לתאר נתונים, ולהעריך סיכוי
הפרק האחרון בחוברת מחבר שני נושאים שנראים רחוקים ואינם. סטטיסטיקה מתארת נתונים שכבר נאספו: איפה הם יושבים, וכמה הם מפוזרים. הסתברות מעריכה סיכוי לפני שקורה משהו. שניהם עובדים על אותה שאלה מזווית אחרת. במעבדה שלמעלה אתם מרחיקים נתון אחד מן השאר ורואים איזה מדד מרכז נסחב אחריו ואיזה כמעט אינו זז.
שני דברים שלא תמצאו כאן, בכוונה: מדדי מיקום שמחלקים את הנתונים לארבעה או לעשרה חלקים שווים, וניסוי שיש בו שלושה שלבים. שניהם אינם נבחנים בתשפ״ז בשאלון 35471, ולכן הם אינם בחוברת. כל עץ ההסתברות כאן הוא בן שני שלבים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
אותו תא בטבלה, ושתי הסתברויות שונות לגמרי. נניח שבטבלה כתוב שיש עשרים ותשעה תלמידים שגם לומדים מגמה מסוימת וגם משתתפים בחוג. אפשר לשאול מה הסיכוי שתלמיד מן המגמה משתתף בחוג, ואפשר לשאול מה הסיכוי שתלמיד מן החוג לומד במגמה. שתי השאלות מסתכלות על אותו מספר בדיוק, אבל מחלקות אותו בשני מספרים שונים: הראשונה בסכום השורה, והשנייה בסכום הטור. לכן שתי התשובות שונות, ולרוב מאוד. אין כאן שום נוסחה שצריך לזכור, יש רק שאלה אחת שצריך לשאול: בתוך איזו קבוצה אנחנו כבר נמצאים? הקבוצה הזאת היא המכנה.
חמישה מדדים, ומה כל אחד רגיש אליו
אין מדד אחד שמתאר קבוצת נתונים. יש שלושה מדדי מרכז שאומרים איפה הנתונים יושבים, ושני מדדי פיזור שאומרים כמה צפופים הם שם. ההבדל המעשי ביניהם מתגלה ברגע שנכנס ערך חריג. הממוצע מחשב את כל הנתונים יחד, ולכן מספר אחד שרחוק מכולם מושך אותו אליו בכוח. החציון סופר מקומות בלבד, ולכן אותו ערך חריג כמעט אינו מזיז אותו. השכיח אינו מסתכל על גדלים כלל, וזה המדד היחיד שאפשר לחשב גם למשתנה איכותי כמו צבע. הטווח נשען על שני נתונים בלבד, ולכן הוא מדד פיזור חלש. וסטיית התקן שוקלת את כל המרחקים מן הממוצע יחד, ולכן היא המדד שמבחין בין שתי קבוצות שיש להן אותו ממוצע בדיוק ופיזור שונה לגמרי.
סכום כל הנתונים חלקי מספרם. מושפע מכל נתון ונתון, ולכן רגיש מאוד לערך חריג: מספר אחד שרחוק מכולם מושך אותו אליו.
הערך שבאמצע אחרי סידור מקטן לגדול. סופר מקומות ולא גדלים, ולכן ערך חריג כמעט אינו מזיז אותו. זה מה שהופך אותו למדד המועדף כשיש חריגים.
הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. יכול להיות יותר מאחד, ויכול גם לא להיות כלל. זה המדד היחיד שמתאים גם למשתנה איכותי.
ההפרש בין הגדול ביותר לקטן ביותר. מדד פיזור חלש, מפני שהוא נשען על שני נתונים בלבד ומתעלם לגמרי מכל מה שביניהם.
מודדת כמה רחוקים הנתונים מן הממוצע, בממוצע. סטייה קטנה אומרת שהנתונים צפופים סביבו, וסטייה גדולה אומרת שהם מפוזרים. שתי קבוצות יכולות לחלוק ממוצע ולהיות שונות לגמרי בפיזור.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור.
סוג המשתנה קובע הכול
איכותי מתאר תכונה שאין לה סדר מספרי, כמו צבע או ענף ספורט. כמותי בדיד סופר, ולכן ערכיו קפיצות שלמות. כמותי רציף מודד, ולכן בין כל שני ערכים יש עוד. סוג המשתנה מכריע איזו הצגה גרפית מותרת ואיזה מדד מרכז אפשר לחשב.
מצטברת עונה על מתחת ל
שכיחות מצטברת אומרת כמה נבדקים קיבלו ערך מסוים או פחות ממנו. מכאן שני שימושים: כמה יש מתחת לערך נתון מתקבל ישירות, וכמה יש בערך אחד בדיוק מתקבל מהפרש בין שתי שורות סמוכות.
