שני מספרים, וכל הסדרה בידיים
סדרה חשבונית היא רשימה שבה מוסיפים בכל צעד את אותו מספר בדיוק. זה נשמע מעט, ומזה נגזר הכול: איבר במקום המאה, המקום של איבר נתון, וסכום של כמה איברים שרוצים. הסוד הוא שדי בשני מספרים, האיבר הראשון וההפרש, וכל שאלה אחרת היא הצבה. במעבדה שלמעלה אתם בוחרים את שני המספרים האלה ורואים את הסדרה נבנית, ורואים גם למה היא נראית כמו ישר שנדגם במקומות שלמים.
הערה לתלמידי חמש יחידות שהגיעו לכאן: אצלכם הנושא הזה אינו נבחן בבגרות בתשפ״ז. הפרק מיועד לרמת ארבע יחידות, ושם הוא נלמד במלואו.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
אין צורך לחבר אחד אחרי השני. ילד בן תשע התבקש פעם לחבר את כל המספרים עד מאה, והוא לא חיבר אותם. הוא כתב את הרשימה פעם אחת קדימה ופעם אחת אחורה, זו מעל זו, וראה משהו שאי אפשר לבטל אחרי שרואים אותו: כל זוג שעומד זה מול זה נותן בדיוק את אותו סכום. הקצה הקטן ביותר מזדווג עם הגדול ביותר, השני מלמטה עם השני מלמעלה, וכן הלאה. מכאן ועד לנוסחה יש צעד אחד: הסכום הוא מספר האיברים כפול הסכום של זוג אחד, לחלק לשניים, מפני שספרנו כל איבר פעמיים. זה הרעיון היחיד שצריך לזכור בכל הפרק.
מכל נתון אל אותם שני נעלמים
שאלת סדרה נראית בכל פעם אחרת, אבל היא כמעט תמיד אותה שאלה: מצאו את האיבר הראשון ואת ההפרש. אם נתונים שני איברים סמוכים, ההפרש הוא פשוט ההפרש ביניהם. אם נתונים שני איברים רחוקים, ההפרש הוא ההפרש ביניהם מחולק במספר הצעדים, וזהו מספר הצעדים ולא מספר האיברים. אם נתונים איבר אחד וההפרש, אפשר לחזור אחורה או להתקדם קדימה לכל מקום שרוצים. ואם נתונים שני סכומים חלקיים, ההפרש ביניהם הוא איבר בודד, וזה קיצור דרך שחוסך הרבה עבודה. ברגע ששני המספרים בידיים, כל שאר השאלות הן הצבה בשתי נוסחאות בלבד: אחת לאיבר הכללי, ואחת לסכום.
- שני איברים סמוכים
- שני איברים רחוקים
- איבר אחד וההפרש
- שני סכומים חלקיים
- ההפרש הוא ההפרש ביניהם
- ההפרש הוא ההפרש חלקי מספר הצעדים
- אפשר לחזור אחורה או קדימה לכל מקום
- ההפרש בין הסכומים הוא איבר בודד
ברגע שידועים האיבר הראשון וההפרש, כל שאלה אחרת בסדרה היא הצבה: איבר במקום כלשהו, המקום של איבר נתון, וסכום של כמה איברים שרוצים.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
שתי דרכי הגדרה
נוסחת האיבר הכללי נותנת כל איבר ישירות מן המקום שלו, ולכן היא נוחה כשמבקשים איבר רחוק. כלל הנסיגה נותן כל איבר מקודמו, ולכן הוא נוח כשרוצים לראות איך הסדרה נבנית. שתיהן מתארות את אותה סדרה.
מספר הצעדים, לא מספר האיברים
בין האיבר במקום השלישי לאיבר במקום השמיני יש חמישה צעדים, ולא שישה. זו הטעות שגובה הכי הרבה נקודות בפרק הזה. הכלל: מחסרים את המקומות, ולא סופרים את האיברים.
סימן ההפרש מספר הכול
הפרש חיובי נותן סדרה עולה, שלילי נותן יורדת, ואפס נותן סדרה קבועה. האיבר הראשון אינו משפיע על הכיוון כלל, רק על הגובה שממנו מתחילים.
