כל השאר נשען על הפרק הזה
בכיתה י״א האלגברה כמעט אף פעם אינה השאלה. היא מה שקורה בתוך השאלה: מפרקים כדי לצמצם, פותרים כדי למצוא נקודת מפגש, ומכריעים על סימן כדי לקבוע תחום. מי שהאלגברה שלו איטית מאבד את השאלה עצמה בדרך. הפרק בנוי בשלושה שלבים: קודם מפרקים ומצמצמים, אחר כך פותרים משוואות שהנעלם בהן במכנה, מתחת לשורש או במעריך, ולבסוף מכריעים על סימן ופותרים אי-שוויונות. במעבדה שלמעלה אתם מזיזים את שורשי המכפלה בעצמכם, ורואים איך טבלת הסימנים נבנית.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אי-שוויון אינו משוואה עם סימן אחר. זו הטעות היקרה ביותר בפרק הזה, והיא חוזרת כל שנה. במשוואה מחפשים מספרים; באי-שוויון מחפשים תחומים, ולכן הכלי אינו אותו כלי. אצל (x − 4)(x + 1) = 0 די בכך שאחד הגורמים מתאפס. אצל (x − 4)(x + 1) < 0 אין ולו נקודה אחת שפותרת: התשובה היא קטע שלם, והוא נקבע לפי כמה גורמים שליליים יש בכל אזור. וכאן מגיע הכשל: מי שמחלק אי-שוויון בביטוי שיש בו נעלם, בלי לדעת את סימנו, כבר טעה. הסימן הוא הנתון החסר, ולא רק פרט טכני.
ארבעה מבנים, וארבע דרכי טיפול
כמעט כל ביטוי שתפגשו השנה שייך לאחת מארבע משפחות, ולכל אחת מהן יש מהלך פתיחה קבוע. מכפלה של גורמים היא המשפחה הנוחה ביותר, מפני שהיא מגלה את השורשים בלי חישוב, ומפני שהסימן שלה נקבע מספירת הגורמים השליליים. מנה מתנהגת בדיוק כמו מכפלה מבחינת סימן, אבל יש בה תנאי נוסף שאסור לשכוח: המכנה אינו מתאפס לעולם, ולכן שורש של המכנה נפסל גם כשהוא מקיים את התנאי. ביטוי שיש בו שורש ריבועי מביא איתו תחום הגדרה עוד לפני שפותרים משהו, וגם דורש בדיקה חוזרת בסוף, כי העלאה בריבוע יכולה להוליד פתרון שאינו קיים. ערך מוחלט אינו פעולה אלא מרחק, ולכן הוא נפתח לשני מקרים, או נקרא ישירות כתחום מרחק על הציר. מי שמזהה את המשפחה לפני שהוא מתחיל, כמעט אף פעם אינו נתקע.
מכפלה
הסימן אינו מחושב אלא נספר. מספר זוגי של גורמים שליליים נותן תוצאה חיובית, ומספר אי-זוגי נותן שלילית.
מנה
הסימן מתנהג בדיוק כמו במכפלה, אבל מאפס המכנה יוצא מן התשובה גם כשהסימן רפה.
שורש
מה שמתחת לשורש אינו יכול להיות שלילי, ולכן יש תנאי עוד לפני הפתרון, ובדיקה חוזרת אחריו.
ערך מוחלט
שני מקרים, או קריאה ישירה כמרחק על הציר. שתי הדרכים נכונות, והשנייה מהירה יותר.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור ולחזור אליו לפני שממשיכים.
שלוש נוסחאות שחוסכות זמן
הפרש ריבועים a² − b² = (a − b)(a + b), וכן שתי הנוסחאות של החזקה השלישית: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ו-a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). שימו לב שהסימן האמצעי בסוגריים הארוכים הפוך לסימן שבסוגריים הקצרים, ושהאיבר האמצעי שם אינו כפול.
השלמה לריבוע
לוקחים מחצית מן המקדם של x, מעלים בריבוע, מוסיפים ומחסרים אותו. x² + 8x + 3 נעשה (x + 4)² − 13. מכאן הערך המזערי נקרא מיד, כי ריבוע אינו יכול להיות שלילי, והוא מתקבל כשהסוגריים מתאפסים.
הביטוי שמתחת לשורש
במשוואה ax² + bx + c = 0 הביטוי b² − 4ac מכריע לבדו: חיובי → שני פתרונות שונים, אפס → פתרון יחיד, שלילי → אין פתרון ממשי. אפשר לענות על שאלת מספר הפתרונות בלי לפתור כלל.