ממוצע משוקלל אינו ממוצע של ממוצעים
כשמחברים שתי קבוצות בגדלים שונים, מחשבים את הסכום הכולל ומחלקים במספר הכולל. הקבוצה הגדולה מושכת חזק יותר. ממוצע של שני הממוצעים נכון רק אם שתי הקבוצות שוות בגודלן.
מה עושה שינוי לכל הנתונים
הוספת קבוע מזיזה את הממוצע, את החציון ואת השכיח באותו מספר, ואינה נוגעת בטווח ובסטיית התקן. כפל בקבוע מכפיל את כולם, גם את מדדי המרכז וגם את מדדי הפיזור.
המשלים מקצר חישוב
כשמבקשים לפחות אחד, כמעט תמיד קל יותר לחשב את המאורע ההפוך, שהוא אף אחד, ולחסר אותו מאחד. במקום לסכום כמה מקרים, מחשבים מקרה יחיד.
איחוד, וההפרש בין זרים ללא זרים
מאורעות זרים אינם יכולים לקרות יחד, ולכן ההסתברות לאיחוד היא סכום פשוט. אם הם יכולים לקרות יחד, הסכום סופר את החלק המשותף פעמיים, ולכן מחסרים אותו בדיוק פעם אחת.
שלוש דוגמאות פתורות
שלושת מדדי המרכז על אותה רשימה, סטיית תקן שלב אחר שלב, ועץ בן שני שלבים.
- הרשימה כבר מסודרת מקטן לגדול, וזה תנאי לחציון ולא לממוצע. אם היא לא הייתה מסודרת, הצעד הראשון היה לסדר.
- ממוצע. מחברים את כל הששה ומקבלים 48, ומחלקים בשש: 8.
- חציון. מספר הנתונים זוגי, ולכן אין איבר יחיד באמצע: לוקחים את שני האמצעיים, 7 ו-8, ומחשבים את הממוצע שלהם, 7.5.
- שכיח. הערך שמופיע הכי הרבה פעמים הוא 7, וכל השאר מופיעים פעם אחת.
- ממוצע 8, חציון 7.5, שכיח 7. שלושתם קרובים כאן, וזה עצמו מידע: אין ברשימה ערך חריג שמושך את הממוצע. אילו הערך האחרון היה גדול בהרבה, הממוצע היה מזנק והחציון לא היה זז כלל.
- ממוצע תחילה, כי כל שאר החישוב נמדד ממנו. הסכום הוא 40, ויש חמישה נתונים, ולכן הממוצע הוא 8.
- סטיות מן הממוצע: −4, −2, 0, 2, 4. שימו לב שסכומן מתאפס, וזה קורה תמיד, ובדיוק בגלל זה אי אפשר להסתפק בהן.
- מעלים כל סטייה בריבוע, וכך הסימנים נעלמים: 16, 4, 0, 4, 16.
- מחשבים את הממוצע של הריבועים: סכומם 40, מחולק בחמישה נותן 8. זו השונות.
- סטיית התקן היא השורש של השונות, כלומר 8, בערך 2.83. השורש בסוף מחזיר את התוצאה ליחידות המקוריות, אחרי שהריבוע הוציא אותה מהן.
- בונים עץ בן שני שלבים. בשלב הראשון שני ענפים, ובשלב השני שוב שניים מכל אחד. סך הכול ארבעה מסלולים.
- בלי החזרה פירושו שהמכנה בשלב השני קטן באחד, ושהמונה קטן באחד רק בענף שבו יצא אותו צבע.
- שניהם אדומים. מכפילים לאורך מסלול אחד: (58) · (47), כלומר 2056, ואחרי צמצום 514, בערך 0.357.
- אחד מכל צבע. כאן שני מסלולים מתאימים, ואת ההסתברויות שלהם מחברים: (58)·(37) ועוד (38)·(57).
- 1556 + 1556, כלומר 3056, ואחרי צמצום 1528, בערך 0.536. הכלל: לאורך מסלול כופלים, ובין מסלולים מחברים.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות: קודם סוגי משתנים והצגת נתונים, אחר כך מדדי מרכז ופיזור, ולבסוף הסתברות. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1סוג המשתנה קובע איזו הצגה מותרת ואיזה מדד אפשר לחשב.
- 2ממוצע נסחב אחרי חריג, וחציון כמעט אינו זז. זה ההבדל המעשי ביניהם.
- 3סטיית תקן מבחינה בין שתי קבוצות שיש להן אותו ממוצע.
- 4מותנית: המכנה הוא הקבוצה שכבר נמצאים בתוכה.
- 5בעץ: לאורך מסלול כופלים, ובין מסלולים מחברים.
