נדב כץלמידה ברמה אחרת
חוברת קיץ · מסיימי כיתה יא׳ 3 יחידות
פרק 1 מתוך 3 · הבסיס שיב׳ נשענת עליו

מה שכיתה יב׳ מניחה שכבר יש לכם

שאלון 372 אינו חוזר על 371, הוא ממשיך ממנו. ולכן הפרק הזה אינו מלמד נושא חדש אלא מחזיר לידיים את הכלים שכל שאלה בכיתה יב׳ תשתמש בהם בלי לבקש רשות: משוואה ומערכת משוואות, אחוזים ויחידות, הישר על שיפועו ועל נקודות המפגש שלו, דמיון משולשים, ולבסוף טריגונומטריה במשולש ישר זווית ובמרובע. במעבדה שלמעלה אתם גוררים את הזווית ואת אורך הצלע בנפרד, ורואים בעיניים מה מזיז את היחסים ומה לא.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת

מעבדת המשולש ישר הזווית גררו קודם את הזווית, ואחר כך את אורך הצלע. שימו לב מה השתנה בכל אחד מהם
α b a c
הניצב הסמוך לזווית הניצב שמול הזווית היתר

אורך הצלע אינו משנה את היחס. רק הזווית משנה אותו. זה נשמע מובן מאליו, וזה בדיוק המקום שבו נופלים: תלמיד שמסתכל על משולש גדול מרגיש שהוא צריך מספרים אחרים. הוא לא. שני משולשים ישרי זווית בעלי אותה זווית חדה הם משולשים דומים, ולכן היחס בין כל שתי צלעות מתאימות בהם זהה עד הספרה האחרונה. זה מה שהופך את שלושת היחסים לכלי שעובד: מספיק לדעת את הזווית כדי לדעת את היחס, בלי לדעת ולו צלע אחת. ומכיוון שכך, לכל זווית יש שלושה מספרים קבועים משלה, והמחשבון מחזיק אותם כולם.

מפת החלטה

איזה יחס בוחרים, ומתי בכלל לא צריך יחס

הטעות הנפוצה בטריגונומטריה אינה בחישוב אלא בבחירה: מפעילים סינוס במקום שבו לא מעורב היתר, או קוסינוס במקום שבו הצלע הנתונה היא דווקא מול הזווית. הבחירה נעשית בשלושה צעדים קבועים, ולא לפי תחושה. צעד ראשון: מסמנים על השרטוט את הזווית החדה שעליה מדברים. צעד שני: מסמנים מי הניצב שמולה, מי הניצב שלידה, ומי היתר. צעד שלישי: שואלים אילו שתיים מן השלוש מעורבות בשאלה, אחת כנתון ואחת כמבוקש, ובוחרים את היחס שקושר בדיוק את השתיים האלה. ארבע האפשרויות שלמטה מכסות את כל המקרים, וכולל את המקרה שבו אין צורך ביחס טריגונומטרי כלל.

שתיים מן השלוש מעורבות, והן שקובעות
sin

מעורב היתר, והצלע השנייה מול הזווית

הסינוס קושר את הניצב שמול הזווית עם היתר. אם אחד מהשניים נתון והשני מבוקש, זהו היחס. אם היתר אינו מעורב בכלל, הסינוס אינו הכלי.

cos

מעורב היתר, והצלע השנייה ליד הזווית

הקוסינוס קושר את הניצב הסמוך לזווית עם היתר. ההבדל היחיד בינו לבין הסינוס הוא איזה משני הניצבים משתתף, ולכן קודם מסמנים איזה ניצב הוא מול ואיזה הוא ליד.

tan

שני הניצבים, בלי היתר

הטנגנס קושר את שני הניצבים זה לזה. אם היתר אינו נתון ואינו מבוקש, זהו היחס היחיד שאפשר להפעיל בלי לחשב שום צלע נוספת קודם.

a² + b²

שלוש צלעות, אפס זוויות

כששלוש הצלעות הן כל מה שמעניין, ואף זווית אינה נתונה ואינה מבוקשת, אין צורך ביחס טריגונומטרי כלל. משפט פיתגורס עושה את העבודה, והוא מדויק ולא מעוגל.

סדר העבודה קבוע: קודם מסמנים על השרטוט את הזווית שעליה מדברים, אחר כך מסמנים איזה ניצב הוא מולה ואיזה לידה, ורק אז בוחרים. מי שבוחר לפני הסימון בוחר לפי הרגל ולא לפי הנתונים.
שש תזכורות לפני התרגול

מה חשוב לזכור

שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק בודק. אם משהו כאן נשמע לכם זר, זה המקום לעצור ולא להמשיך הלאה.

