון המאורע. שורת הפלי בלבד, ובתוכה רק העמודות של 2, 4 ו-6. אלה שלוש משבצות.
- הסיכוי. 3 : 12 = 0.25, כלומר רבע.
- הסיכוי הוא 0.25. הטבלה שווה את הזמן: היא הופכת ניסוי דו שלבי לספירה פשוטה של משבצות, ומונעת את הטעות שבה סופרים תוצאה אחת פעמיים.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם קריאה מטבלה ומדדי מרכז בסיסיים, אחר כך ממוצע מטבלת שכיחויות, ממוצע משוקלל ועדכון מדד אחרי שינוי, ולבסוף הסתברות. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1טבלת שכיחויות היא המקור, ושני הייצוגים הוויזואליים נגזרים ממנה.
- 2שלושה מדדי מרכז, ורק השכיח מתאים גם לנתון איכותי.
- 3ערך חריג מושך את הממוצע וכמעט אינו מזיז את החציון.
- 4סיכוי הוא כמה מתוך כמה, ובלבד שכל התוצאות שוות סיכוי.
- 5מחברים סיכויים רק כשאין תוצאה משותפת, ואת המשלים מחשבים בהשלמה לאחד.
