נדב כץלמידה ברמה אחרת
חוברת קיץ · מסיימי כיתה י׳ 4 יחידות
פרק 4 מתוך 6 · גאומטריה אנליטית

צורה שאפשר לחשב, ולא רק לראות

גאומטריה אנליטית היא הרעיון שאפשר להוכיח טענה על צורה בלי סרגל ובלי מד זווית, רק בעזרת שיעורים. הפרק בנוי בשלוש שכבות: קודם שתי נקודות ומה שנגזר מהן, אחר כך הישר על כל הצגותיו, ולבסוף המשולש והמרובע עם התיכון, הגובה והאנך האמצעי. במעבדה שלמעלה אתם מזיזים נקודה אחת ורואים איך שלושה גדלים משתנים יחד, וכולם נגזרים מאותם שני ניצבים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת

מעבדת שתי הנקודות הזיזו את הנקודה השנייה, וראו את שלושת הגדלים משתנים יחד
שתי הנקודות אמצע הקטע משולש העזר
שיפוע: 0
 
אמצע הקטע: (0 , 0)
שיעור אופקי של הנקודה השנייה4
שיעור אנכי של הנקודה השנייה4

שלוש הנוסחאות הן נוסחה אחת. מרחק, שיפוע ואמצע נראים כמו שלושה דברים שיש לזכור, והם למעשה שלוש קריאות של אותו ציור. מותחים בין שתי הנקודות קטע, ומשלימים אותו למשולש ישר זווית בעזרת ניצב אופקי וניצב אנכי. הניצב האופקי הוא הפרש השיעורים האופקיים, והניצב האנכי הוא הפרש הגבהים. מכאן: המרחק הוא היתר, ומוצאים אותו בפיתגורס. השיפוע הוא היחס בין שני הניצבים. והאמצע הוא הממוצע בכל אחד מן הכיוונים בנפרד. מי שמצייר את המשולש הזה בכל שאלה כמעט אינו צריך לזכור נוסחה בכלל.

מבט מקרוב

שלושה ישרים מיוחדים במשולש

בשאלת משולש במערכת צירים כמעט תמיד מבקשים אחד משלושה ישרים, וההבדל ביניהם הוא כל ההבדל. תיכון יוצא מקודקוד אל אמצע הצלע שממול, ולכן צריך למצוא קודם את אותו אמצע. גובה יוצא מקודקוד וניצב לצלע שממול, ולכן צריך למצוא קודם את שיפוע הצלע ואז להפוך אותו ולהחליף סימן. אנך אמצעי דורש את שניהם יחד: הוא ניצב לקטע וגם עובר דרך אמצעו, וזו הסיבה שהוא זה שמופיע בשאלות על שוויון מרחקים. כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה משני קצות הקטע, וזו טענה שאפשר להשתמש בה ישירות. שימו לב: הפרק הזה אינו עוסק בחוצי זוויות. הם אינם נבחנים בתשפ״ז בשאלון שהחוברת מכינה אליו, ולכן אין להם כאן זכר.

תיכון, גובה, אנך אמצעי
תיכון

יוצא מקודקוד אל אמצע הצלע שממול. הדרך: מוצאים את האמצע בעזרת ממוצע השיעורים, ואז כותבים ישר דרך שתי נקודות.

אמצע צלע
גובה

יוצא מקודקוד וניצב לצלע שממול. הדרך: מוצאים את שיפוע הצלע, הופכים ומחליפים סימן, ואז כותבים ישר דרך הקודקוד.

ניצבות
אנך אמצעי

ניצב לקטע ועובר דרך אמצעו. שתי דרישות ולא אחת, ולכן צריך גם את האמצע וגם את השיפוע הניצב.

שניהם יחד
מה זה נותן

אנך אמצעי הוא בדיוק אוסף הנקודות ששוות מרחק משני קצות הקטע. זו הסיבה ששאלה על שוויון מרחקים נפתרת כמעט תמיד בעזרתו.

שוויון מרחקים
שלושת הישרים האלה נשמעים דומים, ורק אחד מהם דורש גם אמצע וגם ניצבות. זיהוי נכון של מי מהם מבקשים הוא חצי מן השאלה.
שש תזכורות לפני התרגול

מה חשוב לזכור

שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.

1

ממוצע, ולא הפרש

אמצע קטע מתקבל מממוצע השיעורים של שני הקצוות, בכל כיוון בנפרד. המרחק, לעומת זאת, מתקבל מן ההפרשים. הבלבול בין השניים הוא הטעות השכיחה ביותר בפרק, והבדיקה מהירה: אמצע חייב ליפול בין שני הקצוות.

2

שיפוע מכל שתי נקודות

הפרש הגבהים חלקי הפרש השיעורים האופקיים. אין חשיבות לסדר, כל עוד מחסרים באותו סדר במונה ובמכנה. שיפוע חיובי מטפס, שלילי יורד, אפס אופקי, ולישר אנכי אין שיפוע כלל.

3

לכתוב ישר בשתי דרכים

אם נתונים שיפוע ונקודה, מציבים אותם ומוצאים את החיתוך עם הציר האנכי. אם נתונות שתי נקודות, מוצאים קודם את השיפוע וממשיכים כרגיל. הבדיקה תמיד אותה בדיקה: הנקודה השנייה חייבת לקיים את המשוואה.

4

מקבילות מול ניצבות

שיפועים שווים ומקדמים חופשיים שונים נותנים ישרים מקבילים. שיפועים שווים ומקדמים חופשיים שווים נותנים ישר אחד. מכפלת שיפועים −1 נותנת ניצבות, ולכן שיפוע הניצב הוא ההופכי הנגדי.

