מעגל אחד, ושני שיעורים
בחטיבת הביניים סינוס וקוסינוס היו יחסים במשולש ישר זווית, ולכן הם היו מוגדרים רק לזוויות חדות. בחטיבה העליונה ההגדרה משתנה: לוקחים מעגל שרדיוסו אחת, מסובבים עליו רדיוס בזווית הנתונה, ושני שיעורי הנקודה שמתקבלת הם הקוסינוס והסינוס. פתאום כל זווית מוגדרת, גם קהה, גם שלילית וגם מעל סיבוב שלם. הפרק בנוי בשלושה שלבים: קודם מעגל היחידה והזהויות, אחר כך משוואות ומשולשים, ולבסוף הסתברות, שהיא הצצה קדימה אל השנה הבאה. במעבדה שלמעלה אתם מסובבים את הזווית בעצמכם, וקוראים את שני השיעורים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אותה משוואה, ואינסוף פתרונות. sin x = 0.5 נראית כמו משוואה רגילה, ובכל זאת אין לה תשובה אחת ואפילו לא שתיים. הסיבה יושבת בהגדרה עצמה: הזווית מסובבת רדיוס על מעגל, ואפשר להמשיך לסובב אותו. הוא יחזור לאותו מקום אחרי סיבוב שלם, ואחרי עוד סיבוב, ושוב. ובנוסף לכך יש בכל סיבוב שתי זוויות שונות שנותנות בדיוק אותו גובה, אחת בכל צד של הציר האנכי. לכן הצעד הראשון בכל משוואה טריגונומטרית אינו החישוב אלא שאלה: באיזה תחום מבקשים ממני את הפתרונות? בלי התחום הזה לשאלה אין תשובה שאפשר לכתוב.
מה נקרא ממעגל היחידה
שני השיעורים. הקוסינוס הוא השיעור האופקי של הנקודה, והסינוס הוא האנכי. מכאן מיד שגם וגם חסומים בין מינוס אחת לאחת, ושאף אחד מהם אינו יכול לצאת מחוץ לתחום הזה בשום חישוב. אם קיבלתם ערך גדול יותר, יש טעות. הסימנים. הם נקבעים לפי הרביע, ולא לפי גודל הזווית: ברביע הראשון שניהם חיוביים, בשני הסינוס בלבד, בשלישי שניהם שליליים, וברביעי הקוסינוס בלבד. הזהות היסודית. סכום הריבועים שלהם הוא אחת, וזה בסך הכול משפט פיתגורס על משולש שהיתר שלו הוא הרדיוס. לכן כשנתון אחד מהם ונתון הרביע, השני נקבע לגמרי. המחזוריות. אחרי סיבוב שלם חוזרים לאותה נקודה, ולכן שתי הפונקציות חוזרות על עצמן בדיוק. שתי זוויות לאותו ערך. בכל סיבוב יש שתי זוויות שנותנות אותו סינוס, ושתי זוויות שנותנות אותו קוסינוס, והן ממוקמות בסימטריה ביחס לאחד הצירים. זה מקור כל הפתרונות ה"נוספים" במשוואות.
שני שיעורים
הקוסינוס הוא השיעור האופקי והסינוס הוא האנכי. מכאן ששניהם חסומים בין מינוס אחד לאחד, תמיד.
הרביע קובע סימן
הסימנים אינם תלויים בגודל הזווית אלא רק בשאלה לאיזה רביע נפלה הנקודה שעל המעגל.
הזהות היסודית
סכום ריבועי השיעורים שווה לריבוע הרדיוס, כלומר לאחד. זה כל מה שהזהות אומרת.
מחזוריות
אחרי סיבוב שלם חוזרים בדיוק לאותה נקודה, ולכן כל פתרון של משוואה חוזר בכל סיבוב.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. שלוש הראשונות טריגונומטריה, ושלוש האחרונות הסתברות.
מעלות ורדיאנים
סיבוב שלם הוא 2π רדיאנים, והוא גם שלוש מאות שישים מעלות. מכאן כל השאר: חצי סיבוב הוא π, ורבע סיבוב הוא π : 2. הכלל הכללי לכל זווית: כדי לעבור מרדיאנים למעלות מכפילים במאה ושמונים ומחלקים ב-π, ובכיוון ההפוך עושים בדיוק את ההפך.
הזהות היסודית, ומה עושים איתה
סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס הוא אחת. השימוש המעשי: כשנתון אחד מהם, מבודדים את השני ומוציאים שורש, ואז הרביע מכריע את הסימן. בלי נתון על הרביע יש שתי תשובות אפשריות, וזה חלק מן התשובה ולא חוסר.
שני משפטים, ומתי כל אחד
משפט הסינוסים כשידועים זווית והצלע שמולה, ועוד נתון אחד מזוג כזה. משפט הקוסינוסים כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, או כששלוש הצלעות ידועות. אזהרה: משפט הסינוסים יכול להחזיר שתי זוויות אפשריות, כי לזווית חדה ולקהה המשלימה לה אותו סינוס בדיוק.