שתי נוסחאות לסכום
כשידוע האיבר האחרון נוח לחשב לפי ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים. כשהוא אינו ידוע נוח לחשב מן האיבר הראשון ומן ההפרש בלבד. שתיהן נותנות אותו מספר, ובוחרים לפי מה שיש ביד.
מקום חייב לצאת שלם
כששואלים איזה מקום תופס מספר נתון, פותרים משוואה ובודקים את התוצאה. מקום שאינו מספר שלם וחיובי אומר דבר אחד: המספר הזה אינו איבר בסדרה כלל. זו תשובה מלאה ולא כישלון.
האמצעי הוא הממוצע
בשלושה איברים עוקבים, האמצעי שווה תמיד לממוצע של שני שכניו. זו הדרך המהירה ביותר לשאלה שבה שלושה איברים נתונים כביטויים במשתנה, והיא חוסכת את הכתיבה של שתי משוואות.
שלוש דוגמאות פתורות
חישוב איבר וסכום מן הנתונים הבסיסיים, חילוץ שני הנעלמים משני איברים רחוקים, ושאלה שבה התשובה היא מספר איברים ולא איבר.
- האיבר העשרים. מן האיבר הראשון אל העשרים יש תשעה עשר צעדים, ולא עשרים. לכן מוסיפים לאיבר הראשון תשעה עשר הפרשים.
- 8 + 19 · 5, כלומר 8 + 95, ומכאן 103.
- הסכום. האיבר האחרון כבר ידוע, ולכן נוח לחשב לפי ממוצע הקצוות: מחברים את הראשון והאחרון, מחלקים בשתיים, וכופלים במספר האיברים.
- ממוצע הקצוות הוא (8 + 103)/2, כלומר 55.5, וכפול 20 מקבלים 1110.
- האיבר העשרים הוא 103, וסכום עשרים הראשונים הוא 1110. שימו לב שהתשובה השנייה נשענת על הראשונה, ולכן טעות בצעד הראשון גוררת שתי טעויות.
- מספר הצעדים. מן המקום השלישי אל התשיעי יש שישה צעדים, כלומר ההפרש בין המקומות.
- ההפרש. הסדרה ירדה בסך הכול ב-18 לאורך שישה צעדים, ולכן בכל צעד היא יורדת ב-3, כלומר ההפרש הוא −3.
- האיבר הראשון. חוזרים אחורה שני צעדים מן המקום השלישי, וחזרה אחורה מוסיפה את הנגדי של ההפרש: 20 + 2 · 3, כלומר 26.
- האיבר השנים עשר. 26 + 11 · (−3), כלומר 26 − 33, ומכאן −7.
- הסכום: ממוצע הקצוות הוא (26 − 7)/2, כלומר 9.5, וכפול 12 מקבלים 114. שימו לב שסכום יכול להיות קטן בהרבה מן האיבר הראשון, כשההפרש שלילי.
- מזהים את הנתונים. ההפרש הוא −4, כי כל איבר קטן מקודמו בארבע, והאיבר הראשון הוא 45.
- נוסחת האיבר הכללי. 45 + (n − 1)(−4), ואחרי פתיחת הסוגריים 49 − 4n.
- הדרישה. מבקשים איברים חיוביים, כלומר 49 − 4n > 0, ומכאן 4n < 49 ולכן n < 12.25.
- וכאן הזהירות. המקום חייב להיות מספר שלם, ולכן המקום האחרון שמקיים את התנאי הוא השנים עשר. אי אפשר לעגל כאן כלפי מעלה.
- יש 12 איברים חיוביים. בדיקה: האיבר במקום השנים עשר הוא 1, והאיבר שאחריו הוא −3. הבדיקה הזאת מפרידה בין תשובה נכונה לתשובה שסטתה במקום אחד.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם איברים והפרשים, אחר כך סכומים, ולבסוף שאלות שמערבבות בין השניים ובין הסדרה לפונקציה. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1שני נעלמים בלבד: האיבר הראשון וההפרש, וכל השאר נגזר מהם.
- 2צעדים ולא איברים: מחסרים את המקומות, ולא סופרים את הרשימה.
- 3שתי נוסחאות סכום: בוחרים לפי מה שנתון, והתוצאה זהה.
- 4מקום חייב לצאת שלם: תוצאה עשרונית אומרת שהמספר אינו בסדרה.
- 5סדרה היא ישר עם חורים: אותו שיפוע, אבל רק במקומות שלמים.