שני תנאים בשבר
בשבר אלגברי יש תמיד שני דברים לומר, ולא אחד. הראשון הוא הצמצום עצמו, והוא נעשה רק אחרי פירוק. השני הוא הערכים האסורים, והם נקבעים לפי המכנה המקורי, לפני הצמצום. גורם שהצטמצם ונעלם מן הכתב עדיין אוסר את הערך שלו.
סימן מכפלה, בספירה
סימן של מכפלה נקבע לפי מספר הגורמים השליליים: מספר זוגי של שליליים → התוצאה חיובית, מספר אי-זוגי → שלילית. גורם מדרגה שנייה שאין לו שורשים, כמו x² + 1, חיובי תמיד, ולכן אפשר להשמיט אותו מן הספירה בלי לשנות דבר.
מעריך שלילי ומעריך שברי
מעריך שלילי הוא כתיב מקוצר של הופכי: a⁻ⁿ הוא 1 חלקי aⁿ. מעריך שברי הוא שורש: המכנה של המעריך אומר מאיזה סדר השורש, והמונה נשאר חזקה. a23 הוא השורש השלישי של a בריבוע.
שלוש דוגמאות פתורות
אי-שוויון ריבועי שנפתר מסקיצה, משוואה שהנעלם בה במכנה, ומשוואה מעריכית שנעשית ריבועית בעזרת משתנה עזר.
- מאפסים תחילה. מחפשים את שורשי 2x² + 5x − 3 = 0 בנוסחת השורשים. הביטוי שמתחת לשורש הוא 25 + 24, כלומר 49, והשורש שלו 7.
- מכאן x = (−5 + 7) : 4 או x = (−5 − 7) : 4, כלומר x = 0.5 ו-x = −3.
- סקיצה, ולא טבלה. המקדם המוביל חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה. גרף כזה נמצא מעל הציר מחוץ לשני השורשים, ומתחתיו ביניהם.
- סוג הסימן מכריע את הקצוות. הסימן כאן הוא "גדול או שווה", ולכן שני השורשים עצמם נכללים בתשובה.
- קבוצת הפתרונות היא x ≤ −3 או x ≥ 0.5. שימו לב שזה איחוד של שני תחומים ולא חיתוך, ולכן אי אפשר לכתוב אותו כאי-שוויון כפול אחד.
- קודם התנאי, ורק אחר כך הפתרון. המכנים מתאפסים ב-x = 1 וב-x = −1, ולכן שני הערכים האלה אסורים מראש, יהיה מה שיהיה בהמשך.
- מכנה משותף. המכנה המשותף הוא מכפלת שני המכנים, והוא שווה ל-x² − 1. מכפילים בו את שני האגפים.
- מקבלים 3(x + 1) − 2(x − 1) = x² − 1. פותחים סוגריים: 3x + 3 − 2x + 2, כלומר x + 5.
- מסדרים: x² − x − 6 = 0, ומפרקים ל-(x − 3)(x + 2).
- בודקים מול התנאי. שני הפתרונות שהתקבלו אינם 1 ואינם −1, ולכן שניהם עומדים בתוקפם.
- x = 3 או x = −2. אילו אחד מהם היה יוצא 1, היינו פוסלים אותו, אף שהוא מקיים את המשוואה שאחרי ההכפלה.
- מזהים בסיס משותף. 9 הוא 3 בריבוע, ולכן 9x הוא 3x בריבוע. זה הצעד היחיד שדורש רעיון; כל השאר טכני.
- משתנה עזר. מסמנים t = 3x. המשוואה נעשית t² − 4t + 3 = 0, והיא ריבועית רגילה.
- מפרקים ומקבלים t = 1 או t = 3.
- חוזרים אל המשתנה המקורי. 3x = 1 נותן x = 0, כי כל בסיס בחזקת אפס שווה אחד. 3x = 3 נותן x = 1.
- x = 0 או x = 1. שימו לב שערך שלילי של t היה נפסל מיד, כי חזקה של בסיס חיובי אינה שלילית לעולם.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם פירוק, זהויות ושברים אלגבריים, אחר כך משוואות שהנעלם בהן במכנה, מתחת לשורש או במעריך, ולבסוף אי-שוויונות וערך מוחלט. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1פירוק: הפרש ריבועים, סכום והפרש של חזקות שלישיות, והשלמה לריבוע.
- 2שברים אלגבריים: מצמצמים רק אחרי פירוק, והערכים האסורים נקראים מן המכנה המקורי.
- 3משוואות: נעלם במכנה דורש תנאי מראש, ונעלם מתחת לשורש דורש בדיקה בסוף.
- 4אי-שוויונות: התשובה היא תחום, והסימן נקבע מספירת הגורמים השליליים.
- 5ערך מוחלט: מרחק על הציר, ולכן שני מקרים או קטע אחד סביב נקודה.