1

משוואות, ובדיקה בהצבה

במשוואה ממעלה ראשונה פותחים סוגריים, מכנסים נעלמים לאגף אחד ומספרים לשני, ומחלקים. במשוואה ריבועית מסדרים לצורה ax² + bx + c = 0 ומפעילים את נוסחת השורשים. הביטוי שמתחת לשורש מכריע: חיובי → שני פתרונות, אפס → פתרון יחיד, שלילי → אין פתרון ממשי. בסוף מציבים בחזרה במשוואה המקורית, וזו לא הצעה.

2

אחוזים ויחידות

אחוז מתוך כמות: מכפילים בשבר. השלם כשנתונים החלק והאחוז: מחלקים בשבר. המרת יחידות משנה את המספר ולא את הגודל, ובשטח ובנפח היחס מתחזק: אורך פי 100 פירושו שטח פי 10{,}000 ונפח פי 1{,}000{,}000. שאלת מהירות מתפרקת תמיד לאותה שאלה אחת: האם כל הנתונים באותן יחידות.

3

הישר: שני מספרים וזהו

שיפוע משתי נקודות הוא הפרש הגבהים חלקי הפרש המיקומים האופקיים, והוא קצב השינוי של התופעה. משוואת ישר נכתבת מנקודה ומשיפוע בהצבה. שני ישרים בעלי אותו שיפוע מקבילים ואינם נפגשים לעולם; שיפועים שונים → נקודת מפגש אחת בדיוק, ומוצאים אותה בהשוואת שני הביטויים.

4

מרחק ואמצע במערכת צירים

המרחק בין שתי נקודות הוא היתר במשולש עזר ישר זווית שניצביו הם ההפרשים, ולכן מחברים ריבועים ומוציאים שורש. האמצע הוא הממוצע של השיעורים, בנפרד לכל ציר. משתמשים בו כדי להשלים קודקוד חסר: אם ידוע האמצע וידוע קצה אחד, הקצה השני נמצא במרחק שווה ובכיוון ההפוך.

5

דמיון: אורכים ושטחים

שני משולשים דומים כאשר שתי זוויות באחד שוות לשתיים באחר, וזה משפט זווית זווית. מכאן כל הצלעות המתאימות ביחס קבוע. הנקודה שנופלים בה: יחס השטחים אינו יחס הדמיון אלא ריבועו. יחס אורכים 2 : 3 נותן יחס שטחים 4 : 9, ולא 2 : 3.

6

שלושת היחסים

במשולש ישר זווית, ולא בשום משולש אחר: סינוס קושר את הניצב שמול הזווית עם היתר, קוסינוס את הניצב הסמוך עם היתר, וטנגנס את שני הניצבים זה לזה. כדי למצוא צלע מציבים ומכפילים או מחלקים; כדי למצוא זווית מחשבים את היחס ומפעילים את הפעולה ההפוכה במחשבון.

אותה זווית, גדלים שונים
שני משולשים דומים. הצלעות שונות לגמרי, ושלושת היחסים זהים עד הספרה האחרונה, כי הזווית לא זזה.
אותה צלע, זוויות שונות
אותו ניצב סמוך בדיוק, וזוויות שונות. עכשיו כל צלע אחרת יוצאת אחרת, כי הזווית היא מה שקובע.
נפתור יחד, שלב אחרי שלב

שלוש דוגמאות פתורות

מערכת משוואות, ישר במערכת צירים, וטרפז שמתפרק לשני חלקים כדי שאפשר יהיה לחשב אותו. שלושתן נפתרות בשלבים, וכל מעבר מנומק.

