כל צורה מורכבת מתפרקת לשלוש או ארבע פשוטות
זהו הפרק של אשכול ההתמצאות במישור ובמרחב, והוא בנוי על מיומנות אחת שחוזרת בכל שאלה: לפרק. גינה עם פינה עגולה מתפרקת למלבן ולחצי עיגול; חלון עם קשת מתפרק למלבן ולגזרה; ומרובע שאין לו נוסחה מתפרק לשני משולשים ישרי זווית. אחרי הפירוק כל חלק הוא נוסחה שאתם כבר מכירים. הפרק מתחיל בהיקפים ובשטחים, ממשיך לממד חסר ולהשפעה של הגדלה, ונסגר בדמיון ובשלושת היחסים במשולש ישר זווית. במעבדה שלמעלה תראו שהיחסים האלה תלויים בזווית בלבד: כשגוררים את היתר המשולש גדל, ושלושת המספרים לא זזים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אפשר לשמור על אותו היקף בדיוק, ולשנות את השטח פי כמה. שני מלבנים שהיקפם זהה יכולים להיות צר וארוך או קרוב לריבוע, והשטח שלהם רחוק זה מזה מאוד. זו אינה סתם סקרנות: היא מסבירה למה בשאלת גדר לא מספיק לדעת כמה מטרים יש, ולמה שאלה שמבקשת ממד חסר מן ההיקף ושאלה שמבקשת אותו מן השטח הן שתי שאלות שונות לגמרי. היקף הוא אורך הגבול; שטח הוא כמות המישור שבפנים. הם מודדים דברים שונים, נמדדים ביחידות שונות, ומגיבים אחרת כשמותחים את הצורה.
לפרק, לחשב, ולחבר או לחסר
לצורה המורכבת שבשאלון אין נוסחה משלה, ואין צריך שתהיה. כמעט תמיד אפשר לחתוך אותה בקווי עזר למלבנים, משולשים וחלקי עיגול, לחשב כל חלק בנפרד, ולחבר. כשיש חלק פנימי שאינו נספר, בריכה בתוך גינה או חלון בתוך קיר, מחשבים את השלם ומחסירים ממנו את הפנימי. שתי אזהרות שנופלות בהן שוב ושוב: קווי הפירוק שציירתם אינם חלק מן הגבול, ולכן הם נכנסים לחישוב השטח ולא לחישוב ההיקף; וחור אינו גורע מן ההיקף אלא מוסיף לו, כי הוא מוסיף גבול חדש בתוך הצורה. שווה גם לזכור שקשת שנמצאת על הגבול נספרת בהיקף, ואורכה הוא החלק המתאים מתוך היקף המעגל השלם. ולבסוף היחידות: היקף נמדד ביחידות אורך ושטח ביחידות שטח, והן אינן מומרות באותו אופן.
פירוק לחלקים בסיסיים
כמעט כל צורה בשאלון מתפרקת למלבנים, למשולשים ולחלקי עיגול. מחשבים כל חלק בנפרד ומחברים, ורושמים בצד מה מייצג כל מספר כדי לא להתבלבל.
כשיש חלק פנימי שאינו נספר
חור, בריכה בתוך גינה, או חלון בתוך קיר. מחשבים את השטח המלא ומחסירים ממנו את הפנימי. שימו לב שההיקף אינו מתנהג כך: החור מוסיף גבול, ואינו גורע ממנו.
מה נכנס להיקף ומה לא
קווי הפירוק שציירתם לעצמכם אינם חלק מן הגבול, ואסור לספור אותם בהיקף. לעומת זאת קשת שנמצאת על הגבול נספרת, ואורכה הוא חלק מהיקף המעגל השלם.
יחידות אורך ויחידות שטח
היקף נמדד ביחידות אורך, ושטח ביחידות שטח. במעבר בין יחידות הן אינן מתנהגות אותו דבר, ולכן שווה להמיר בתחילת הפתרון פעם אחת ולעבוד ביחידה אחת עד הסוף.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
זוויות, ומשולשים מיוחדים
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, ולכן זווית שלישית תמיד ידועה. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו, ובשווה צלעות כל זווית היא 60 מעלות. זוויות קודקודיות שוות, וזוויות בין מקבילים נותנות שוויון נוסף. אלה הכלים שמשלימים נתון חסר עוד לפני שנוגעים בנוסחה.
פיתגורס, ורק במשולש ישר זווית
סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. שימו לב לכיוון: כשמחפשים יתר מחברים, וכשמחפשים ניצב מחסרים. המשפט עובד רק כשיש זווית ישרה, ולכן בצורה מורכבת הצעד הראשון הוא לאתר או ליצור משולש ישר זווית, למשל על ידי הורדת גובה.
היקף ושטח של מרובעים
שטח מלבן הוא מכפלת צלעותיו; שטח מקבילית הוא צלע כפול הגובה אליה, ולא כפול הצלע השנייה; שטח משולש הוא מחצית מכפלת בסיס בגובה; ושטח טרפז הוא סכום הבסיסים חלקי שניים, כפול הגובה. בדלתון ובמעוין נוח לעבוד לפי מכפלת האלכסונים חלקי שניים.
