האלגברה שנושאת את כל השאר
כמעט כל שאלה בשאלון 35471 נשענת בשלב כלשהו על פירוק לגורמים, על פתרון משוואה או על קריאת תחום מאי שוויון. הפרק הזה מחזיר את הכלים האלה לידיים לפי סדר: קודם פירוק וצמצום, אחר כך משוואות על כל סוגיהן, ולבסוף אי שוויונות וערך מוחלט. במעבדה שלמעלה אתם מזיזים מרכז ומרחק על ציר המספרים, ורואים מדוע ערך מוחלט נותן לפעמים שתי תשובות, לפעמים אחת, ולפעמים אף אחת.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
ערך מוחלט הוא מרחק, ומרחק אינו יודע לאיזה כיוון. כשכתוב |x| = 5 השאלה אינה מה המספר, אלא אילו מספרים רחוקים חמש יחידות מן האפס. יש שניים כאלה, אחד מכל צד, ולכן התשובה היא זוג ולא מספר. אותו היגיון עצמו מסביר מיד שני דברים נוספים: |x| = 0 נותן פתרון יחיד, כי רק נקודה אחת נמצאת במרחק אפס מעצמה, ו-|x| = −7 אינו נותן דבר, כי אין מרחק שלילי. מי שפותר את שלושת המקרים בזיכרון יטעה; מי שחושב עליהם כמרחק על ציר לא יטעה אף פעם.
ארבעה צעדים שמתאימים לכל משוואה
משוואה עם שבר, משוואה עם שורש ומשוואה דו ריבועית נראות שונות לגמרי, אבל פותרים אותן באותם ארבעה צעדים. מסווגים את המשוואה כדי לדעת באיזו דרך ללכת. רושמים את תחום ההצבה מראש: מכנה אינו מתאפס, וביטוי שיושב תחת שורש ריבועי אינו שלילי. מצמצמים את המשוואה למשוואה ממעלה ראשונה או שנייה, שאותן כבר יודעים לפתור. ולבסוף בודקים ופוסלים. הצעד האחרון הוא זה שנופלים בו: העלאה בריבוע וכפל במכנה משותף אינן פעולות הפיכות, והן עלולות לייצר פתרון שנראה תקין אך אינו מקיים את המשוואה המקורית. פתרון כזה קרוי פתרון זר, והוא לא מסמן שטעיתם אלא שהדרך שבחרתם דורשת בדיקה.
מה בכלל עומד מולי?
לפני שפותרים, מסווגים. שבר במשוואה, שורש, ערך מוחלט או חזקה רביעית אינם קישוט: כל אחד מהם קובע דרך אחרת, וגם קובע איזו בדיקה חובה לעשות בסוף.
לרשום את תחום ההצבה מראש
שבר אוסר על כל ערך שמאפס מכנה. שורש ריבועי אוסר על ערך שהופך את מה שבתוכו לשלילי. רושמים את האיסורים לפני הפתרון, ולא אחריו, כי אחריו כבר קל לשכוח.
לצמצם למשוואה מוכרת
המטרה של כל הפעולות היא אחת: להגיע למשוואה ממעלה ראשונה או שנייה, שאותן יודעים לפתור. העלאה בריבוע, כפל במכנה משותף והחלפת משתנה כולן משרתות את המטרה הזאת.
לבדוק, ולפסול
העלאה בריבוע וכפל במכנה עלולות להוסיף פתרון שלא היה במשוואה המקורית. הבדיקה אינה נימוס: היא חלק מן הפתרון, ובלעדיה התשובה אינה שלמה.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
סדר הפירוק
קודם גורם משותף, תמיד. אחר כך בודקים מה נשאר: שני איברים עם חיסור ביניהם רומזים להפרש ריבועים, ושלושה איברים רומזים לטרינום. פירוק שנעצר מוקדם מדי אינו שגוי, הוא פשוט אינו גמור, ובשאלת צמצום זה בדיוק ההבדל.
טרינום שמקדמו אינו אחד
ב-ax² + bx + c מחפשים שני מספרים שמכפלתם a · c וסכומם b, מפצלים בעזרתם את האיבר האמצעי לשני איברים, ומוציאים גורם משותף מכל זוג בנפרד. אם הדרך הזאת נתקעת, נוסחת השורשים תמיד עובדת.
שבר אלגברי: לצמצם רק אחרי פירוק
מצמצמים גורמים, ולא איברים. לכן קודם מפרקים את המונה ואת המכנה, ורק אז מוחקים גורם שמופיע בשניהם. את תחום ההצבה קובעים לפי המכנה המקורי, ולא לפי זה שנשאר אחרי הצמצום.