דוגמה 1פתרו את המערכת: 2x + 3y = 16 וגם x − y = 3.
  1. בוחרים נעלם לבודד. במשוואה השנייה x יושב לבדו כמעט, ולכן מבודדים אותו: x = y + 3. תמיד כדאי לבודד את הנעלם שהמקדם שלו הוא 1, כי אז אין שברים.
  2. מציבים במשוואה הראשונה. במקום x כותבים y + 3: 2(y + 3) + 3y = 16.
  3. פותחים ומכנסים. 2y + 6 + 3y = 16, כלומר 5y = 10 ומכאן y = 2.
  4. חוזרים אל הנעלם המבודד. x = 2 + 3 = 5.
  5. בודקים בשתי המשוואות, לא באחת. 2 · 5 + 3 · 2 = 16 ✓ וגם 5 − 2 = 3 ✓.
  6. הפתרון הוא x = 5 ו-y = 2. פתרון של מערכת הוא זוג, ולא מספר בודד.
דוגמה 2נתונות A(1, 1) ו-B(4, 5). מצאו את השיפוע של AB, את משוואת הישר, את אורך AB ואת אמצע הקטע.
  1. שיפוע. הפרש הגבהים חלקי הפרש המיקומים: (5 − 1) חלקי (4 − 1), כלומר 4 חלקי 3. שימו לב לשמור על אותו סדר חיסור בשני המונים: מי שהחסיר למעלה מן הנקודה האחת ולמטה מן האחרת יקבל שיפוע בסימן הפוך.
  2. משוואה. מציבים את השיפוע ואת אחת הנקודות: 1 = (43) · 1 + n, ומכאן n = 1 − 43 = −13. הישר הוא y = (43)x − 13.
  3. בדיקה בנקודה השנייה. (43) · 4 − 13 = 163 − 13 = 153 = 5 ✓. הבדיקה הזאת תופסת כמעט כל טעות סימן, והיא עולה שורה אחת.
  4. אורך. ההפרשים הם 3 ו-4, והם ניצבי משולש עזר ישר זווית. לכן האורך הוא 9 + 16 = 25 = 5.
  5. אמצע. ממוצע בכל ציר בנפרד: (1 + 4)/2 = 2.5 ו-(1 + 5)/2 = 3, כלומר (2.5, 3). אמצע אינו חייב לצאת שלם, וזה תקין.
  6. שיפוע 43, ישר y = (43)x − 13, אורך 5, ואמצע (2.5, 3).
דוגמה 3בטרפז ABCD מתקיים AB ∥ DC, AB = 20, DC = 8, והשוק AD = 5 ניצבת לשני הבסיסים. מצאו את השוק BC, את הזווית B ואת שטח הטרפז.
  1. מפרקים את המרובע. מורידים אנך מן הקודקוד C אל הבסיס הארוך AB. נוצר מלבן שרוחבו 8 וגובהו 5, ולידו משולש ישר זווית.
  2. הניצב האופקי של המשולש. זה מה שנשאר מן הבסיס הארוך אחרי המלבן: 20 − 8 = 12. הניצב האנכי הוא הגובה, כלומר 5.
  3. השוק BC היא היתר. מחפשים יתר ולכן מחברים ריבועים: 144 + 25 = 169 = 13.
  4. הזווית B. שני הניצבים ידועים והיתר אינו מעורב בשאלה, ולכן זהו טנגנס: היחס הוא 5 חלקי 12, שהוא 0.4167 בקירוב, והזווית היא 22.6° בעיגול לעשירית.
  5. שטח. חצי מסכום הבסיסים כפול הגובה: (20 + 8)/2 · 5 = 14 · 5 = 70.
  6. BC = 13, הזווית B היא 22.6°, והשטח הוא 70. שימו לב שהאנך הוא כל התכסיס: בלעדיו אין כאן משולש ישר זווית לעבוד איתו.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול הפרק

ניקוד: 0 / 0

שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל המאתגר: קודם משוואות, אחוזים ויחידות, אחר כך הישר, המרחק והדמיון, ולבסוף שטח, טריגונומטריה וקיצון. אחריהם סט רביעי של ארבע משימות פתוחות, שבהן כותבים ומנמקים, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

מה יש בפרק הזה

  • 1משוואות: לינארית, ריבועית ומערכת, וכולן נבדקות בהצבה חוזרת.
  • 2אחוזים ויחידות: חלק מן השלם, השלם מן החלק, והמרה שמשנה את המספר ולא את הגודל.
  • 3הישר: שיפוע כקצב שינוי, משוואה מנקודה, מקבילות, ונקודת מפגש שיש לה משמעות בהקשר.
  • 4דמיון: משפט זווית זווית, יחס אורכים, ויחס שטחים שהוא ריבועו.
  • 5טריגונומטריה: בחירת היחס לפני החישוב, זווית הגבהה ושפלה, ומרובע שמתפרק באנך.
מפתח פתרונות (תרגול)

    שלום! זה הפרק הראשון בחוברת, והוא כולו חזרה. אין כאן שום דבר שלא ראיתם בכיתה יא׳, ויש כאן הכול מה שכיתה יב׳ תניח שאתם מחזיקים.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי