שיפוע אחד, בנקודה אחת
שיפוע של ישר הוא דבר פשוט, כי הוא אותו שיפוע לכל אורכו. שיפוע של עקומה אינו כזה: הוא משתנה מנקודה לנקודה, ולכן צריך הגדרה חדשה. ההגדרה נבנית מן המיתר: לוקחים שתי נקודות על הגרף, מחשבים את שיפוע הקו שמחבר ביניהן, ואז מקרבים אותן זו לזו. הפרק בנוי בשלושה שלבים: קודם מבינים מאין הנגזרת מגיעה ואיך גוזרים, אחר כך משתמשים בה לחקירה, ולבסוף למשיק ולערכי קיצון. במעבדה שלמעלה אתם מקרבים את שתי הנקודות בעצמכם, ורואים את שיפוע המיתר נצמד לשיפוע המשיק.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
הנגזרת מתאפסת גם במקומות שאינם קיצון. זו הטעות שגובה הכי הרבה נקודות בחקירה, והיא נשמעת הגיונית: אם השיפוע אפס, הגרף שטוח שם, ולכן זה מקסימום או מינימום. אבל קחו את y = x³ בראשית. הנגזרת שם מתאפסת, המשיק אופקי לגמרי, והפונקציה בכל זאת ממשיכה לעלות בלי לעצור לרגע. מה שמכריע אינו האיפוס אלא שינוי הסימן סביבו: אם הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס יש מינימום, אם מפלוס למינוס יש מקסימום, ואם היא שומרת על אותו סימן משני הצדדים אין שם קיצון כלל. לכן אחרי שמאפסים את הנגזרת העבודה רק מתחילה.
מה הנגזרת אומרת, ומה היא אינה אומרת
הנגזרת בנקודה היא מספר אחד, והוא שיפוע המשיק שם. הנגזרת כפונקציה היא כלל שמחזיר את המספר הזה לכל נקודה. מכאן כל השאר. סימן הנגזרת אומר כיוון: חיובית משמעה שהפונקציה עולה, שלילית משמעה שהיא יורדת. שימו לב שזו אמירה על כיוון ולא על סימן הפונקציה עצמה, ואלה שני דברים שונים לגמרי: פונקציה יכולה להיות שלילית ולעלות באותו זמן. איפוס הנגזרת מסמן מועמד לקיצון, ולא יותר מזה; ההכרעה נעשית בבדיקת הסימן משני הצדדים. גודל הנגזרת אומר עד כמה הגרף תלול שם, ולא כמה גבוה הוא נמצא. ומה שהנגזרת אינה אומרת: היא אינה אומרת דבר על ערכי הפונקציה עצמם. שתי פונקציות שנבדלות במספר קבוע נראות שונות לגמרי בגרף, ויש להן בדיוק אותה נגזרת. לכן מגרף הנגזרת אפשר לשחזר את צורת הגרף המקורי, אך לא את הגובה שלו.
סימן הנגזרת
חיובית משמעה שהפונקציה עולה, שלילית משמעה שהיא יורדת. זו אמירה על כיוון בלבד, ולא על סימן הפונקציה עצמה.
איפוס הנגזרת
מסמן מקום שבו המשיק אופקי. זה מועמד לקיצון, ולא הכרעה. ההכרעה נעשית בבדיקת הסימן משני הצדדים.
גודל הנגזרת
אומר כמה הגרף תלול שם, ולא כמה גבוה הוא. שיפוע גדול פירושו עלייה חדה, גם אם הגרף עצמו נמצא נמוך.
הגובה
הנגזרת אינה יודעת דבר על ערכי הפונקציה. הזזה אנכית של כל הגרף אינה משנה אותה כלל.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור ולחזור אליו לפני שממשיכים.
מן המיתר אל המשיק
שיפוע מיתר הוא הפרש הגבהים חלקי הפרש המיקומים, בדיוק כמו בישר. כשמקרבים את הנקודה השנייה אל הראשונה, המיתר מסתובב ונצמד למשיק, ושיפועו נצמד למספר אחד. המספר הזה הוא הנגזרת בנקודה.
כלל החזקה, ובן לוויה
גוזרים חזקה בהורדת המעריך כמקדם ובהקטנתו באחד. סכום נגזר איבר איבר, וקבוע שמוכפל נשאר במקומו. מספר בודד בלי משתנה נגזר לאפס, מפני שגרף שלו הוא ישר אופקי ששיפועו אפס בכל נקודה.
מכפלה ומנה
נגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות, וזו הטעות השכיחה ביותר בפרק. גוזרים את הראשון ומכפילים בשני, ומוסיפים את הראשון כפול נגזרת השני. במנה יש חיסור במונה, ולכן שם הסדר קובע: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה.
הרכבה: מבפנים החוצה
כשיש פונקציה בתוך פונקציה, גוזרים את החיצונית כאילו הפנימית היא משתנה יחיד, ואז מכפילים בנגזרת הפנימית. שכחת ההכפלה הזאת היא הטעות שנייה בשכיחותה. בשורש ריבועי הכלל הזה נותן את הנגזרת הפנימית מחולקת בכפליים השורש.
