סדרה אחת, ויחס קבוע
סדרה היא התאמה פשוטה: לכל מקום ברשימה מותאם ערך אחד. משם השאלה היחידה היא מה החוקיות, ואיך כותבים אותה כך שאפשר יהיה לקפוץ ישר לאיבר המאה בלי לעבור דרך תשעים ותשעה. הפרק בנוי בשלושה שלבים: קודם סדרות כלליות, נוסחה מפורשת וכלל נסיגה, אחר כך הסדרה ההנדסית על כל תכונותיה, ולבסוף הסכום האינסופי וסדרות שנבנות מסדרה קיימת. שימו לב לדבר אחד לפני שמתחילים: הפרק הזה אינו עוסק בסדרה שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע. היא הוצאה משאלון 571 ברשימה "הנושאים שלא יילמדו בשנת הלימודים תשפ״ז", והשער מסביר זאת בהרחבה.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אפשר לחבר אינסוף מספרים ולקבל מספר סופי. זה נשמע כמו טעות, וזה נכון. קחו את 1, ואחריו 0.5, ואחריו 0.25, וכן הלאה, כשכל איבר הוא מחצית מקודמו. סכום שני הראשונים הוא 1.5, של שלושה 1.75, של ארבעה 1.875. הסכומים עולים כל הזמן, ובכל זאת אף אחד מהם אינו מגיע ל-2. הם מתקרבים אליו ונעצרים ממש לפניו, כל פעם בחצי המרחק שנשאר. וזה קורה בדיוק כאשר הערך המוחלט של המנה קטן מאחד: כל איבר קטן מקודמו, ומה שנוסף בכל צעד נשחק מהר מכדי לפרוץ. אם המנה גדולה מאחד, אין שום מספר שהסכומים מתביישים ממנו, והם בורחים לאינסוף.
שתי דרכים לתאר סדרה, ומה כל אחת נותנת
נוסחה מפורשת אומרת מה הערך במקום מסוים, ישירות. היתרון שלה גדול: אפשר לקפוץ לאיבר המאה בלי לחשב את התשעים ותשעה שלפניו, ואפשר לפתור משוואה כדי לשאול "האם המספר הזה הוא איבר, ובאיזה מקום". כלל נסיגה אומר משהו אחר: כיצד עוברים מאיבר לאיבר הבא. הוא נוח לתיאור התהליך ולחישוב מהיר של האיברים הראשונים, אבל הוא לא ייתן לכם את האיבר המאה בלי לעבור בדרך. שימו לב שכלל נסיגה לבדו אינו מגדיר סדרה: בלי האיבר הפותח הוא מתאר אינסוף סדרות שונות. הסדרה ההנדסית היא המקרה שבו החוקיות היא יחס קבוע: כל איבר מתקבל מקודמו בהכפלה באותו מספר. את היחס הזה אפשר לחלץ משני איברים עוקבים בחלוקה פשוטה, ומשני איברים רחוקים בהוצאת שורש מן המנה, מן הסדר שמתאים למרחק ביניהם. וכשהיחס הזה קטן מאחד בערכו המוחלט, גם הסכום של כל האיברים הוא מספר סופי.
נוסחה מפורשת
נותנת את הערך במקום מסוים ישירות, ולכן היא גם מאפשרת לשאול את השאלה ההפוכה: איזה מקום נותן את הערך הזה.
כלל נסיגה
נותן את המעבר מאיבר לאיבר. בלי האיבר הפותח הוא מתאר אינסוף סדרות שונות, ולכן לעולם אין לו קיום בלעדיו.
מה עושה סדרה להנדסית
מנה קבועה בין כל שני עוקבים, ולא הפרש קבוע. בודקים בחלוקה, ודי בזוג אחד חורג כדי להפריך.
מתי יש סכום לכולם
רק כשהערך המוחלט של המנה קטן מאחד. אז הסכומים החלקיים עולים ובכל זאת אינם עוברים מספר מסוים.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. הכרטיסייה האחרונה היא אזהרה מעשית, וכדאי לא לדלג עליה.
מה הופך סדרה להנדסית
לא ההפרש בין איברים עוקבים, אלא המנה ביניהם. בודקים בחלוקה: מחלקים כל איבר בקודמו, ואם מתקבל אותו מספר בכל פעם, הסדרה הנדסית. די בזוג אחד שנותן תוצאה אחרת כדי להפריך. שימו לב שהמנה אינה יכולה להיות אפס, ושאף איבר אינו יכול להתאפס.
שני איברים רחוקים
כשנתונים שני איברים שאינם עוקבים, המנה שביניהם היא המנה בחזקת המרחק. אם המרחק הוא שני מקומות, מוציאים שורש ריבועי; אם שלושה, שורש שלישי. אחר כך חוזרים אחורה אל האיבר הראשון בחלוקה חוזרת.