מעגל, קשת וגזרה
היקף מעגל הוא פאי כפול הקוטר, ושטח עיגול הוא פאי כפול הרדיוס בריבוע. קשת היא חלק מן ההיקף וגזרה היא חלק מן השטח, ובשניהם החלק נקבע לפי היחס בין הזווית המרכזית לבין 360 מעלות. רבע מעגל, למשל, הוא בדיוק רבע מכל אחד מהם.
דמיון, והיחסים שנגררים ממנו
שתי זוויות שוות מספיקות כדי לקבוע שמשולשים דומים. יחס הדמיון הוא היחס בין צלעות מתאימות, ויחס ההיקפים שווה לו. יחס השטחים לעומת זאת הוא ריבוע יחס הדמיון: יחס דמיון 1 : 3 נותן יחס שטחים 1 : 9. זה עובד גם בכיוון ההפוך.
שלושת היחסים
במשולש ישר זווית, ביחס לזווית חדה: סינוס הוא הניצב שמולה חלקי היתר, קוסינוס הוא הניצב שלידה חלקי היתר, וטנגנס הוא מול חלקי ליד. בוחרים את היחס לפי מה שנתון ומה שמבוקש. זווית גובה נמדדת מן האופק כלפי מעלה, וזווית עומק מן האופק כלפי מטה, ושתיהן שוות בגלל המקבילים.
שלוש דוגמאות פתורות
פיתגורס בתוך טרפז, שטח שמתקבל בדרך של חיסור, וסולם שנשען על קיר.
- יוצרים משולש ישר זווית. מורידים גובה משני קצות הבסיס הקטן אל הבסיס הגדול. נוצרים באמצע מלבן, ומשני צדדיו שני משולשים ישרי זווית.
- הבסיס של כל משולש. ההפרש בין הבסיסים הוא 20 − 12 = 8, והוא מתחלק שווה בשווה בין שני הצדדים כי הטרפז שווה שוקיים. לכן כל בסיס קטן הוא 4.
- פיתגורס. השוק היא היתר, ולכן 5² − 4² = 25 − 16 = 9, ומכאן הגובה הוא 3.
- שטח. סכום הבסיסים חלקי שניים, כפול הגובה: (20 + 12) : 2 × 3 = 16 × 3 = 48.
- הגובה הוא 3 סנטימטרים והשטח 48 סנטימטרים רבועים. שימו לב שהצעד הראשון לא היה חישוב אלא סרטוט: בלי הגבהים אין כאן משולש ישר זווית בכלל.
- מזהים חיסור. השטח המבוקש הוא כל הריבוע פחות העיגול שבתוכו, ואין צורך לחשב את ארבע הפינות בנפרד.
- שטח הריבוע. 14 × 14 = 196 סנטימטרים רבועים.
- רדיוס העיגול. הקוטר הוא 14, ולכן הרדיוס הוא 7. זה הצעד שהכי קל לדלג עליו.
- שטח העיגול. פאי כפול 7², כלומר כ-153.94 סנטימטרים רבועים.
- חיסור. 196 − 153.94, כלומר כ-42.06.
- השטח שנשאר הוא כ-42.1 סנטימטרים רבועים, בערך 21% מן הריבוע. שימו לב שההיקף כאן מתנהג הפוך: הוספת העיגול הוסיפה גבול פנימי ולא גרעה ממנו.
- מסמנים. הסולם הוא היתר, המרחק מן הקיר הוא הניצב שליד הזווית, והגובה על הקיר הוא הניצב שמולה.
- בוחרים יחס. נתונים היתר והניצב שליד, ולכן היחס המתאים הוא קוסינוס: cos = 2.5 : 6, כלומר כ-0.4167.
- מן היחס אל הזווית. במחשבון, הזווית שהקוסינוס שלה הוא 0.4167 היא כ-65.4 מעלות.
- הגובה. אפשר בפיתגורס: 6² − 2.5² = 36 − 6.25 = 29.75, ומכאן כ-5.45 מטרים.
- בדיקה בדרך שנייה. 6 × sin 65.4 נותן כ-5.45 גם הוא, ושתי הדרכים מסכימות.
- הזווית היא כ-65.4 מעלות והגובה כ-5.45 מטרים. שווה לשים לב שהגובה קטן מאורך הסולם, כפי שניצב חייב להיות קטן מן היתר; אם יצא אחרת, יש שגיאה בבחירת היחס.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם זוויות, פיתגורס והנוסחאות הבסיסיות, אחר כך מעגל וחלקיו, צורות מורכבות וממד חסר, ולבסוף דמיון וטריגונומטריה. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1לפרק לפני לחשב: כל צורה מורכבת נחתכת למלבנים, משולשים וחלקי עיגול.
- 2חיבור מול חיסור: חלק פנימי שאינו נספר מחוסר מן השטח, ומוסיף להיקף.
- 3ממד חסר: שאלה מן ההיקף ושאלה מן השטח הן שתי שאלות שונות.
- 4דמיון: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, ויחס השטחים הוא ריבועו.
- 5שלושת היחסים תלויים בזווית בלבד, ובוחרים ביניהם לפי מה שנתון ומה שמבוקש.