משיק: שני נתונים, שני כיוונים
כדי לכתוב משיק צריך נקודה ושיפוע. כשנתונה הנקודה, מציבים אותה בנגזרת ומקבלים את השיפוע. כשנתון השיפוע, פותרים משוואה כדי למצוא את נקודת ההשקה, ורק אז מציבים בפונקציה כדי לקבל את הגובה. שני הכיוונים משתמשים באותם שני נתונים.
קיצון בקטע סגור
בקטע שקצותיו נכללים בו יש שלושה מועמדים ולא אחד: הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת, ושני הקצוות עצמם. מחשבים את ערך הפונקציה בכל אחד מהם ומשווים. הקצה יכול לנצח בקלות, גם כשהנגזרת שם אינה מתאפסת כלל.
שלוש דוגמאות פתורות
כתיבת משוואת משיק, חקירת תחומי עלייה וירידה עם סיווג הקיצון, ובעיית קיצון גאומטרית במישור.
- הגובה. מציבים בפונקציה ומקבלים 1 − 2, כלומר −1. נקודת ההשקה היא (1, −1).
- הנגזרת. גוזרים איבר איבר ומקבלים 3x² − 2.
- השיפוע. מציבים באותו מקום בנגזרת ומקבלים 3 − 2, כלומר 1.
- המשוואה. יש נקודה ויש שיפוע, ולכן כותבים ישר: y − (−1) = 1·(x − 1), ומסדרים.
- המשיק הוא y = x − 2. בדיקה קצרה: בהצבת x = 1 מתקבל −1, וזה בדיוק הגובה של נקודת ההשקה.
- גוזרים ומפרקים. הנגזרת היא 4x³ − 16x, ואחרי הוצאת גורם משותף ופירוק הפרש ריבועים מקבלים 4x(x − 2)(x + 2).
- מאפסים. שלושה מועמדים: x = −2, x = 0 ו-x = 2. הם מחלקים את הציר לארבעה אזורים.
- טבלת סימנים. משמאל לכולם שלושת הגורמים שליליים, ולכן הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת. בין −2 ל-0 יש שני שליליים, ולכן הנגזרת חיובית והפונקציה עולה. בין 0 ל-2 יש שלילי אחד, ולכן יורדת. מימין לכולם עולה.
- סיווג לפי שינוי הסימן. ב-−2 וב-2 הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס, ולכן שם מינימום. ב-0 היא עוברת מפלוס למינוס, ולכן שם מקסימום.
- גבהים. מציבים בפונקציה המקורית ולא בנגזרת: בשני המינימומים מתקבל 16 − 32, כלומר −16, ובמקסימום מתקבל 0.
- יורדת, עולה, יורדת, עולה. שני מינימומים בגובה −16, ומקסימום מקומי בראשית. שימו לב שהמקסימום המקומי נמצא מעל שני המינימומים אך אינו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בכלל.
- משתנה אחד, לא שניים. מסמנים ניצב אחד ב-x. הסכום נתון, ולכן הניצב השני הוא מה שנשאר מן הסכום, ואין צורך במשתנה נוסף.
- הבעת השטח. שטח משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים, ולכן הוא x(14 − x) : 2, כלומר 7x − x² : 2.
- תחום מותר. שני הניצבים חייבים להיות חיוביים, ולכן 0 < x < 14. זהו חלק מן התשובה ולא הערה בשוליים.
- גוזרים ומאפסים. הנגזרת היא 7 − x, והיא מתאפסת ב-x = 7. הערך הזה נמצא בתוך התחום המותר.
- מוודאים שזה מקסימום. משמאל לו הנגזרת חיובית ומימין שלילית, ולכן הפונקציה עולה ואז יורדת, וזו נקודת מקסימום.
- שני הניצבים שווים, וכל אחד מהם באורך 7 סנטימטרים. השטח הגדול ביותר הוא 24.5 סנטימטרים רבועים. שימו לב שהתשובה מתורגמת בחזרה לשפת השרטוט, ולא נשארת כמספר עירום.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם גזירה וקריאת שיפוע, אחר כך כללי מכפלה, מנה והרכבה יחד עם חקירה, ולבסוף משיקים, נקודות בלי נגזרת, וקיצון גאומטרי במישור. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מקור: הנגזרת היא הגבול של שיפועי המיתרים, ולכן היא שיפוע המשיק.
- 2כללים: חזקה, סכום, מכפלה, מנה והרכבה. במכפלה ובמנה אין קיצור דרך.
- 3סימן: חיובית משמעה עלייה, שלילית משמעה ירידה. זה כיוון, לא סימן הפונקציה.
- 4קיצון: איפוס הוא מועמד בלבד, וההכרעה היא בשינוי הסימן סביבו.
- 5בעיית קיצון במישור: משתנה אחד, תחום מותר, ותרגום התשובה בחזרה לשרטוט.