הממוצע ההנדסי
בסדרה הנדסית כל איבר הוא הממוצע ההנדסי של שכניו: הריבוע שלו שווה למכפלת השניים. זה הכלי המהיר ביותר כשמחפשים איבר אמצעי חסר, והוא חוסך את כל הדרך דרך המנה.
סכום, ומקרה אחד חריג
נוסחת הסכום מחלקת ב-q − 1, ולכן היא אינה עובדת כאשר המנה שווה אחד. במקרה הזה כל האיברים שווים זה לזה, והסכום הוא פשוט האיבר כפול מספר האיברים. תמיד שווה לבדוק את המנה לפני שמציבים בנוסחה.
סדרות שנבנות מסדרה
הכפלת כל האיברים בקבוע אינה משנה את המנה. ריבוע כל האיברים מעלה את המנה בריבוע. לקיחת ההופכיים הופכת את המנה. בחירת כל איבר שני נותנת את המנה בריבוע, וכל איבר שלישי נותנת אותה בחזקה שלישית. הכלל הכללי: קפיצה של k מקומות נותנת את המנה בחזקת k.
אזהרה על הנוסחאון
הנוסחאון של הרמה הזאת מדפיס גם את הנוסחאות של הסדרה שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע. הסדרה הזאת הוצאה משאלון 571 בתשפ״ז, ולכן היא אינה בחוברת ואינה בשאלון. תראו אותן מול העיניים, ואל תשתמשו בהן: הן פותרות שאלה מסוג אחר לגמרי.
שלוש דוגמאות פתורות
חילוץ המנה משני איברים רחוקים, מציאת מספר האיברים כשהסכום נתון, וסכום אינסופי.
- סופרים את המרחק. מן המקום השני אל המקום החמישי יש שלוש קפיצות, ולא שתיים ולא ארבע. זו הנקודה שהכי קל לטעות בה: מחסרים את המקומות זה מזה.
- מחלקים. המנה בין שני האיברים הנתונים היא 486 : 18, כלומר 27. המספר הזה שווה למנה של הסדרה בחזקת שלוש.
- מחלצים. מוציאים שורש שלישי ומקבלים שהמנה של הסדרה היא 3.
- חוזרים אחורה. האיבר הראשון קטן מן השני בקפיצה אחת, ולכן מחלקים במנה פעם אחת: 18 : 3.
- המנה היא 3 והאיבר הראשון הוא 6. בדיקה: 6, 18, 54, 162, 486. שני הנתונים יושבים במקומם.
- מציבים בנוסחת הסכום. המכנה הוא המנה פחות אחד, כלומר 2, והמונה הוא האיבר הראשון כפול המנה בחזקת מספר האיברים, פחות אחד.
- אחרי הצבה מקבלים 2(3ⁿ − 1) : 2, והמקדם מצטמצם עם המכנה. נשאר 3ⁿ − 1.
- משווים לנתון. 3ⁿ − 1 = 242, ומכאן 3ⁿ = 243.
- מעמידים על אותו בסיס. 243 הוא 3 בחזקה חמישית, ולכן המעריכים שווים.
- חמישה איברים. בדיקה בחיבור ישיר: 2 + 6 + 18 + 54 + 162, וזה אכן 242. שימו לב שמספר האיברים חייב לצאת מספר טבעי; אילו היה יוצא שבר, המשמעות הייתה שאין תשובה.
- בודקים תחילה אם יש בכלל תשובה. הערך המוחלט של המנה קטן מאחד, ולכן הסכום מתכנס. בלי הבדיקה הזאת אין מה להתחיל לחשב.
- מציבים בנוסחת הסכום האינסופי: האיבר הראשון חלקי אחד פחות המנה.
- המכנה הוא 1 − 2 : 3, כלומר 1 : 3.
- חלוקה בשליש היא הכפלה בשלוש, ולכן מתקבל 9 · 3.
- הסכום הוא 27. משמעותו: הסכומים החלקיים מתקרבים אל המספר הזה ככל שמחברים עוד איברים, ולעולם אינם עוברים אותו. 9, ואז 15, ואז 19, וכן הלאה כלפי מעלה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם סדרות כלליות, נוסחה מפורשת וכלל נסיגה, אחר כך הסדרה ההנדסית עצמה, ולבסוף הסכום האינסופי וסדרות שנבנות מסדרה קיימת. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1שתי דרכי תיאור: נוסחה מפורשת קופצת לכל מקום, וכלל נסיגה מתאר את המעבר.
- 2מנה: נבדקת בחלוקה, ומשני איברים רחוקים היא מתקבלת בהוצאת שורש.
- 3ממוצע הנדסי: ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת שכניו.
- 4סכום אינסופי: קיים רק כשהערך המוחלט של המנה קטן מאחד.
- 5סדרות נגזרות: קפיצה של כמה מקומות מעלה את המנה לאותה חזקה.