איחוד, חיתוך והמשלים
ההסתברות שלפחות אחד משני מאורעות יקרה היא סכום ההסתברויות פחות החיתוך, כי אחרת החפיפה נספרת פעמיים. וכשקשה לחשב מאורע ישירות, שווה לחשב את המשלים שלו ולהחסיר מאחת. "לפחות אחד" הוא כמעט תמיד סימן לכך.
מותנית, ותלות
הסתברות מותנית מצמצמת את מרחב המדגם: מחשבים ביחס לקבוצה שכבר ידוע שקרתה, ולא ביחס לכולם. בטבלה דו-ממדית זה בדיוק מעבר משורת הסך הכול אל שורה או טור מסוימים. שני מאורעות בלתי תלויים כאשר מכפלת ההסתברויות שלהם שווה להסתברות החיתוך.
עץ, וניסוי חוזר
בעץ מכפילים לאורך מסלול, ומחברים בין מסלולים שונים. שימו לב אם יש החזרה: בלי החזרה ההסתברויות בשלב השני משתנות. בניסוי שחוזר על עצמו כמה פעמים באותם תנאים, ההסתברות למספר נתון של הצלחות היא מספר הסידורים האפשריים כפול הסתברות מסלול אחד.
שלוש דוגמאות פתורות
משוואה שנעשית ריבועית בהצבת משתנה עזר, משפט הקוסינוסים, והוצאה בלי החזרה בעזרת עץ.
- משתנה עזר. מסמנים את הקוסינוס באות אחת. המשוואה נעשית ריבועית רגילה, ואין בה שום דבר טריגונומטרי לרגע.
- פותרים אותה. מקבלים שני ערכים אפשריים: 1 ו-−0.5.
- בודקים סבירות. קוסינוס חסום בין מינוס אחת לאחת, ולכן שני הערכים אפשריים. אילו היה מתקבל ערך מחוץ לתחום הזה, היינו פוסלים אותו מיד בלי לחפש זווית.
- חוזרים לזוויות. הקוסינוס שווה 1 רק בתחילת הסיבוב, ולכן שם פתרון אחד. הקוסינוס שווה −0.5 בשתי זוויות, אחת ברביע השני ואחת בשלישי, והן סימטריות ביחס לציר האופקי.
- שלושה פתרונות בתחום: 0°, 120° ו-240°. שימו לב שמספר הפתרונות אינו נגזר ממספר הפתרונות של המשוואה הריבועית: ערך אחד נתן זווית אחת, והשני נתן שתיים.
- בוחרים משפט. נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן, וזה בדיוק המצב שבו משפט הסינוסים אינו עוזר ומשפט הקוסינוסים כן.
- מציבים. ריבוע הצלע המבוקשת שווה לסכום ריבועי השתיים, פחות פעמיים מכפלתן כפול הקוסינוס של הזווית שביניהן.
- סכום הריבועים הוא 25 + 64, כלומר 89. פעמיים המכפלה הוא 80.
- שימו לב לסימן. הזווית קהה, ולכן הקוסינוס שלה שלילי, והוא שווה −0.5. חיסור של מספר שלילי הוא חיבור, ולכן מוסיפים 40 במקום לחסר.
- ריבוע הצלע הוא 129, והצלע עצמה היא השורש שלו, כלומר בערך 11.36. בדיקת סבירות: הצלע שמול הזווית הקהה חייבת להיות הארוכה ביותר במשולש, וכך אכן יצא.
- מסמנים שהניסוי בלי החזרה, ולכן ההסתברויות בשלב השני תלויות במה שיצא בראשון. זה הצעד שקובע את כל השאר.
- מסלול של שני שחורים. בשלב הראשון יש שישה שחורים מתוך עשרה. אחרי שיצא שחור נשארו חמישה שחורים מתוך תשעה. מכפילים לאורך המסלול.
- מקבלים (6 : 10) · (5 : 9), וזה מצטמצם ל-1 : 3.
- צבעים שונים: שני מסלולים. לבן ואז שחור, או שחור ואז לבן. שני המסלולים נותנים בדיוק אותה מכפלה, ולכן מחשבים אחד ומכפילים בשתיים.
- מסלול אחד נותן (6 : 10) · (4 : 9), ופי שניים מזה הוא 8 : 15.
- שני שחורים בהסתברות 1 : 3, וצבעים שונים בהסתברות 8 : 15. בדיקה: אם נוסיף גם את המסלול של שני לבנים, שהוא 2 : 15, סכום שלוש האפשרויות הוא בדיוק אחת.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם מעגל היחידה, סימנים וזהויות, אחר כך משוואות ומשולשים, ולבסוף הסתברות. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מעגל היחידה: הקוסינוס אופקי, הסינוס אנכי, והרביע קובע את שני הסימנים.
- 2הזהות היסודית: כשנתון אחד מהם ונתון הרביע, השני נקבע לגמרי.
- 3משוואות: הצעד הראשון הוא לשאול באיזה תחום מבקשים את הפתרונות.
- 4שני המשפטים: סינוסים לזוג של זווית וצלע שמולה, קוסינוסים לשתי צלעות והזווית שביניהן.
- 5הסתברות: מכפילים לאורך מסלול, מחברים בין מסלולים, ומצמצמים מרחב כשיש תנאי.