הדיסקרימיננטה מדברת ראשונה
הביטוי b² − 4ac אומר כמה פתרונות יש עוד לפני שמחשבים אותם: חיובי נותן שניים, אפס נותן אחד, ושלילי אינו נותן דבר. בשאלת פרמטר זו לרוב כל השאלה, ואין צורך לפתור בכלל.
אי שוויון ריבועי נפתר בשרטוט
מאפסים, מוצאים את נקודות האפס, מסמנים אותן על ציר ומשרטטים פרבולה גסה. אם המקדם המוביל חיובי, הפרבולה נמוכה בין האפסים וגבוהה מחוצה להם. קוראים את התחום מן השרטוט, ולא מן הזיכרון.
אי שוויון עם מנה
אסור לכפול באגפים במכנה, כי סימנו אינו ידוע. במקום זה בודקים בנפרד את סימן המונה ואת סימן המכנה: מנה חיובית כששניהם מאותו סימן, ושלילית כשהם מסימנים שונים. הערך שמאפס את המכנה נשאר מחוץ לתחום תמיד.
שלוש דוגמאות פתורות
משוואה עם שברים שהתשובה שלה מפתיעה, אי שוויון ריבועי שנקרא משרטוט, ומשוואה עם שני שורשים שדורשת שתי העלאות בריבוע.
- תחום ההצבה, לפני הכול. המכנה x² − 4 מתפרק ל-(x − 2)(x + 2), ולכן אסור להציב x = 2 ואסור להציב x = −2. רושמים את זה בצד ולא זזים משם.
- מכנה משותף. הוא בדיוק (x − 2)(x + 2), ולכן כופלים בו את שני האגפים ומקבלים (x + 2) + (x − 2) = 4.
- פותרים. באגף שמאל נשאר 2x, ולכן 2x = 4 ומכאן x = 2.
- ועכשיו הבדיקה. הערך שקיבלנו הוא בדיוק אחד משני הערכים האסורים. הכפל במכנה הוא שיצר אותו, ובמשוואה המקורית הוא מאפס מכנה.
- למשוואה הזאת אין פתרון. שימו לב שההוכחה לכך אינה בחישוב אלא בבדיקה שאחריו.
- כבר מאופס, ולכן עוברים ישר למציאת נקודות האפס של אגף שמאל.
- פירוק. מחפשים שני מספרים שמכפלתם 2 · (−3) וסכומם −5, ומקבלים את הפירוק (2x + 1)(x − 3). בדיקה בכפל חוזר מחזירה את הביטוי המקורי.
- נקודות האפס הן אפוא x = −0.5 ו-x = 3.
- שרטוט גס. המקדם המוביל חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה: היא מתחת לציר בין שתי נקודות האפס, ומעליו משני צדיהן.
- קוראים את התחום. מבקשים גדול או שווה לאפס, כלומר את החלקים שמעל הציר ואת נקודות האפס עצמן.
- x ≤ −0.5 או x ≥ 3. שימו לב שסימן השוויון באי השוויון הוא זה שמכניס פנימה גם את שתי נקודות האפס.
- תחום ההצבה. שני הביטויים שתחת השורשים אינם יכולים להיות שליליים, ולכן x ≥ 0.
- מבודדים שורש אחד לפני שמעלים בריבוע, אחרת ההעלאה תשאיר שני שורשים במקום אחד: x + 7 = 1 + x.
- העלאה ראשונה בריבוע. אגף שמאל נותן x + 7, ואגף ימין הוא ריבוע של דו איבר ונותן 1 + 2x + x.
- מבודדים את מה שנשאר. ה-x מצטמצם משני האגפים, ונשאר 6 = 2x, כלומר x = 3.
- העלאה שנייה בריבוע נותנת x = 9, והוא בתחום ההצבה.
- בדיקה במשוואה המקורית: 16 − 9 הוא 4 − 3, ואכן 1. הפתרון הוא x = 9.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם פירוק, צמצום, חזקות ושורשים; אחר כך משוואות מכל הסוגים, ובהן אלה שדורשות בדיקה בסיום; ולבסוף אי שוויונות וערך מוחלט. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1פירוק לפי סדר: גורם משותף, ואחריו נוסחה או טרינום. פירוק חלקי אינו פירוק.
- 2תחום הצבה מראש: מכנה שאינו מתאפס, וביטוי תחת שורש שאינו שלילי.
- 3בדיקה בסיום: אחרי כפל במכנה ואחרי העלאה בריבוע, תמיד.
- 4אי שוויון ריבועי: נקודות אפס, שרטוט גס, וקריאת התחום מן השרטוט.
- 5ערך מוחלט הוא מרחק: ומכאן שניים, אחד או אף פתרון.