5

שטח בבחירת בסיס חכמה

אם לצורה יש צלע שמקבילה לאחד הצירים, קחו אותה כבסיס: אורכה הוא הפרש שיעורים פשוט, והגובה אליה הוא מרחק אנכי או אופקי. מצולע בלי צלע כזאת מפרקים לחלקים או משלימים למלבן.

6

הוכחה, לא מדידה

כדי להוכיח ניצבות מראים מכפלת שיפועים. כדי להוכיח שוויון אורכים מחשבים שני מרחקים ומשווים. כדי להוכיח מקבילית מראים ששני זוגות הצלעות מקבילים, או שהאלכסונים חוצים זה את זה. שרטוט מסייע להבין, אך אינו הוכחה.

אותו שיפוע
m₁ = m₂
מקבילים
אותו שיפוע, מקדם חופשי שונה. הישרים נעים באותו כיוון בדיוק ולעולם אינם נפגשים.
מכפלה מינוס אחד
m₁ · m₂ = −1
ניצבים
מכפלת השיפועים היא −1, ולכן כל שיפוע הוא ההופכי הנגדי של האחר. אחד מטפס והשני צונח.
נפתור יחד, שלב אחרי שלב

שלוש דוגמאות פתורות

כל מה שנגזר משתי נקודות, מציאת גובה במשולש, וחישוב שטח בבחירת בסיס נוחה.

דוגמה 1נתונות A(−1, 2) ו-B(5, 10). מצאו את אורך AB, את אמצע AB, ואת משוואת הישר AB.
  1. שני ההפרשים. ההפרש האופקי הוא 5 − (−1), כלומר 6, וההפרש האנכי הוא 10 − 2, כלומר 8. שני אלה הם ניצבי משולש העזר.
  2. אורך. פיתגורס: 36 + 64 הוא 100, ושורשו 10.
  3. אמצע. ממוצע בכל כיוון בנפרד: (−1 + 5)/2 נותן 2, ו-(2 + 10)/2 נותן 6.
  4. שיפוע. ההפרש האנכי חלקי האופקי, כלומר 86, ואחרי צמצום 43.
  5. משוואה. מציבים את השיפוע ואת אחת הנקודות ומוצאים את המקדם החופשי.
  6. אורך 10, אמצע (2, 6), ומשוואה y = (43)x + 103. בדיקה: הצבת x = 5 מחזירה 10, כלומר הנקודה השנייה אכן על הישר.
דוגמה 2במשולש A(0, 1), B(8, 1), C(2, 7). מצאו את משוואת הגובה מ-B אל הצלע AC.
  1. מה מבקשים. גובה, ולכן צריך שני דברים: שיפוע ניצב לצלע AC, והקודקוד B שדרכו הוא עובר. אין כאן שום צורך באמצע.
  2. שיפוע הצלע. (7 − 1)/(2 − 0), כלומר 3.
  3. שיפוע הגובה. ההופכי הנגדי, כלומר −13. בדיקה: מכפלת השניים היא −1.
  4. המשוואה. מציבים את הקודקוד B ואת השיפוע החדש, ומוצאים את המקדם החופשי.
  5. y = (−13)x + 113. בדיקה: הצבת x = 8 נותנת 1, כלומר הישר אכן עובר דרך B. שימו לב שהגובה כאן אינו פוגע באמצע הצלע, וזה בסדר גמור: זה בדיוק ההבדל בינו לבין תיכון.
דוגמה 3מצאו את שטח המשולש שקודקודיו A(1, 2), B(7, 2) ו-C(4, 9).
  1. מחפשים צלע נוחה. לשתי הנקודות הראשונות אותו גובה, ולכן הצלע ביניהן אופקית. זו הצלע שנבחר כבסיס.
  2. אורך הבסיס הוא הפרש השיעורים האופקיים בלבד: 7 − 1, כלומר 6. אין צורך בפיתגורס.
  3. הגובה אל בסיס אופקי הוא המרחק האנכי מן הקודקוד השלישי אליו: 9 − 2, כלומר 7.
  4. שטח. מחצית המכפלה של הבסיס בגובה.
  5. (6 · 7)/2, כלומר 21. שימו לב שהשיעור האופקי של הקודקוד השלישי לא נכנס לחישוב כלל: אפשר להזיז אותו ימינה ושמאלה והשטח לא ישתנה.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול הפרק

ניקוד: 0 / 0

שלושה סטים של שש שאלות: קודם שתי נקודות והישר, אחר כך המשולש ושלושת הישרים המיוחדים, ולבסוף הוכחות, מרובעים ושטחים. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

מה יש בפרק הזה

  • 1משולש עזר אחד: ממנו המרחק, השיפוע והאמצע, כולם יחד.
  • 2אמצע הוא ממוצע: ומרחק הוא הפרש. אלה שתי פעולות שונות.
  • 3שלושה ישרים במשולש: תיכון צריך אמצע, גובה צריך ניצבות, ואנך אמצעי צריך את שניהם.
  • 4שטח: בוחרים בסיס שמקביל לציר, ואז הכול הופך לחיסור.
  • 5הוכחה בשיעורים: ניצבות ממכפלת שיפועים, ושוויון אורכים משני מרחקים.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! כאן הצורות פוגשות מספרים. שרטטו לעצמכם בכל שאלה, גם אם השרטוט גס.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי